专项突破04 整式的加减（知识技巧点拨+13种高频考察题型 共42题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版2024数学七年级上册考前冲刺

专项突破04 整式的加减 （知识技巧点拨+14种高频考察题型 共42题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：单项式 2 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 3 知识点梳理04：同类项的概念 3 知识点梳理05：去括号法则 4 知识点梳理06：整式的加法和减法 4 优选题型 考点讲练 4 题型1 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 题型2 合并同类项 5 题型3 去括号 6 题型4 添括号 7 题型5 整式的加减运算 9 题型6 整式的加减中的化简求值 9 题型7 整式加减中的无关型问题 10 题型8 整式加减的应用 12 题型9 单项式规律题 13 题型10 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 15 题型11 整式的判断 16 题型12 数字类规律探索 16 题型13 图形类规律探索 18 题型14 带有字母的绝对值化简问题 19 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨：合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 题型1 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中：与是同类项． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算及求值： （1）利用乘法交换律和结合律进行简便计算； （2）先计算乘方，并把除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减； （3）先去括号，合并同类项，再根据同类项的定义确定a和b的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解： ． （3）解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， 当时， 原式． 2．（24-25七年级上·吉林四平·期中）已知和是同类项，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【规范解答】解：∵和是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 【答案】(1) (2)是同类项 【思路引导】（1）根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值； （2）先把、的值代入计算，再根据同类项的定义判断即可. 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由（1）知，， 所以， ， ， 所以是同类项． 【考点剖析】本题考查了同类项，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 题型2 合并同类项 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是________，如果，那么为________． (2)探索规律： ①当的最小值是________． ②当的最小值是________． (3)知识迁移：的最大值是________． 【答案】(1)①，；②，或 (2)①；② (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义计算即可得解；②由题意可得，解方程即可得解； （2）①根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解；②根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解； （3）根据绝对值的意义，采用分类讨论的思想计算即可得解． 【规范解答】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则，解得或，即那么为或； （2）解：①当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值是． ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故的最小值是； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 故最大值是． 5．（25-26七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【思路引导】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【规范解答】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 题型3 去括号 7．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了整式的加减，掌握去括号运算并正确合并同类项是解题的关键． （1）直接合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号，再合并同类项得出答案． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“已知，当时，求的值”．小颖在计算这道题时，将“”写成了“”，但是结果是正确的，为什么？ 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值、去括号等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简可得，再去括号、合并同类项化简，然后再代值计算即可解答． 【规范解答】解：， ∵，， ∴ ． ∵当时，；当时，； ∴． ∴将“”写成了“”，但是结果是正确的． 9．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）化简下面各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【思路引导】（）去括号，再合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； （）去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减运算，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型4 添括号 10．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 11．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将变形为，然后将代入求值即可； （2）将变形为，然后将，代入求值即可； （3）将变形为，然后将，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 【考点剖析】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，添括号等知识点，对原式进行适当变形并运用整体代入法求值是解题的关键． 12．（24-25七年级上·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【规范解答】解：（1）∵ ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 题型5 整式的加减运算 13．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， (1)判断正、负，用“”“”填空 0； 0； 0； (2)试化简：． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及整式的加减运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴上、、的位置关系，判断、、的正负； （2）先根据数轴确定绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子． 【规范解答】（1）解：由数轴可知， 所以，，． 故答案依次为：，，； （2）解：因为， 所以，，，． 所以 ． 14．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．根据a、b、c在数轴上的位置判断出绝对值内部式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【规范解答】解：∵， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法：①立方等于本身的数只有；②若互为相反数，且，则；③若，则的值为正数；④如果，且，那么；⑤当取最小值时，的值有无数个；正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了乘方，相反数的性质，绝对值的意义，化简绝对值，整式的加减运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：立方等于本身的数有，故①不符合题意； 若互为相反数，且，则故，故②符合题意； 若，则的值为非负数；故③不符合题意； 如果，且， ∴是同号，是异号， ∴；故④符合题意； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当取最小值时，的取值范围为，即值有无数个；故⑤符合题意； 故选：C． 题型6 整式的加减中的化简求值 16．（25-26七年级上·全国·期中）化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 【答案】(1)，2； (2)，． 