专题30 函数y＝Asin(ωx＋φ)6种常见考法归类讲义（100题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题30 函数y＝Asin(ωx＋φ)6种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 考点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 考点3三角函数的图象变换 (一)已知初始函数与变换过程，求目标函数 (二)已知变换过程和目标函数，求初始函数 (三)已知初始函数与目标函数，求变换过程 (四)平移前后两个函数的名称不一致 (五)与辅助角公式的结合 (六)函数图象变换前后的重合问题 考点4三角函数图象变换的综合应用 (一)与周期性的综合 (二)与对称性的综合 (三)与奇偶性的综合 (四)与单调性的综合 (五)与零点的综合 考点5 根据函数图象确定函数解析式 考点6 三角函数性质的综合应用 知识点1：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点2：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点3：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 策略方法 1、“五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 2、函数到函数(其中)的图象变换 （1）先平移后伸缩： （2）先伸缩后平移： 3、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 4、函数图象变换解题策略 （1）对函数，或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （3）确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值. （4）由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 5、给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 6、正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 7、与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 考点1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．（25-26高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数的图象． 列出下表，      0 1 3 7 9 0 2 0 0 根据表中信息： (1)请求出的值； (2)请写出表格中对应的值； (3)作出函数在一个周期内的图象． 2．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 3．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间上的大致图象； 0 (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间． 4．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 5．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 考点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 7．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）函数的振幅､频率和初相分别为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·湖南株洲·期末）不通过画图，写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图象. 9．（2025高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 10．（2025高一·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 11．（2025高一·广西柳州·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 12．【多选】（2025·江西景德镇·模拟预测）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 考点3三角函数的图象变换 (一)已知初始函数与变换过程，求目标函数 13．（2025高一·全国·课后作业）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三·内蒙古阿拉善盟·期末）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 16．（2025高三·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． (二)已知变换过程和目标函数，求初始函数 18．（25-26高三·安徽·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． (三)已知初始函数与目标函数，求变换过程 19．（2025高二·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 20．（2025高一·山西吕梁·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 21．（2025高一·四川·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 22．（2025高一·四川资阳·阶段练习）把函数图象上的所有点（   ）可得到函数的图象. A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 23．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 24．（25-26高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 25．（2025高一·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 26．（2025高一·四川雅安·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 27．（2025高一·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (四)平移前后两个函数的名称不一致 28．（2025高二·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 29．（2025高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 30．（2025高一·全国·专题练习）要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 31．（2025高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位 32．（2025高一·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 33．（2025高一·广东·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 34．（2025高一·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 (五)与辅助角公式的结合 35．（2025高三·山东聊城·阶段练习）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 36．（2025高二·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 37．（2025高一·湖北·期中）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 38．