专题5.7 函数y=Asin(ωx+φ) 讲义（7类必考点）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，系统梳理φ、ω、A对图象的影响，“五点法”作图，图象变换规律，由部分图象求解析式等核心内容，构建从基础参数理解到实际应用的递进式学习支架。 资料通过分层设计（课前预习、课堂例题、课后作业）覆盖七个考点，结合水轮、筒车等匀速圆周运动实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。方法技巧总结（如参数确定步骤）助力数学思维发展，函数模型应用体现数学语言表达，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题5.7函数 【知识梳理】 1 【考点1： “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【考点2：描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 5 【考点3：求图象变化前（后）的解析式】 6 【考点4：由部分图象求函数的解析式】 7 【考点5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 9 【考点6：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 11 【考点7：函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 14 【知识梳理】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象 以上两种方法的图示如下： [方法技巧] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　 [方法技巧]　　　三角函数图象变换的两个要点 常规 方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向 方程 思想 可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 y=Acos(ωx+φ)在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得y=Acos(ωx+φ)的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到y=Acos(ωx+φ) (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数y=Acos(ωx+φ)转化为正弦型函数，即y=Acos(ωx+φ)，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. [方法技巧] 三角函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　　 【考点1： “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 4．（25-26高一上·海南海口·月考）已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 5．（24-25高一下·北京·期中）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【考点2：描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 1．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 4．（25-26高三上·河北·月考）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（24-25高一下·江西吉安·期中）设函数的周期为，且图像过点. (1)求与的值； (2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； (3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 【考点3：求图象变化前（后）的解析式】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽池州·月考）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则函数的一个解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向右平移个单位长度后为奇函数，则 . 5．（2025·全国·模拟预测）已知函数左移个单位后为偶函数，若，则当最小时， . 【考点4：由部分图象求函数的解析式】 1．（多选）（24-25高三下·广东肇庆·月考）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 2．（多选）（25-26高三上·河北·月考）如图是函数的图象的一部分，则（    ） A．的图象关于直线对称． B．图象至少向左移个单位得到一奇函数图象 C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D．在区间单调递减 3．（多选）（24-25高一下·河南·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象 4．（多选）（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的对称中心 C．函数在区间上是增函数 D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 5．（多选）（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【考点5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 1．（25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知函数（其中，）的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【考点6：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 2．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 4．（24-25高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 5．（24-25高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【考点7：函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 1．（四川省攀枝花市2026届高三第一次统一考试数学试题）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 2．（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 3．（25-26高三上·安徽·月考）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 4．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数（，，）的图象在一个周期内经过点，，且的图象关于直线对称. (1)若在上的最大值为2，求实数m的最小值; (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围; (3)若，且在上有且仅有5个零点，求b的取值范围. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.7函数 【知识梳理】 1 【考点1： “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 3 【考点2：描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 7 【考点3：求图象变化前（后）的解析式】 10 【考点4：由部分图象求函数的解析式】 13 【考点5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 19 【考点6：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 23 【考点7：函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 29 【知识梳理】 1．φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时) 或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或 伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象 以上两种方法的图示如下： [方法技巧] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　　 [方法技巧]　　　三角函数图象变换的两个要点 常规 方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向 方程 思想 可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如y＝sin 2x变为y＝sin，可设平移φ个单位长度，即由2(x＋φ)＝2x＋解得φ＝，向左平移，若φ＜0说明向右平移|φ|个单位长度 2．