4.4.1.确定一次函数表达式（教学课件）2025-02026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数表达式的确定，课堂导入通过斜坡下滑实际情境结合图像观察，衔接正比例函数知识，以“观察图像→发现关系→抽象方法”为学习支架，引导学生逐步掌握待定系数法。 其亮点在于以弹簧长度、蜡烛燃烧等现实问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过对比探究发展推理意识（数学思维），结合几何图形提升抽象能力，小结的认知逻辑助于知识构建。学生能提升建模与应用能力，教师可直接使用多样化例题与检测题，提高教学效率。

第四章 一次函数 4　一次函数的应用 第1课时　确定一次函数表达式 课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测 课堂引入 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位m/s)与其下滑时间t(单位:s)之间的关系如图所示. (1)写出v与t之间的关系式; (2)物体下滑3 s时速度是多少? 解:(1)观察图像可知，下滑时间每增加1秒， 速度增加2.5m,所以v=2.5t. (2)当t=3 s时,v=7.5(m/s). 翟世静 (翟) - 处理方式:问题(1)引导学生观察发现此函数是正比例函数,并且过点(2,5),从而发现物体下滑的速度每秒增加2.5米,从而确定出关系式.问题(2)把t=3代入关系式中即可求出v的值. 【探究】 一次函数表达式的确定 【思考·交流】 确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?与同伴进行交流. 探究与应用 【概括新知】 正比例函数表达式的待定系数知有一个,需要将除原点外的一个点的坐标代入求解;一次函数表达式的待定系数有两个,需要将两个点的坐标代入求解. 说明:根据图象求函数表达式时,所取的点必须是函数图象上的点. 韵 (韵) - 师生活动:让学生讨论交流,根据正比例函数和一次函数的一般式确定需要的条件,从而得出结论,最后师生共同总结. 【探究】 一次函数表达式的确定 【应用】 例1　(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm. 写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 探究与应用 解:设y=kx+b,根据题意,得 14.5=b,① 16=3k+b.② 将①代入②,得k=0.5. 所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5. 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5. 因此,当所挂物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm. 韵 (韵) - 说明:指名板演过程,其他同学独立完成后互相交流,最后教师讲评板演过程,规范解题步骤. 【探究】 一次函数表达式的确定 想一想:根据例题的解题过程,你能总结出这种求一次函数表达式的方法吗? 探究与应用 【概括新知】 求一次函数表达式的步骤: 1.设——一次函数表达式y=kx+b或者y=kx; 2.代——将点的坐标代入所设表达式中,列出关于k,b的方程; 3.解——解方程求出k,b的值; 4.定——把求出的k,b的值代回到函数表达式中即可. 【探究】 一次函数表达式的确定 【应用】 例2 某根蜡烛燃烧前长30cm;燃烧时,剩下的长度y(单位:cm)是燃烧时间x(单位:h)、 的一次函数。当这根蜡烛燃烧2h时,剩下的长度为18cm。 (1)写出y与x之间的关系式; (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 　 探究与应用 解:(1)设y=kx+b,根据题意,得 b=30, 2k+b=12, 解得k=-9, 所以y=-9x+30. (2)当y=0时,-9x+30=0, 解得x=, 故蜡烛最多能燃烧 h. 韵 (韵) - 说明:问题(1)可以利用前面例题的方法,也可先确定蜡烛的燃烧速度,再根据剩下的长度=原长度-燃烧的长度,直接列出y与x之间的关系式;问题(2)帮助学生理解,要求蜡烛的燃烧时间,即求当y=0时,自变量x的值. 【拓展提升】 若直线y=kx+b经过点(0,2),且与坐标轴围成等腰直角三角形, 试求该直线的函数表达式. 探究与应用 解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点（0，2）， 即与y轴的交点坐标为（0，2）， ∴b=2； 令y=0，则0=kx+2，得x=- ，即它与x轴的交点坐标为（-，0）； 又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形， ∴|-|=2，解得k=±1． 所以该直线的函数表达式为y=x+2或y=-x+2． 达标测评 1.一次函数y=kx+b的图象经过点(1,2),(0,-1),则其函数表达式为　　 .  2.如图所示的直线是某一次函数的图象,点A(-1,7),B(4,-4)是否在该函数的图象上? 课堂小结与检测 y=3x-1 解：设一次函数解析式为y=kx+b, 因为图象过点（2，0）与B（0，4）， 所以, 解得， 所以一次函数解析式为y=-2x+4， 当x=-1时，y=6 点A(-1,7)不在图象上，点B(4,-4)在图象上。 达标测评 3.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)是行李质量x(千克)的一次函数,其图象如图所示. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)旅客最多可免费携带多少千克的行李? 课堂小结与检测 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由函数图象，得 ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y=0.2x-6； (2)当y=0时，0=0.2x-6 ∴x=30 答：旅客可免费携带的行李的质量是30千克. | 认知逻辑 | 课堂小结 实际 问题 正比例 函数 建模 求正比例函 数表达式 操作 求一次函 数表达式 类比操作 应用 借助表达式 解决问题 应用 10 | 课堂检测 | 1.已知正比例函数y=kx的图象经过点(1,2),则k的值为 (　　) A.2 B.-2 C. D.- A 2.如图4-4-2,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(0,1)和B(2,0)两点,则该一次函数的表达式为　　　　　　　　.  y=-x+1 图4-4-2 3.如图4-4-3是气象台某天用仪器记录的空中气温t(℃)与距地面高度h(km)之间的函数图象. (1)根据图象,求出图中的t关于h的函数表达式; 图4-4-3 解:(1)设t关于h的函数表达式为t=kh+b(k,b为常数,且k≠0). 将(0,24)和(4,0)分别代入t=kh+b, 得b=24,4k+b=0,解得k=-6. 所以t关于h的函数表达式为t=-6h+24. (2)当空中气温为12 ℃时,求此时距离地面的高度. 图4-4-3 (2)当t=12时,得-6h+24=12, 解得h=2. 所以当空中气温为12 ℃时,此时距离地面的高度为2 km. 谢谢 $