（2025高三·重庆沙坪坝·开学考试）为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 (六)函数图象变换前后的重合问题 39．【多选】（25-26高二·北京·开学考试）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高三·湖北孝感·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 41．（2025高二·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 42．（2025高三·甘肃白银·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 43．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 44．（2025高一·安徽亳州·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 考点4三角函数图象变换的综合应用 (一)与周期性的综合 45．（2025高一·广东佛山·阶段练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 46．（2025·山东济宁·模拟预测）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 47．（2025高一·广东汕尾·期末）将函数的图象向左平移个周期后所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 48．（2025高三·江苏·专题练习）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为 49．（2025高三·全国·专题练习）将已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是 ． (二)与对称性的综合 50．（2025高三·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若将的图像右移，其相位减少了，且为奇函数，则图像的周期是 ﹔其对称中心的坐标为 . 51．（2025高一·辽宁大连·期末）若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（    ）． A． B． C． D． 53．（25-26高一·全国·单元测试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.的图象关于直线对称，，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 54．（2025高一·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 55．（2025高一·上海黄浦·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是 . 56．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则 ． 57．（2025高一·广东茂名·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是 . 58．（2025·江苏南京·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则实数的值是 . 59．（2025高三·贵州·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为 . 60．（2025高三·全国·阶段练习）将函数向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最接近的对称中心的坐标是 （三）与奇偶性的综合 61．（2025·全国·模拟预测）已知函数左移个单位后为偶函数，若，则当最小时， . 62．（2025高一·河北保定·阶段练习）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，且关于的方程在上恰有2个解，则 ． 63．（2025高一·广东茂名·期中）已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 . 64．（2025高一·福建莆田·期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为 ． 65．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值： ． 66．（2025高二·安徽六安·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 . 67．（2025高一·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 68．（2025高一·山东临沂·期中）已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则 . 69．（2025高一·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 . (四)与单调性的综合 70．（2025高三·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 71．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 72．（2025高三·重庆秀山·阶段练习）已知函数的图像过点，且在区间上单调，同时的图像向左平移个单位长度后与原来的图像重合，当，且时，，则 . 73．（2025·宁夏银川·模拟预测）函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 . 74．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是 ． 75．（2025·北京门头沟·模拟预测）函数在区间上单调，且，则的最小值为 . 76．（2025高一·四川成都·期末）已知函数在上单调，且将函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的的最大值为 ． (五)与零点的综合 77．（2025·江苏苏州·模拟预测）设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 78．（25-26高三·广东阳江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 79．（25-26高一·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 80．（2025高一·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 81．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 82．（2025高一·重庆·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若、是函数在上的两个零点，则（   ） A． B． C． D． 考点5 根据函数图象确定函数解析式 83．（25-26高三·山东聊城·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．3 B．4 C． D．2 84．（2025高一·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 85．（25-26高三·安徽安庆·开学考试）已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 86．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（   ）    A．B． C． D． 87．（2025高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则在区间上的解集是（    ）    A． B． C． D． 88．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 89．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（    ） A． B． C． D． 90．（25-26高一·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 91．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则在的最大值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 考点6 三角函数性质的综合应用 92．（25-26高三·江苏·阶段练习）已知函数，且对任意，若，则的最小值为. (1)求和； (2)求图像与在上的交点个数. 93．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 94．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 95．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数的最大值为． (1)求φ的值及的单调递增区间； (2)先将向右平移个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像．若，，求实数m的取值范围． 96．（2025高一·山东烟台·期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 97．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 98．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 99．（2025高一·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 100．（2025高一·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象上所有的点向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象． ①设，求函数在上的值域； ②方程在上有三个不相等的实数根，求的值． $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题30 函数y＝Asin(ωx＋φ)6种常见考法归类（100题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 考点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 考点3三角函数的图象变换 (一)已知初始函数与变换过程，求目标函数 (二)已知变换过程和目标函数，求初始函数 (三)已知初始函数与目标函数，求变换过程 (四)平移前后两个函数的名称不一致 (五)与辅助角公式的结合 (六)函数图象变换前后的重合问题 考点4三角函数图象变换的综合应用 (一)与周期性的综合 (二)与对称性的综合 (三)与奇偶性的综合 (四)与单调性的综合 (五)与零点的综合 考点5 根据函数图象确定函数解析式 考点6 三角函数性质的综合应用 知识点1：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点2：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点3：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 解题策略 1、“五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 2、函数到函数(其中)的图象变换 （1）先平移后伸缩： （2）先伸缩后平移： 3、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 4、函数图象变换解题策略 （1）对函数，或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （3）确定函数的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出的值. （4）由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 5、给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 6、正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 7、与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 考点1“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．（25-26高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数的图象． 列出下表，      0 1 3 7 9 0 2 0 0 根据表中信息： (1)请求出的值； (2)请写出表格中对应的值； (3)作出函数在一个周期内的图象． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析. 【分析】（1）（2）根据给定的数表，结合五点法作图求出及. （3）由数表描出点，进而作出函数图象. 【详解】（1）由表格知，，由，解得，， 所以. （2）由，得， 当时，，， 所以. （3）作出一个周期的图象，如图， 2．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)根据“五点法”补全下表，并画出在上的图象； x 0 (2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2)， 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出，再用整体代入法求图象的对称中心和对称轴. 【详解】（1）补全表格如下： x 0 0 0 在上的图象如下： （2）将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象， 横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象． 令得， 所以函数图象的对称中心． 令，得， 所以函数图象的对称轴为． 3．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间上的大致图象； 0 (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）用“五点法”补全表格并画出图象即可； （2）利用图象平移规律求出再求单调递增区间即可． 【详解】（1）补全的表格如下： 0 0 2 0 －2 0 在区间上的大致图象如图： （2）易知． 令，解得， 所以的单调递增区间为． 4．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1），补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 5．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象； （2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由表格，，，； （ⅱ）五点法画出函数图象如下， （2）当时，， 当在取得最小值时，，解得， 当在取得最小值时，，解得， 当分别在取得最小值时，，解得， 综上：的取值范围为. 考点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 7．（2025高一·陕西渭南·阶段练习）函数的振幅､频率和初相分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的的意义判断即可得结论. 【详解】函数的振幅为､频率为，初相为. 故选：C. 8．（2025高一·湖南株洲·期末）不通过画图，写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它的图象. 【答案】振幅为，周期为，初相为；图象得到过程见解析 【分析】根据正弦型函数的的组成，结合简谐振动的物理量，可依次写出相关量，它的图象可由正弦曲线经过伸缩平移变换得到. 【详解】由可得：函数的振幅为，周期为，初相为. 它可以由正弦函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 再向右平移个单位长度，就得到函数的图象，最后将其图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）， 即得函数的图象. 9．（2025高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 10．（2025高一·全国·课后作业）某振动物体的运动方程是，下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格． 0 ① ② ③ 0 2 0 0 (1)①为________，②为________，③为________（直接写出结果即可）； (2)求该振动物体的振幅、频率、初相． 【答案】(1)①，②，③ (2)振幅为2，频率为，初相为． 【分析】（1）根据规律求出，再依次填入即可； （2）根据表格得到其周期，求出，再根据零点得到，则得到解析式，最后根据振幅、频率、初相即可得到答案. 【详解】（1）因为，则空②填； 空③填；空①填. （2）根据表中已知数据可得， ，因此最小正周期为，，则， 当时，，（），解得，（）. 因为，则， ∴函数表达式为． 因此振幅为2，频率为，初相为． 11．（2025高一·广西柳州·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程. （2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为；振幅为；初相为； 对称轴方程为，解得. （2）由题意知，. 因为，所以，所以. 所以. 故函数的值域为. 12．【多选】（2025·江西景德镇·模拟预测）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据正弦型函数的初相、最小正周期、单调性以及函数的奇偶性，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于函数，初相为，A正确； 最小正周期为，B正确； 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，C错误； ，该函数为奇函数，D正确， 故选：ABD. 考点3三角函数的图象变换 (一)已知初始函数与变换过程，求目标函数 13．（2025高一·全国·课后作业）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移变换规律“左＋右－，上＋下－”，求函数的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再向下平移1个单位长度，得到的图象. 故选C 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换和诱导公式，谨记：“左＋右－”的变化规律是对于来说. 14．（2025高三·内蒙古阿拉善盟·期末）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移规则，依次先左右平移再上下平移后化简解析式即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度， 可得， 再向上平移4个单位长度，可得. 故选:A. 15．（2025高一·广东广州·期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数变换即可求解. 【详解】. 故选：D. 16．（2025高三·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式. 【详解】由题意得 故选：C 17．（25-26高三·重庆南岸·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移变换的方法，对正弦函数进行平移变换，求出结果. 【详解】由向右平移个单位后得， 故选：C. (二)已知变换过程和目标函数，求初始函数 18．（25-26高三·安徽·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C (三)已知初始函数与目标函数，求变换过程 19．（2025高二·云南·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 20．（2025高一·山西吕梁·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 21．（2025高一·四川·阶段练习）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】D 【分析】利用函数图像左右方向平移遵循的“左加右减”原则，即可得到结论. 【详解】将函数的图象向左平移，可得到， 即函数的图象. 所以，只需要将函数的图象向右平移，可得到函数的图象. 故选：D. 22．（2025高一·四川资阳·阶段练习）把函数图象上的所有点（   ）可得到函数的图象. A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得. 【详解】因为， 所以把函数图象上的所有点向右平移可得到函数的图象. 故选：D. 23．（2025高一·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【分析】根据图象平移的性质即可求解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位, 故选：B 24．（25-26高三·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的变换直接可得. 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象， 再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. 故选：C 25．（2025高一·四川成都·期末）为了得到的图象，只需要将上所有点（   ） A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 B．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的2倍 D．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的 【答案】C 【分析】根据三角函数平移伸缩转换即可判断. 【详解】将向左平移个单位得到，然后纵坐标伸长为原来的2倍得到. 故选：C 26．（2025高一·四川雅安·阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】将向左平移个单位长度可得， 故选：D 27．（2025高一·甘肃武威·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数平移规则得出选项. 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. (四)平移前后两个函数的名称不一致 28．（2025高二·湖南郴州·学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为，要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度， 故选：C. 29．（2025高一·全国·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 【详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 30．（2025高一·全国·专题练习）要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由三角函数图象平移原则判断选项即可. 【详解】由于， 所以将的图象向左平移个单位长度即得. 故选：B． 31．（2025高一·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 32．（2025高一·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再根据平移变换的规律即得. 【详解】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 33．（2025高一·广东·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】由即可判断. 【详解】因为 故将函数的图象向右平移个单位长度可得， 故选：D. 34．（2025高一·山东威海·期末）已知曲线，，则（    ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A (五)与辅助角公式的结合 35．（2025高三·山东聊城·阶段练习）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】利用辅助角公式和诱导公式，结合平移代换即可判断. 【详解】由辅助角公式得;， 由诱导公式得：， 所以只需要将向左移可得， 故选：C. 36．（2025高二·上海·阶段练习）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 37．（2025高一·湖北·期中）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 B．所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位 C．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】D 【分析】直接按照图象的伸缩平移变换可得正确选项. 【详解】因为， 所以先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再向左平移个单位，得到的图象. 故选：D． 38．（2025高三·重庆沙坪坝·开学考试）为了得到曲线的图象，可以将曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换公式化简解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】因为 ， 所以将曲线的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到， 再将向右平移个单位长度得到. 故选：C (六)函数图象变换前后的重合问题 39．【多选】（25-26高二·北京·开学考试）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】写出平移后的函数解析式，再由图象关系列出关于的等式，进而求出可能取值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 依题意，，解得，所以的取值可能是6，12. 故选：BD 40．（25-26高三·湖北孝感·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数图象的性质，确定函数的周期，从而得，即可得的最小值. 【详解】由题可知是该函数的周期的整数倍，即， 解得，故的最小值为 故选：D. 41．（2025高二·贵州贵阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数向左平移个单位长度后，可得，结合与图像重合，则与终边相同，得到即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到 又与函数的图象重合， 所以，即，， 即，，取，得到，， 故选：D. 42．（2025高三·甘肃白银·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】结合三角函数周期计算即可得. 【详解】由题知，是函数周期的整数倍，所以， 所以，所以正数的最小值为4. 故选：B. 43．（2025高一·上海浦东新·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 44．（2025高一·安徽亳州·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】/5.5 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 考点4三角函数图象变换的综合应用 (一)与周期性的综合 45．（2025高一·广东佛山·阶段练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期公式得个周期为，进而根据平移的法则即可求解. 【详解】的周期为，所以个周期为， 故将向右平移个单位得， 故选:D 46．（2025·山东济宁·模拟预测）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得. 【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 47．（2025高一·广东汕尾·期末）将函数的图象向左平移个周期后所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的最小正周期，直接根据平移规律即可得结果. 【详解】因为函数的最小正周期为，即， 故向左平移个周期后所得， 故选：D. 48．（2025高三·江苏·专题练习）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为 【答案】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数的解析式，然后由绝对值变换可得出函数的最小正周期. 【详解】，将函数的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的，得到函数的图象， 再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象， 再把所得图象向上平移个单位长度，得到， 由绝对值变换可知，函数的最小正周期为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题. 49．（2025高三·全国·专题练习）将已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由题意，得到，，再由其值域，得到，求解，即可得出结果. 【详解】由题意，得， 由，得， 因为在上的值域为， 所以，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由正弦型三角函数的值域求参数的问题，涉及三角函数的平移，属于常考题型. (二)与对称性的综合 50．（2025高三·浙江宁波·阶段练习）已知函数，若将的图像右移，其相位减少了，且为奇函数，则图像的周期是 ﹔其对称中心的坐标为 . 【答案】 【分析】根据可得，根据为奇函数，可得，根据周期公式可得周期，根据正弦函数的对称中心可得的对称中心. 【详解】依题意可知，解得， 此时，为奇函数，所以，， 又，所以，， 所以， 所以周期， 由，，得，， 所以其对称中心的坐标为. 故答案：；. 【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了根据函数的奇偶性求参数，考查了求正弦型函数的周期和对称中心，属于中档题. 51．（2025高一·辽宁大连·期末）若函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数的最小正周期为，再结合 【详解】由函数（，）的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 则得函数的最小正周期为，所以， 由向右平移个单位长度后得为奇函数， 则，，又，所以当时，有最小值，故B正确. 故选：B. 52．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，由图象的平移变换得，又，即，结合即可求解. 【详解】由题意有， 由的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度， 得到函数， 故， 所以，，，由于，所以． 故选：A. 53．（25-26高一·全国·单元测试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.的图象关于直线对称，，则（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据图象的平移变换及余弦函数的性质、充分必要条件的定义即可求解. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以 ， 因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】方法点睛： 规律总结 函数的性质 对称性 由可得对称轴；由可得对称中心的横坐标． 奇偶性 当时，函数为偶函数； 当时，函数为奇函数． 单调性 由可得单调递增区间； 由可得单调递减区间． 54．（2025高一·浙江杭州·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】. 【分析】利用三角函数的平移可得新函数，再结合正弦函数的图像性质，可求得函数的对称轴方程为，，通过对取值进行比较，从而可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程. 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度， 可得， 由正弦函数的图像性质可知，函数的对称轴方程为，， 解得，， 当时，；当时，， 所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 故答案为：. 55．（2025高一·上海黄浦·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 56．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则 ． 【答案】/ 【分析】由函数的最小正周期为，结合周期公式求，再求出平移后图象的函数解析式结合条件列方程求即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 所以，故， 所以， 将的图象向右平移个单位长度可得的图象， 因为的图象与曲线关于直线对称， 所以， 即， 所以或恒成立， 化简可得或（不是对任意实数恒成立） 解得， 又，所以． 故答案为：. 57．（2025高一·广东茂名·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】首先求平移后的解析式，再代入对称轴，求最小值. 【详解】先求平移后函数解析式：对于函数，图象向左平移个单位.根据函数图象平移规律“左加右减”，也就是给加上平移的单位数. 所以平移后函数的解析式是.   已知所得图象关于直线对称. 则. 得到.    因为，当时，不符合要求. 当时，，所以的最小值是. 故答案为：. 58．（2025·江苏南京·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则实数的值是 . 【答案】 【分析】由条件可得，化简求. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 所以，因为不恒为， 所以，所以. 故答案为：. 59．（2025高三·贵州·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先初步确定的解析式，根据确定满足的条件，得到的最小值. 【详解】因为. 又因为的图象关于点对称，所以， 即，所以，，且. 所以的最小值为：3 故答案为：3 60．（2025高三·全国·阶段练习）将函数向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最接近的对称中心的坐标是 【答案】 【分析】首先求出平移后的解析式，再根据对称中心结合距离y轴距离可得. 【详解】首先求出平移后的解析式，可得，而正弦函数的对称中心就是正弦函数时的所有点， 因此我们令 因此 令， 从而进而距离y轴更近，所以对称中心的坐标为. 故答案为： （三）与奇偶性的综合 61．（2025·全国·模拟预测）已知函数左移个单位后为偶函数，若，则当最小时， . 【答案】/ 【分析】先得出平移过后的函数解析式，再利用偶函数得到，进而根据其范围得出的值，即可得到的解析式，进而求出，即可求得. 【详解】函数左移个单位后得到 ， 因平移过后的函数为偶函数，则，则， 由于，则当时，则， 由于，则令， 得， 则当时，最小，此时. 故答案为： 62．（2025高一·河北保定·阶段练习）已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，且关于的方程在上恰有2个解，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，得到是偶函数，求得，再由在上恰有2个解，利用正弦函数的性质求得，结合，即可求解. 【详解】由题意，可得是偶函数， 则，可得； 又由在上恰有2个解，即在上恰有2个解， 因为时，可得， 所以在上恰有2个解， 由图象性质，可得，可得. 又因为，所以只有当时，符合题意，所以． 故答案为：． 63．（2025高一·广东茂名·期中）已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出，再由图象平移及诱导公式得解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 解得， 由题意， 因为函数为偶函数，， 所以，解得. 故答案为： 64．（2025高一·福建莆田·期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用伸缩变换和平移变换得到，由为偶函数得到方程，求出，得到最小值. 【详解】， 所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到， 向左平移个单位长度，得到函数， 因为为偶函数，所以，解得， 故的最小值为. 故答案为： 65．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，写出满足“将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，为奇函数”的的一个值： ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据图象变换可得，结合奇函数性质可得，即可得结果. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象， 又因为函数为奇函数，则，解得， 故可取的一个值为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 66．（2025高二·安徽六安·期末）已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则 . 【答案】4 【分析】由平移变换得到，再根据是偶函数，得到，然后由，得到，根据在上恰有4个零点，由求解. 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到， 函数， 因为是偶函数，所以，即， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为在上恰有4个零点， 所以，即， 所以当时，， 故答案为：4 67．（2025高一·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 68．（2025高一·山东临沂·期中）已知函数，将的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的图象，若是奇函数，且在上恰有2个解，则 . 【答案】 【分析】先由题意求出解析式，再结合三角函数奇偶性和函数图象性质即可求解. 【详解】由题意是奇函数， 所以由三角函数奇偶性得，①， 在上恰有2个解，即在上恰有2个解， 因为时，， 所以在上恰有2个解， 所以由图象性质得，②， 又，所以结合①②得只有当时符合. 故答案为：. 69．（2025高一·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围. 【详解】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， (四)与单调性的综合 70．（2025高三·天津·阶段练习）已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 【答案】 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 71．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数，现将该函数图象先向左平移个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用降幂公式化简函数，根据图象平移可得函数，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】 ， 由题意，， 当时，由，则， 由在上单调， 则，可得不等式组，解得； 或，可得不等式组，解得， 由，解得，由，则，则. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 72．（2025高三·重庆秀山·阶段练习）已知函数的图像过点，且在区间上单调，同时的图像向左平移个单位长度后与原来的图像重合，当，且时，，则 . 【答案】 【分析】由图象过点可得，利用图象平移后与原图象重合可得，结合题意得出，进而可得，求得函数对称轴进而可得，代入函数解析式计算即可. 【详解】的图象过点， 则，解得，又，所以； 所以，函数图象向左平移个单位之后与原来的图象重合， 故， 得，解得， 函数在上单调，有，解得， 所以，故， 函数的对称轴为：， 又且， 得当，由，得，所以， 所以， 故答案为： 73．（2025·宁夏银川·模拟预测）函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是 . 【答案】 【分析】由函数图象平移可得，根据在给定区间上单调，结合余弦函数的性质求参数的范围. 【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故， 又在即上单调， ∴， ,， 由或， 或， 综上，的范围为. 故答案为：. 74．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在[0，π]上的单调减区间是 ． 【答案】[，π] 【分析】根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题设可知C2的曲线方程:， 令，得． 令k＝0得C2在[0，π]上的单减区间为[，π]． 故答案为：[，π] 75．（2025·北京门头沟·模拟预测）函数在区间上单调，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先将函数化简，根据函数在区间上单调，得到，即可求出的取值范围，再由得到，即可得到的取值集合，即可得解； 【详解】解： 即 因为在区间上单调，所以，即，所以，解得 又，所以，所以，所以，所以， 当时，，若，，函数单调，符合题意， 则的最小值为1. 故答案为： 76．（2025高一·四川成都·期末）已知函数在上单调，且将函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的的最大值为 ． 【答案】 【分析】由函数在上单调，则区间长度不超过,即，从而得出，再根据函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合，则可得，从而得出的值，再解三角不等式得出答案. 【详解】∵函数在上单调， 所以，即，则 由于函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合. 所以，则，则 所以，则， 由于不等式成立， 故， 解得， 由于， 当时，，则不等式成立的的最大值为. 故答案为：. (五)与零点的综合 77．（2025·江苏苏州·模拟预测）设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点个数得到的取值范围，再根据各个的值得出零点个数判断各个选项即可判断. 【详解】当时， 因为在内恰有3个零点，，即存在有3个不同的解使得， 当时，，所以满足的值有，符合题意； 当时，，所以满足的值有，符合题意； 当时，，所以满足的值有，不符合题意； 当时，，所以满足的值有，符合题意； 故选：C 78．（25-26高三·广东阳江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据函数的图象变换求的图象，再利用整体代换结合正弦函数的图象和性质，利用函数的零点个数求的取值范围. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象， 再把纵坐标伸长到原来的3倍，可得函数的图象， 再把所得函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 结合的图象， 由在恰有3个零点， 可得. 故答案为： 79．（25-26高一·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围. 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 80．（2025高一·上海闵行·期中）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 81．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 82．（2025高一·重庆·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若、是函数在上的两个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数平移，伸缩变换可得到的解析式，再利用三角函数相邻零点关于对称轴对称，可以求出的值，进而可得到答案. 【详解】向右平移 个单位，可得到， 横坐标变为原来的 2 倍，可得到， ，即：，， 为上述方程的两个根，由于的周期也为， 所以为相邻的两个零点，所以， ，， . 故选：D 考点5 根据函数图象确定函数解析式 83．（25-26高三·山东聊城·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．3 B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图象求出周期，进而利用可得结果. 【详解】由题图知，即， 所以，又，则. 故选：A 84．（2025高一·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 85．（25-26高三·安徽安庆·开学考试）已知函数的部分图象如图，则曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据函数的图象相关信息，依次求出的值，即得函数解析式，在同一坐标系中作出两函数的图象，即得答案. 【详解】由图可知的周期为：，则； 由，可得，且， 所以，所以，所以； 又由，可得，解得，故， 在同一坐标系中，作出与的图象如图，可见两者有7个交点. 故选：B 86．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，即可根据周期排除AB，根据最高点坐标排除D，即可求解. 【详解】由图可知：图中函数的周期为, 而的周期为， 而选项AB中的函数周期均为,不符合题意，舍去， 对于D, ,当时，，不符合要求， 对于C, ，当时，，符合要求， 故选：C. 87．（2025高三·全国·专题练习）函数的部分图象如图所示，则在区间上的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象判断函数的最小正周期，运用余弦型最小正周期公式，结合函数的图象进行求解即可； 速解：得到函数解析式后，运用特例法进行排除即可. 【详解】由图象可知，（为最小正周期），所以，即， 所以，则．又，所以， 所以，又，即， 所以， 所以，又， 所以或． 故选：D 速解： 求出后，取，得，排除BC；取，得，排除A． 故选：D 88．（2025高三·全国·专题练习）若函数的部分图象如图所示，则的解析式和的值分别为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得到，，最小正周期为4，故，并计算出，利用函数周期得到答案. 【详解】由图象知，，最小正周期为4，故，解得， 故，所以，，，，， ，又， 所以 ． 故选：B． 89．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到最小正周期，求出，排除BD；再检验特殊值排除C，得到A正确. 【详解】因为，，所以相邻两条对称轴间的距离为， 即最小正周期，所以，排除BD； A选项，把代入，可得，满足题意， C选项，把代入，可得，不符合题意， 故A正确，C错误． 故选：A 90．（25-26高一·全国·单元测试）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据给定条件，结合函数的图象特征求出解析式，进而求出函数值. 【详解】设，由，得，由，得或， 由图知分别在相邻的两个递增与递减区间内，则， 即，解得，由及函数的图象在所在单调区间上递增， 得，即，因此， 所以. 故选：C 91．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则在的最大值为（   ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】由正弦函数的图像与性质结合图像依次求出，，即可求解. 【详解】易得，最小正周期，故，又， 则，即，，由可得， 故，易得，故的最大值为-1． 故选：C 考点6 三角函数性质的综合应用 92．（25-26高三·江苏·阶段练习）已知函数，且对任意，若，则的最小值为. (1)求和； (2)求图像与在上的交点个数. 【答案】(1)， (2)20 【分析】（1）根据求出，不妨令，根据，则的最小值为得到最小值为，故，求出； （2），恒等变换得到，换元后，等价于，解得或，分两种情况，得到且的共有个，得到答案. 【详解】（1）因为，而，所以； 不妨令， 则 ， 当且仅当或时该式取等. 故最小为，此时可取最小值. 而在单调递增，最小为，故不存在比更小的取值， 即不存在比更小的取值，即满足条件的最小值为， ， 且对任意满足的实数的最小值为，故. （2），不妨令， 则 . 此时，图象与在上的交点个数 等于方程在上的解的个数. 令，则该方程等价于. 化简得，即. 此时，或， 即或. 时，共有这10个取值， 即有10个符合条件的； 时，， 共有这10个取值，即有10个符合条件的； 故满足且的共有个， 即图象与在上的交点个数为20. 93．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. (1)求的最小值； (2)当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. （2）由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 94．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心； (2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象． ①若，解不等式； ②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式化简函数，根据最大值求得，结合整体换元计算得到对称中心； （2）先根据平移变换得到函数，①根据三角函数的性质求解即可；②由题意，得的范围，结合对称性得，求的值，化简得，即可得答案； 【详解】（1）因为 ， 所以，解得，所以． 令，得， 即图象的对称中心为． （2）由题意可得． ①由可得， 解得，即． 又因为，所以或， 故不等式的解集为或. ②因为，所以， 由，可得，所以． 由正弦函数图象的对称性可知， 所以，且． ． 所以 ． 95．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数的最大值为． (1)求φ的值及的单调递增区间； (2)先将向右平移个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像．若，，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为； (2). 【分析】（1）化简得到，根据的最大值为，求出，，整体法求出函数单调递增区间； （2）先根据平移和伸缩变换得到，分离参数，令，则，换元得到，求出最小值为，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 因为的最大值为， 所以，解得. 因为，故只有当时，满足要求，故， . 令， 解得， 的单调递增区间为； （2）图像上的所有点，向右平移个单位后，得到， 再将所得图像上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到， ， 即， 令，则， 则， 故， 其中， 当时，取得最小值，最小值为， 所以，解得或， 故实数的取值范围为. 96．（2025高一·山东烟台·期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）借助三角恒等变形来整理，利用周期性来求，结合正弦函数的单调增区间，即可求出该函数的单调递增区间； （2）利用图象的变换求出函数的解析式，再通过定义域求出值域，从而来找到满足不等式恒成立的条件，最后可求解的取值范围. 【详解】（1）由， 由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为， 因为，所以，即， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）将函数的图象向右平移个单位长度可得，， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 即， 对任意的，有，此时， 此时有， 要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或， 故实数的取值范围这. 97．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，函数的图象关于直线对称，求在上的单调递增区间； (2)若的图象向右平移个单位得到的函数的图象，函数在上仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）根据条件，求得，利用的性质，结合题设条件，即可求解； （2）根据条件，直接求出的零点，结合题设条件，建立不等关系，即可求解. 【详解】（1）因为，所以 ， 由的图象关于直线对称， 所以，整理得到， 又因为，所以当时，，所以， 令，解得， 又，令，得到，令，得到， 所以在上的单调递增区间为和． （2）由已知得，令，得， 所以，因为在上仅有一个零点，， 所以， 整理得到，，所以，， 解得，因为，所以，则． 98．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 【答案】(1)0 (2)与. (3)2 【分析】（1）由降幂公式结合辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的值域可得； （2）由正弦函数的单调性整体代入后，给赋值可得； （3）先由图象平移的性质得到，再由正弦函数的对称性可得. 【详解】（1）. 当时，， 且当时，取得最大值，即解得. （2）由（1）知. 令，得， 当时，；当时，；当时，. 又在区间上的单调递增区间为与. （3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象， 再向右平移2个单位长度得到的图象， 即. 令，得， 的图象在内的对称轴为直线. 因且则， . 99．（2025高一·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体代换法计算即可求解； （2）根据三角函数图象的伸缩平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）， 令，则， 的单增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来， 得图象，即， 当，则， 当即时，单调递增， 当即时，单调递减， 又， 在的值域为. 100．（2025高一·安徽合肥·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象上所有的点向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象． ①设，求函数在上的值域； ②方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）由图象可解得，由可算出，由点可算出，从而得到函数的解析式和对称中心； （2）①由题干变换方法得到函数的解析式，再利用三角恒等变换得到函数的解析式，由三角函数的单调性可求得函数在上的值域； ②令，由余弦函数的图象的对称性可知，，从而可以算出的值． 【详解】（1）由图象可得，解得， 又，所以，所以，故， 又因为过点， 所以， 又，所以，故， 令，解得， 所以的对称中心为． （2）①将函数的图象上所有的点向左平移个单位得到 ， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到， 最后将所得图象上所有的点向下平移1个单位（横坐标不变），得到函数的图象， 则， ， 当时，， 即函数在上的值域是． ②，即， 令，则有三个不同的实数根， 由余弦函数的图象的对称性可知，， 所以，即， 所以，所以． $