函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 y=Acos(ωx+φ)在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得y=Acos(ωx+φ)的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到y=Acos(ωx+φ) (>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数y=Acos(ωx+φ)转化为正弦型函数，即y=Acos(ωx+φ)，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 3．由部分图象确定函数解析式的方法 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. [方法技巧] 三角函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　　 【考点1： “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 【答案】答案见解析 【分析】用五点法作图，先列表格，然后描点连线画图即可. 【详解】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，用“五点法”作出在上简图． 【答案】图象见解析 【分析】由x的范围求出的范围，在这个范围内采用“五点作图法”取特殊值点列表，在坐标系里面描出这些点，用光滑曲线连接这些点即可． 【详解】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 4．（25-26高一上·海南海口·月考）已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接用“描点法”作出函数图像； （2）根据正弦函数的性质来计算的解集． 【详解】（1）列表如下： x 1 0 2 3 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示．    （2）由题意可知， 由，得， 化简得， 由正弦函数的性质可知，的解为 ，， 令， 则， 解得，， 故不等式的解集为. 5．（24-25高一下·北京·期中）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 【考点2：描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 1．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 2．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变换求解即可． 【详解】依题意，得，得， 所以， ， 了得到的图象，需要将函数的图象, 需要将函数的图象向左平移个单位长度． 故选：A． 3．（河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题）想要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B．各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D．各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可． 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 4．（25-26高三上·河北·月考）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由零点求出，可将整理为，根据与关系确定平移方向和大小. 【详解】依题意，得，得， 所以，，， 需要将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 5．（24-25高一下·江西吉安·期中）设函数的周期为，且图像过点. (1)求与的值； (2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； (3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 【答案】(1)， (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数周期及函数图象过的点求解析式即可； （2）利用“五点法”求函数图象即可； （3）根据函数的图象变换求解即可. 【详解】（1）由函数的周期为，且， 知，解得； 将点的坐标代入中，有，且， 解得，故，. （2）用五点法列出四者的关系如下， 先描点，再作出在一个周期上的图像如图所示， （3）法1，把的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得的图像. 法2，将的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得的图像. 【考点3：求图象变化前（后）的解析式】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解. 【详解】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为. 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象变换的概念，先求出向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式． 【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 3．（25-26高三上·安徽池州·月考）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则函数的一个解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律可得，结合换元法，令，可得，即可得的表达式，即得答案. 【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，可得的图象， 结合题意可得， 令，得，可得， 所以，B项符合题意，其余选项均不符合题意. 故选：B 4．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知向右平移个单位长度后为奇函数，则 . 【答案】或或 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，由为奇函数，得到，结合，求得的值，得到答案. 【详解】将函数向右平移个单位长度， 可得， 因为为奇函数，可得，即， 因为，可得， 则或或，解得或或. 故答案为：或或. 5．（2025·全国·模拟预测）已知函数左移个单位后为偶函数，若，则当最小时， . 【答案】/ 【分析】先得出平移过后的函数解析式，再利用偶函数得到，进而根据其范围得出的值，即可得到的解析式，进而求出，即可求得. 【详解】函数左移个单位后得到 ， 因平移过后的函数为偶函数，则，则， 由于，则当时，则， 由于，则令， 得， 则当时，最小，此时. 故答案为： 【考点4：由部分图象求函数的解析式】 1．（多选）（24-25高三下·广东肇庆·月考）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【分析】通过图像可以确定函数的周期和值，然后利用特定定确定值，最后根据正弦函数的性质和图像变换，逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由题意可得，故，则，故A正确； 根据图像，可得， 即，解得，又，即， 所以， 对于选项B：当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C：令，则， 当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到 ，故D错误. 故选：ABC. 2．（多选）（25-26高三上·河北·月考）如图是函数的图象的一部分，则（    ） A．的图象关于直线对称． B．图象至少向左移个单位得到一奇函数图象 C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象 D．在区间单调递减 【答案】ACD 【分析】根据图象求得的解析式，结合三角函数的对称性、图象变换、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，， 且，， 由于，所以， 则，， 根据图象可知，在区间上，的函数值两次取得，且第二次是， 所以，，所以. A选项，， 所以的图象关于直线对称，A选项正确. B选项，图象向左移个单位得到. 此函数不是奇函数，所以B选项错误. C选项，将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得， 再将所得图象向右平移个单位长度， 得， 所以C选项正确. D选项，， 所以在区间单调递减，D选项正确. 故选：ACD 3．（多选）（24-25高一下·河南·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】由三角函数的性质结合图像求出的解析式，由可判断A；求出在区间的单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数的伸缩变换可判断D. 【详解】由图象可知，，解得，． 又，所以， 即， 结合，可知，， 所以函数的表达式为． 对于A，由于，即的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由题可知，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确． 