【思路引导】本题考查整式加减中的化简求值及去括号，解题的关键是化简过程中注意符号选取． （1）去括号根据多项式加减法则化到最简，代入求解即可得到答案； （2）先将化到最简，然后代入求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值、非负数的性质等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将代入计算即可； （2）先根据非负数的性质求得a、b的值，再根据整式的四则混合运算法则化简，然后将a、b的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式. （2）解：∵， ∴，即， ； 当时，原式． 18．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【思路引导】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【规范解答】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 题型7 整式加减中的无关型问题 19．（22-23七年级上·四川广安·期中）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【规范解答】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 20．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法中，错误的序号有 ①若，则； ②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2019； ④，，则的值为． 【答案】①②④ 【思路引导】根据绝对值的非负性和分母不为0即可判断①；根据数轴上两点距离公式即可判断②；先根据x的取值范围化简绝对值即可判断③；先判断出a、b、c三个数中有两个正数一个负数，，，，不妨设，，，然后化简绝对值即可判断④． 【规范解答】解： ①，则，说法错误，符合题意； ②因为A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，相邻两点的距离相等， 所以当点C在之间时有，即； 当A在之间时，由，可得；当B在之间时，由，可得，因此x的值可能为2、或14，故说法错误，符合题意； ③当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，代数式的值与x无关，且值为2019，说法正确，不符合题意； ④因为，， 所以a、b、c三个数中有两个正数一个负数，，，， 不妨设，，， 所以，，说法错误，符合题意； 故答案为：①②④． 【考点剖析】本题主要考查了化简绝对值，数轴上两点距离公式，绝对值的非负数，有理数的四则运算，整式的加减计算等，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．（25-26七年级上·广东·期中）如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，这个常数是16 【思路引导】（1）根据单项式的概念、负整数的定义即可求出答案； （2）①根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案； ②将（2）问中的与的表达式代入即可判断． 本题考查有理数与数轴，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的代数式表示点运动后所表示的数． 【规范解答】（1）解：根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16 题型8 整式加减的应用 22．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【思路引导】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意得到厘米是解题的关键． 设小长方形的长为a，宽为b，由图（2）得：大长方形的长为，大长方形的宽为，，再由大长方形的长比宽多6厘米，可得厘米，从而得到图（2）中阴影部分的周长为厘米，图（1）中阴影部分的周长为厘米，即可求解． 【规范解答】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 23．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【思路引导】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【规范解答】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 24．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【思路引导】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【规范解答】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 题型9 单项式规律题 25．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查单项式规律问题，通过观察找出该组单项式系数、字母次数的变化规律，利用规律求解． 【规范解答】解：由题意知，第n个单项式为， 所以第20个单项式为，即， 故答案为：． 26．（20-21七年级上·辽宁·期末）有一列按某种规律排列的式子：，，，，，，按此规律，第个式子是 ，第个式子是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因数的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律．通过观察题意可得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为，由此得到答案． 【规范解答】解：依题意得各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 故第11个单项式的系数为，第n个单项式的系数为， 每个单项式的字母均为x，依次为, 故第个单项式的字母为，第n个单项式的字母为， ∴第个单项式为，第n个单项式为， 故答案为（1），（2）． 27．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【规范解答】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 题型10 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 28．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【规范解答】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于a，b的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值； (3)已知M，N均为关于x，y的三次三项式，其中，（m，n为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是 (2) (3) 【思路引导】本题考查新定义的运算，代数式，整式的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）直接运用“和谐多项式”的定义判断即可； （2）按的降幂排列后，由绝对值的大小得到，解题即可； （3）计算后，分两种情况分别计算，求出的值，代入代数式求值即可解题． 【规范解答】（1）解：按x的降幂排列： 因为，，所以， 所以多项式不是“和谐多项式” （2）解：把多项式按b的降幂排列为． 因为多项式是b的“和谐多项式” 所以．因为k为整数，所以． （3）解： ． 因为，所以不是x的和谐多项式 把按y的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 30．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 【答案】(1)  ， (2) (3) 【思路引导】（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． （3）根据非负数的性质可得，，再代入代数式求值即可． 【规范解答】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 将这个多项式按x的降幂排列为． （3）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ ； 【考点剖析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，非负数的性质．掌握基础概念是解本题的关键． 题型11 整式的判断 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【规范解答】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 32．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的系数是－1，次数是4 C．的项是，，1 D．是整式 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的知识点，解题的关键是熟练的掌握整式的相关概念． 根据单项式的定义，可判断A．根据单项式的系数、次数，可判断B，根据多项式的项是多项式中每个单项式，可判断C，根据整式的定义，可判断D． 【规范解答】解：A．单独的一个数或一个字母也叫做单项式，故0是单项式，原说法正确，故该选项不符合题意； B．单项式的系数是－1，次数是4，原说法正确，故该选项不符合题意； C．的项是，，1，原说法不正确，故该选项符合题意； D．是整式，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 33．（24-25七年级上·河南焦作·期中）请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【思路引导】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【规范解答】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 题型12 数字类规律探索 34．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）已知一列数将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行，3 第3行 第4行 第5行 ．．． 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第5个数等于 ，前个数的和为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数字的变化类规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．通过观察可得第行有个数，求出前9行45个数，从而可求第10行从左边数第5个数．通过观察可得每一个奇数和它后面相邻的数之和为，据此解答即可． 【规范解答】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，， 第行有个数， 前9行有个数， 第10行从左边数第5个数为， ， ， 故答案为：①，②． 35．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可设，则，作差即可求解； （2）根据题意可设，则，作差即可求解； 【规范解答】（1）解：①， 两边同时乘以2得 ②， 得： ， ∴， ∴； （2）解：①， 两边同时乘以得 ②， 得： ， ∴， ∴； 36．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【答案】（1），11；（2）；（3） 【思路引导】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 题型13 图形类规律探索 37．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（）．则的值是 ；当的结果是时，n的值为 ． 【答案】 199 【思路引导】此题考查了图形的变化规律，注意从特殊推广到一般，解方程时能够利用分数的加减法进行简便计算． 结合图形观察数字，即可求解，再得到，然后计算的值，根据结果求出n的值． 【规范解答】解：观察图形可得：， ∴， 当， 有 = = =， 解得：， 故答案为：，199． 38．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【思路引导】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【规范解答】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 39．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【思路引导】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【规范解答】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 题型14 带有字母的绝对值化简问题 40．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为______；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为______； (2)若点A表示的有理数为x，则当x满足______时，与的值相等； (3)当x满足______时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3) (4)最小值为1025156 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间距离）及绝对值求和的最小值问题，解题的关键是理解表示数轴上表示、的两点间距离，利用该几何意义分析距离计算、等式求解及绝对值和的最小值情况． （1）第一空根据两点间距离公式直接计算；第二空设B表示的数为，由距离公式列方程求解； （2）利用绝对值的几何意义（到与到的距离相等）或解方程确定； （3）绝对值和的最小值在取首尾两数的中间数时取得； （4）将取中间数代入，通过两两配对（和相等）计算绝对值和的最小值． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和的两点距离为； 设B表示的数为，由且A表示，得， 则或， 解得或． 故答案为：；或． （2）解：表示到与到的距离相等，数轴上与的中点为，故． 故答案为：． （3）解：绝对值和共2025个绝对值项， 当取中间项对应的数时和最小， 中间项为第项，即． 故答案为：． （4）解：当时， ； 答：（3）中的最小值为1025156． 41．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时．如下面一组等式： ． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________，的结果是__________． (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 【答案】(1)7， (2) (3)6 【思路引导】本题考查了绝对值的化简． （1）利用绝对值的概念化简绝对值即可． （2）化简绝对值后消去相等的项求解即可． （3）利用绝对值的概念化简后相加即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：7，． （2）， ． （3）由题意得， ∴． 42．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 (1)可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)若，则的值为______； 【问题解决】 (3)请你结合数轴探究： ①的最小值是______； ②的值最小值为______； 【拓展应用】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民3000人，居民区有居民2000人，居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)，3 (2)或0 (3)①5；②8； (4)当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份 【思路引导】（1）绝对值的几何意义，表示与a的差的绝对值，可理解为与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）表示与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离，可能在a的左侧或者右侧，分别求值即可； （3）表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，分别讨论在的左侧、3的右侧或者和3中间时，距离之和的大小即可； （4）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为，然后根据题目条件用表示总成本，由（3）可得实验室建在、之间（包含、）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3． （2）表示与的差的绝对值为3，即与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3，当在的左边时，的值为；当在的右边时，的值为； 故答案为：或0． （3）①表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当或时，，则的最小值是5； 故答案为：5． ②表示在数轴上对应的点分别与、和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当时，，则的最小值是8； 故答案为：8． （4）以市民广场为原点，、、分别为、1、3建立数轴，设实验室对应的数字为， 总运输和包装成本为，由（3）知时，总成本可能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵ ∴． 则，当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 【考点剖析】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 整式的加减 （知识技巧点拨+14种高频考察题型 共42题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：单项式 2 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 3 知识点梳理04：同类项的概念 3 知识点梳理05：去括号法则 4 知识点梳理06：整式的加法和减法 4 优选题型 考点讲练 4 题型1 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 题型2 合并同类项 5 题型3 去括号 6 题型4 添括号 7 题型5 整式的加减运算 9 题型6 整式的加减中的化简求值 9 题型7 整式加减中的无关型问题 10 题型8 整式加减的应用 12 题型9 单项式规律题 13 题型10 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 15 题型11 整式的判断 16 题型12 数字类规律探索 16 题型13 图形类规律探索 18 题型14 带有字母的绝对值化简问题 19 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！ （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨：合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 题型1 已知同类项求指数中字母或代数式的值 1．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3) 先化简，再求值：，其中：与是同类项． 2． （24-25七年级上·吉林四平·期中）已知和是同类项，则的值是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项． (1)求的值． (2)在中，哪些是同类项？ 题型2 合并同类项 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是________，如果，那么为________． (2)探索规律： ①当的最小值是________． ②当的最小值是________． (3)知识迁移：的最大值是________． 5．（25-26七年级上·浙江温州·期中）化简或求值 (1)化简：． (2)先化简再求值：，其中，． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2) 化简：． 题型3 去括号 7．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项 (1) (2) 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有这样一道题“已知，当时，求的值”．小颖在计算这道题时，将“”写成了“”，但是结果是正确的，为什么？ 9．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）化简下面各题． (1) (2) (3) (4) 题型4 添括号 10．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 11．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 12．（24-25七年级上·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 题型5 整式的加减运算 13．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， (1)判断正、负，用“”“”填空 0； 0； 0； (2)试化简：． 14．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（   ） A．0 B． C． D． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法：①立方等于本身的数只有；②若互为相反数，且，则；③若，则的值为正数；④如果，且，那么；⑤当取最小值时，的值有无数个；正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6 整式的加减中的化简求值 16．（25-26七年级上·全国·期中）化简并求值． (1)化简，并求当时的值． (2)已知，，求的值，其中，． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 18．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 题型7 整式加减中的无关型问题 19．（22-23七年级上·四川广安·期中）若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 20．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法中，错误的序号有 ①若，则； ②A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与x无关，则该代数式的值为2019； ④，，则的值为． 21．（25-26七年级上·广东·期中）如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 题型8 整式加减的应用 22．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 23．（24-25七年级上·福建福州·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 24．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 题型9 单项式规律题 25．（19-20七年级上·云南玉溪·期末）有一组单项式：，，，···，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第20个单项式为 ． 26．（20-21七年级上·辽宁·期末）有一列按某种规律排列的式子：，，，，，，按此规律，第个式子是 ，第个式子是 ． 27．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3) 请你利用以上结论计算的值． 题型10 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 28．（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于a，b的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值； (3)已知M，N均为关于x，y的三次三项式，其中，（m，n为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 30．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知关于x、y的多项式 是五次四项式（m、n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)将这个多项式按x的降幂排列． (3)若 ，求该多项式的值． 题型11 整式的判断 31．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        }； 多项式：{                        }； 整式：{                            }． 32．（24-25七年级上·福建福州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的系数是－1，次数是4 C．的项是，，1 D．是整式 33．（24-25七年级上·河南焦作·期中）请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     }； 单项式集合：{                     }； 多项式集合：{                     }． 题型12 数字类规律探索 34．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）已知一列数将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行，3 第3行 第4行 第5行 ．．． 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第5个数等于 ，前个数的和为 ． 35．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 36．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 题型13 图形类规律探索 37．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（）．则的值是 ；当的结果是时，n的值为 ． 38．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 39．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 题型14 带有字母的绝对值化简问题 40．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为______；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为______； (2)若点A表示的有理数为x，则当x满足______时，与的值相等； (3)当x满足______时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 41．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时．如下面一组等式： ． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________，的结果是__________． (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 42．（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 (1)可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)若，则的值为______； 【问题解决】 (3)请你结合数轴探究： ①的最小值是______； ②的值最小值为______； 【拓展应用】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民3000人，居民区有居民2000人，居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $