专题29 三角恒等变换10种常见考法归类讲义（82题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题29 三角恒等变换10种常见考法归类(82题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1和差公式及其应用 （一）给角求值 （二）给值求值 （三）给值求角 考点2二倍角公式及其应用 （一）给角求值 （二）给值求值 （三）给值求角 考点3半角公式与万能公式的应用 考点4积化和差与和差化积的应用 考点5辅助角公式及其应用 考点6利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点7三角恒等变换的化简问题 考点8三角恒等式的证明 考点9三角恒等变换的综合问题 考点10三角恒等变换的实际应用 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点2：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点4：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点5：降幂公式 ① ② 知识点6：半角公式 ① ② ③ 知识点7：辅助角公式： (其中) 知识点8：万能公式 ① ② ③ 策略方法 1、三角函数化简“三看”原则 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． ⑤ 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． （2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 4、对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 9、三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 考点1和差公式及其应用 （1） 给角求值 1．（2025高一·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·广东·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 6．（2025高一·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． （2） 给值求值 7．（2025高一·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 8．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 10．（2025高一·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三·广东·开学考试）已知都是锐角，，则（　　） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 13．（25-26高三·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． （三）给值求角 14．（2025高一·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 15．（2025高一·山西·期末）若，则 . 16．（2024高一·全国·专题练习）已知，且为锐角，则的值为 ． 17．（2025高一·安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 18．（2024高一·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 19．（2025高三·广东广州·期中）已知，，，，则 . 考点2二倍角公式及其应用 （1） 给角求值 20．（25-26高一·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三·广东深圳·开学考试）（   ） A．1 B． C． D． 22．（25-26高一·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高三·四川泸州·开学考试）计算（    ） A． B． C． D．1 24．（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（   ） A． B．1 C． D．2 （2） 给值求值 25．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．或 D． 26．（25-26高三·湖北荆州·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三·河南商丘·开学考试）若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 29．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．或-2 D．或 30．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三·山西长治·开学考试）已知，且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三·福建·阶段练习）已知，则（　　） A． B． C． D． 35．（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． （三）给值求角 36．（2025高一·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．（2025高三·全国·专题练习）若锐角、满足，则（   ） A． B． C． D． 39．（2025高一·广东·阶段练习）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 40．（2025高一·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 41．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 考点3半角公式与万能公式的应用 42．（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 43．（2025高一·江苏南通·阶段练习）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 44．（25-26高一·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 45．（2025高一·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 46．（2025高一·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 48．（2025·四川眉山·模拟预测）若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 考点4积化和差与和差化积的应用 49．（2025高一·云南楚雄·阶段练习）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 50．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 51．（2025高二·云南昆明·期末）函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 52．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 53．（2025高一·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 54．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点5辅助角公式及其应用 55．（25-26高三·山东聊城·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 56．（25-26高三·内蒙古包头·阶段练习）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 . 57．【多选】（25-26高二·云南文山·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 考点6利用三角恒等变换判断三角形的形状 58．（2025高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 59．（2025高二·山东德州·期中）在中，已知，则该的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 60．（2025高一·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 考点7三角恒等变换的化简问题 61．（2025高一·江苏南通·期中）若，则（   ） A．－3 B． C． D．3 62．（2025高一·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 63．（2025高二·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 考点8三角恒等式的证明 64．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 65．（2025高一·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 66．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 67．（25-26高一·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 68．（2025高一·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 考点9三角恒等变换的综合问题 69．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角且，求的值. 70．（25-26高三·天津·开学考试）已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合. (4)求函数单调递增区间. 71．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求函数的值域； 72．（2025高二·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 73．（25-26高二·湖南·开学考试）已知函数函数满足且． (1)求的值域； (2)求函数的最大值与最小值． 74．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 75．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 76．（25-26高三·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)已知，求的值. 考点10三角恒等变换的实际应用 77．（2025高一·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 78．（2025高一·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 79．（2025高一·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 80．（2025高一·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 81．（2025高一·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 82．（2025高一·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题29 三角恒等变换10种常见考法归类(82题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1和差公式及其应用 （一）给角求值 （二）给值求值 （三）给值求角 考点2二倍角公式及其应用 （一）给角求值 （二）给值求值 （三）给值求角 考点3半角公式与万能公式的应用 考点4积化和差与和差化积的应用 考点5辅助角公式及其应用 考点6利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点7三角恒等变换的化简问题 考点8三角恒等式的证明 考点9三角恒等变换的综合问题 考点10三角恒等变换的实际应用 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点2：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点4：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点5：降幂公式 ① ② 知识点6：半角公式 ① ② ③ 知识点7：辅助角公式： (其中) 知识点8：万能公式 ① ② ③ 策略方法 1、三角函数化简“三看”原则 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． ⑤ 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． （2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 4、对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 9、三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 考点1和差公式及其应用 （1） 给角求值 1．（2025高一·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 2．（2025高一·全国·课后作业）cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为. 故选：C. 3．（2025高三·广东·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式可求得的值. 【详解】 . 故选：A. 4．（2025高二·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 5．（2025高一·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 6．（2025高一·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】直接运用两角差的余弦公式 【详解】. 故选：D. （2） 给值求值 7．（2025高一·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据同角关系以及余弦的和角公式即可求解. 【详解】由于，，故， ， 故选：C 8．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 9．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据同角三角函数基本关系得到，，然后利用和差公式计算即可. 【详解】因为均为锐角，所以，，， 所以， 因为， 所以（舍去），， . 故选：C. 10．（2025高一·四川德阳·阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系可求得，，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由，，得，同理，，可得， 所以. 故选：A. 11．（25-26高三·广东·开学考试）已知都是锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正切的和与差公式，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，又都是锐角，则， 所以，整理得到，解得，， 则， 故选：A. 12．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 【答案】A 【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解. 【详解】，可得， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高三·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. （三）给值求角 14．（2025高一·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 15．（2025高一·山西·期末）若，则 . 【答案】/ 【分析】为求角的大小，只需算出的三角函数值. 【详解】， 故由，得. 又， 又， 则 ， 又，所以. 故答案为：. 16．（2024高一·全国·专题练习）已知，且为锐角，则的值为 ． 【答案】/45° 【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可． 【详解】为锐角，， ， ， 为锐角，， 故答案为：． 17．（2025高一·安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 【答案】 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故答案为：． 18．（2024高一·全国·专题练习）已知为锐角，且，则角等于 . 【答案】/ 【分析】根据已知角与未知角之间的关系，先用已知角表示出的正切值，从而再求出的正切值． 【详解】， ． 又因为是锐角，所以． 故答案为：． 19．（2025高三·广东广州·期中）已知，，，，则 . 【答案】/ 【分析】求出，再由求得的值. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为： 考点2二倍角公式及其应用 （1） 给角求值 20．（25-26高一·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倍角公式计算即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 21．（25-26高三·广东深圳·开学考试）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由商数关系，平方和关系以及二倍角公式化简求解即可. 【详解】. 故选：D 22．（25-26高一·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 23．（25-26高三·四川泸州·开学考试）计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由诱导公式，二倍角公式及两角和余弦公式求解即可． 【详解】 故选：C 24．（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换公式即可得出答案. 【详解】原式 . 故选：B. （2） 给值求值 25．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式及弦化切公式计算即可得. 【详解】，则， 则. 故选：A. 26．（25-26高三·湖北荆州·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式与同角的三角函数关系求出的值，再由两角和的正弦公式求解即得. 【详解】由题意， ， 所以. 故选：A. 27．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用和角余弦公式，将条件化为，应用二倍角余弦公式得，最后应用诱导公式求函数值. 【详解】由，故， 所以， 而，则. 故选：C 28．（25-26高三·河南商丘·开学考试）若，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化解即可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 故，所以． 故选：C． 29．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．或-2 D．或 【答案】B 【分析】把所给条件进行平方并除以“1”，再把“1”化为“”，分子分母同时除以，可得关于的方程，先求出，再代入二倍角公式求出. 【详解】由题意， 可得， 解得或， 代入得到， 故选：B. 30．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和诱导公式求值. 【详解】由二倍角公式得 由诱导公式得 故选：C 31．（25-26高三·山西长治·开学考试）已知，且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 32．（25-26高二·安徽·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式由题设条件推得，再用二倍角公式即可求得答案. 【详解】由可得，得， 则. 故选：A. 33．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得. 故选：A 34．（25-26高三·福建·阶段练习）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由，则. 故选：D. 35．（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用倍角公式即可求出，再根据的范围即可求出. 【详解】令，则，则， 故，得， 因为为锐角，则，则. 故选：A （三）给值求角 36．（2025高一·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 37．（2025高一·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 38．（2025高三·全国·专题练习）若锐角、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为，设，问题转化为圆上点与直线有公共点，根据直线与圆的位置关系得出的不等式，解出的值，结合的取值范围可得出的值，然后将的值代入题干中的等式，结合角的取值范围可求出的值，即可得解. 【详解】由， 整理得． 考虑单位圆模型，我们设， 则． 原等式的几何意义为圆上的点与直线有公共点， 可得，所以， 整理可得， 所以， 由于为锐角，故， 将代入得 ，即， 因为，所以，故，即，所以， 故选：C． 39．（2025高一·广东·阶段练习）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合已知中角的特点，可得，，再根据正切值及已知中角的范围判断，的范围，得到的范围，从而求得角的大小. 【详解】，， ， ， ，，，， ，，，，， . 故选：A. 40．（2025高一·全国·课后作业）若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 41．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 考点3半角公式与万能公式的应用 42．（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 43．（2025高一·江苏南通·阶段练习）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倍角公式化简得出即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 44．（25-26高一·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【分析】根据已知及三角函数的定义得、，再由半角公式求值. 【详解】由题得，， 所以属于第一象限或第三象限，则， 故. 故选：B 45．（2025高一·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 46．（2025高一·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 47．（2025·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 48．（2025·四川眉山·模拟预测）若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求. 【详解】因为，，所以且， 解得，所以. 故选：D 考点4积化和差与和差化积的应用 49．（2025高一·云南楚雄·阶段练习）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正余弦公式，正切公式化简比较逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，故不能恒成立，即A错误； 对于B，因，故不能恒成立，即B错误； 对于C，因，则有在其有意义的条件下恒成立，故C正确； 对于D，因，，则 故，即不能恒成立，故D错误. 故选：C. 50．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求函数的最小值. 【详解】因为 . 故选：B 51．（2025高二·云南昆明·期末）函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数为，得到或，结合正弦、余弦函数的性质，求得相应的的值，即可求解. 【详解】由函数，其中 令，即，所以或， 当时，可得或或， 当时，可得或或或， 所以的零点之和为. 故选：C. 52．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，，且，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及积化和差公式可得，然后由， 可得，最后由正弦函数单调性可得值域. 【详解】， 由和差化积公式可得：. 因，则，因，则， 则，又，则. 则. 注意到时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 则，即的值域为. 故选：C 53．（2025高一·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 54．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 考点5辅助角公式及其应用 55．（25-26高三·山东聊城·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，， 所以 . 故选：C 56．（25-26高三·内蒙古包头·阶段练习）已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上有两个不同的实数根，设且，即为和的图象在上有两个不同的交点，结合正弦函数的图象，得出不等式，即可求解. 【详解】由方程，可得， 因为方程在上有两个不同的实数根， 即在上有两个不同的实数根， 设且，可得， 则在上有两个不同的实数根， 即和的图象在上有两个不同的交点， 如图所示：由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 57．【多选】（25-26高二·云南文山·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称 C．的最大值为 D．曲线关于直线对称 【答案】ACD 【分析】化简，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由条件可得， 选项A：的最小正周期为，故A正确； 选项B：令，解得， 所以无论k取任何整数，x都不能为，故B错误； 选项C：的最大值为，故C正确； 选项D：令，解得， 令，解得， 所以直线为的一条对称轴，故D正确. 故选：ACD 考点6利用三角恒等变换判断三角形的形状 58．（2025高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 所以 所以 因为，所以，即 所以三角形为等腰三角形； 故选：D 59．（2025高二·山东德州·期中）在中，已知，则该的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为，结合角的范围，即可得出结论. 【详解】化为， ， ， 至少有一个是锐角，， 或， 或, 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题. 60．（2025高一·江苏镇江·期中）在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 考点7三角恒等变换的化简问题 61．（2025高一·江苏南通·期中）若，则（   ） A．－3 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，诱导公式及同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】 ， 故选：B． 62．（2025高一·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】依题意，，整理得，即， 所以. 故选：C 63．（2025高二·云南·开学考试）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域. 【详解】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 考点8三角恒等式的证明 64．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【详解】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 65．（2025高一·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 66．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】应用降幂扩角公式把等式左边化为右边，即可证. 【详解】， ∴原等式成立. 67．（25-26高一·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 68．（2025高一·广东湛江·期末）证明下列等式： (1) (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证. 【详解】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 考点9三角恒等变换的综合问题 69．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角且，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，值域为 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【详解】（1）依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 70．（25-26高三·天津·开学考试）已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)求使取得最小值的的集合. (4)求函数单调递增区间. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）代值计算即得的值； （2）利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦型函数的周期公式求解. （3）令，求出的表达式，即可得出使取得最小值的的集合. （4）利用正弦函数单调性求出单调递增区间. 【详解】（1）由，得. （2）函数，所以函数的最小正周期为. （3）当，即时，函数取最小值， 所以使取得最小值的的集合为. （4）由，解得， 所以函数单调递增区间为. 71．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)当时，求函数的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）依题意得， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）知，当时，， 则，则， 所以函数的值域是. 72．（2025高二·湖南·学业考试）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 73．（25-26高二·湖南·开学考试）已知函数函数满足且． (1)求的值域； (2)求函数的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值最小值 【分析】（1）先根据已知化简得到的两种可能表达式，再利用确定的解析式，最后应用正弦函数的值域求解； （2）应用（1）结合辅助角公式计算化简，最后结合正弦函数的最值计算求解. 【详解】（1）由且 可得即 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去． 综上所述， 结合，可知，即函数的值域为； （2）由（1）的结论，可得， 所以其中锐角满足， 当时，即时，取得最大值 当时，即时，取得最小值． 74．（25-26高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据诱导公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再采用整体替换的方法，结合正弦函数的单调递增区间即可求出的单调递增区间； （2）先结合（1），根据图象平移即可得到的解析式，再根据正弦函数的对称性即可求出的最小值． 【详解】（1）由     ， 又，，解得，， 所以的单调递增区间为． （2）由(1)知，又的图象关于直线对称， 则，，解得，，   因为，则取，得的最小值为． 75．（25-26高三·四川绵阳·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算即可得； （2）由题意可得，再利用范围结合同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】（1）由题意得 ， 而，故的最小正周期为. （2）由（1）可知， 又，所以， 由，得， 从而． 76．（25-26高三·江苏镇江·开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)已知，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式，化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）由题意可得，继而求出的值，化简的表达式，结合倍角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 故的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递增区间为. （2）由于，则，即， 而，故， . 考点10三角恒等变换的实际应用 77．（2025高一·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 78．（2025高一·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先利用三角函数表示和，再结合三角函数恒等变换，以及角的范围，即可求面积的范围； （2）根据（1）分别表示的周长，利用换元，转化为关于的函数，再求最值. 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正确利用三角函数表示面积和周长，第二问中，有和时，利用换元法，结合同角三角函数平方关系式，表示为函数求最值. 79．（2025高一·全国·课堂例题）某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【答案】 【分析】设，用的三角函数分别表示矩形的长和宽，利用降幂公式和辅助角公式将矩形面积解析式化成正弦型函数，最后结合三角函数的图象即可求得矩形面积最大值. 【详解】 如图，连接OC，设，则，因, 则则， 故 ．因，则， 故当，即当时， 即割出的长方形桌面的最大面积为． 80．（2025高一·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 81．（2025高一·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得. （2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 82．（2025高一·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 【答案】(1)， (2)当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元 【分析】（1）根据三角函数定义以及勾股定理表示出的三边，由此可得关于的函数，结合的极限位置可知定义域； （2）先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知. 【详解】（1）因为，所以， 当在点时，此时最小，又，所以，所以， 当在点时，此时最大，又，所以， 由上可知，； 因为，所以， 又因为，且， 所以， 所以， 所以，定义域为； （2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可， 由（1）可知：且， 设，且，所以， 所以， 又因为，且， 且，， 所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以的最小值为，此时，所以，所以， 综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值. $