对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误； 对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD． 4．（多选）（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的对称中心 C．函数在区间上是增函数 D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于：由函数的图象，可得，且， 所以，又，所以，所以， 又由， 则，，可得，， 因为，可得，所以，故正确； 对于：因为， 所以点是函数的图象的对称中心，故正确； 对于：当，则，因为在上不单调， 所以在区间上不单调，故错误； 对于：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到为偶函数，故正确. 故选：ABD. 5．（多选）（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】BC 【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D． 【详解】对于选项A:由题意可得，，则， 时，， 又因为，所以，故A错误； 对于选项B:，当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C:令，则，当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位， 得到，故D错误． 故选：BC． 【考点5：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 1．（25-26高二上·河北保定·月考）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，， 令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，， 所以， 即，则， 所以． 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图像变换得到的解析式，再根据在单调递增求出的范围. 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 故选：C. 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. （2）由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知函数（其中，）的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象得到，周期，可求出，代入求解，进而求解解析式. （2）由变换可得，进而求出单调递增区间. 【详解】（1）由图象可得，，故， 所以，则， 所以，或 故，或 则，或， 又，所以，或（舍去） 所以， （2）由题意可知，， 由，可得， 故的单调递增区间. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式化简函数，根据最大值求得，结合整体换元计算得到对称中心； （2）先根据平移变换得到函数，①根据三角函数的性质求解即可；②由题意，得的范围，结合对称性得，求的值，化简得，即可得答案； 【详解】（1）因为 ， 所以，解得，所以． 令，得， 即图象的对称中心为． （2）由题意可得． ①由可得， 解得，即． 又因为，所以或， 故不等式的解集为或. ②因为，所以， 由，可得，所以． 由正弦函数图象的对称性可知， 所以，且． ． 所以 ． 【考点6：三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 3．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 4．（24-25高一下·河南漯河·月考）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一秒钟后的大小，利用三角函数知识可解决问题； （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 5．（24-25高一下·江西萍乡·期中）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米. (1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：） 【答案】(1)， (2)秒 【分析】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示； （2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解. 【详解】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题知，， 又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 由题知，，解得，， 故，； （2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，，，则， 则距离水面的高度， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 则，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒. 【考点7：函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 1．（四川省攀枝花市2026届高三第一次统一考试数学试题）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 2．（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 【答案】ACD 【分析】对AB直接用定义判断可得，对于C则根据函数的奇偶性只需考虑的值域，再根据和分两种情况讨论，进而可得函数的值域，对于D直接将函数的零点转化为函数与函数图象交点的个数，并结合图象可得结果. 【详解】对于A：函数的定义域为， 因为， 所以是R上的偶函数，故A正确； 对于B：当时，， 当，即，时，， 当，即，时，. 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数，如图： 所以不存在非零常数，使得对于任意都成立， 所以不是周期函数，故B错误； 对于C：由B可知，当时，， 当，即， 时，，此时. 当，即， 时，，此时. 又是偶函数，其图象关于轴对称， 所以的值域为,故C正确； 对于D：函数的定义域为， 则的零点个数即方程的根的个数， 即函数与函数图象交点的个数， 因为是偶函数，且也是偶函数， 所以只需考虑时方程的根的个数． 当时，， 在同一直角坐标系内画出，的简图如下： 由图象可知，当时，函数与函数有个交点， 即方程有个实数根， 根据偶函数的对称性，当时方程也有个实数根， 综上：在定义域内有个零点，故D正确． 故选：ACD． 3．（25-26高三上·安徽·月考）如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点和点是点关于点的对称点，已知点的横坐标分别为． (1)求的值，曲线的对称轴方程以及函数的单调递减区间； (2)已知，求此时的值和的面积． 【答案】(1)；的对称轴为；函数的单调递减区间为，其中 (2)面积为 【分析】（1）求得点的坐标为，进而可求得周期，求得，进而利用对称性可求得函数的单调递减区间； （2）利用，求得，利用，求得，进而可求的面积． 【详解】（1）依题意，为的中点，因此点的坐标为， 所以，即，从而； 且的中点的横坐标为， 故曲线的对称轴方程为； 又（此为点关于对称的点的横坐标）， 所以函数的单调递减区间为，其中. （2）由题意，，故， 因为，解得，所以. 又，所以，解得， 显然，的面积. 4．（25-26高一上·广东珠海·月考）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【分析】（1）根据方程进行求解，结合三角函数的取值范围确定角度； （2）根据正弦函数的图象性质求解即得； （3）将存在性不等式问题转化为函数最值问题，求出函数最值，进而求出m的取值集合. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数（，，）的图象在一个周期内经过点，，且的图象关于直线对称. (1)若在上的最大值为2，求实数m的最小值; (2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围; (3)若，且在上有且仅有5个零点，求b的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目条件得到，最小正周期，得到，代入特殊点函数值，得到，得到的解析式，根据在上的最大值，得到，求出m的取值范围，得到m的最小值； （2）求出最小值为，从而得到，得到a的取值范围； （3）求出，令，解得，，根据在上有且仅有5个零点，得到b的取值范围. 【详解】（1）的图象关于直线对称，又，在函数图象上， 故，函数最小正周期， 又，故，解得. 因为点在的图象上，所以， 所以，，所以，. 因为，所以只有当，时满足要求，故. 因为在上的最大值为2，所以在上的最大值为1， 所以，所以，所以m的最小值为. （2）因为，所以. 当，即x=时，取得最小值，最小值为， 因为存在，使得不等式成立， 所以，即，解得，即a的取值范围为. （3）由（1）可知. 令，有，即，， 解得，. 因为在上有且仅有5个零点， 令得，故从左到右，第一个零点为， 令得，令得，令得，令得， 令得， 所以， 所以b的取值范围为. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $