精品解析： 吉林省长春市第一零三中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷(六三制）

长春市第一〇三中学校2025-2026学年度上学期九年级（数学）学科 九月份大练习A 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的为(　　) A. B. C. D. 3. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 4. 下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 8. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 当_____时，二次根式有意义． 10. 如果，那么______． 11. 若是方程的一个根，则__________． 12. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝___． 13. 某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 14. 如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线与相交于点E，交的延长线于点G，且F为中点，，①，②，③，④，则正确的序号是______． 三、解答题（共78分） 15. 计算 16. 计算． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点，边上确定一点，连结、、，使的周长最小． 19. 如图，直线交于点O，，若，求的值． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为2，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ （2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？ 22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 23. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是______，______，______，______． （2）请用“平均数法”解方程：． 24. 如图，在长方形中，边的长是方程的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边上时，当______时，使长为； （3）当点P运动到边上时，当______时，使是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第一〇三中学校2025-2026学年度上学期九年级（数学）学科 九月份大练习A 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的特征“①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，则不是最简二次根式，所以B选项不符合题意； C．，则不是最简二次根式，所以C选项不符合题意； D．，则不是最简二次根式，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)二次项系数不为0；(4)是整式方程． 【详解】解：A. ，含有两个未知数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有两个未知数，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，符合一元二次方程定义，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 4. 下列长度的四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴长分别为的四条线段是成比例线段，符合题意； B、∵， ∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意； D、∵， ∴长分别为的四条线段不是成比例线段，不符合题意； 故选A． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意． B、原式，故B符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 6. 如图，在宽度为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，运用图形平移的方法得到草坪的长和宽是解题的关键． 根据题意，利用平移的方法，得到长为，宽为，由此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，将道路平移，如图所示， ∴长为，宽为， ∴， 故选：A ． 7. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 8. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，轴对称图形的性质，勾股定理．运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【详解】解：解方程得， ∴该方程的正根为 设，则， 由折叠的性质可知：≌，是的中点， ，， ∵再中，，， ∴， ， ， 解得：， 即， ∴恰好是方程的一个正根的线段为线段． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 当_____时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 10. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：由， 可得：，， 所以， 故答案为． 【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答． 11. 若是方程的一个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 12. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝___． 【答案】3 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝m，结合x1+x2﹣x1x2＝2可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝m． ∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2， ∴m＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得到x1+x2＝5、x1x2＝m． 13. 某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后将共有169名感染者得，即，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即每轮传染中，平均每个人传染了12个人， 故答案为：12． 14. 如图，在平行四边形中，点F是上的点，，直线与相交于点E，交的延长线于点G，且F为中点，，①，②，③，④，则正确的序号是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由线段的和差可得，利用平行四边形的性质可得，，易证，可得，，，即可判断①正确，则、；再证明可得，即，易判断②；证明可得可判断③；由利用相似三角形的性质可求得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，，，即①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误． ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即④错误． 综上，正确的为①②． 三、解答题（共78分） 15. 计算 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用平方差公式和算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式、立方根的意义，有理数的乘方进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：， ， 所以， 所以． 18. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点，边上确定一点，连结、、，使的周长最小． 【答案】（1） 解：如图①，点即为所求． 由图可得， ， ， ， ， ； （2） 解：如图②，过点作的平行线，交于点， ， ， 则点即为所求． （3） 解：如图③，取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时的周长， 则的周长最小， 则点，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、轴对称最短路线问题、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格直接画图即可． （2）结合相似三角形的判定与性质，过点作的平行线，交于点，则点即为所求． （3）取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，直线交于点O，，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为2，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 【答案】（1） （2） 证明：根据题意得：， ∴不论a取何实数，该方程都有两个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解、根的判别式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）利用一元二次方程根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解：∵该方程的一个根为2， ∴，解得：． 【小问2详解】 略 21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ （2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？ 【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形． （2）□ABCD的周长是5. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根， ∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0， 解得：m＝1． ∴当m为1时，四边形ABCD是菱形． （2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0， 解得：m＝， ∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根， ∴AB+AD＝m＝， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5． 【点睛】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键 22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）25% （2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解； （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%； 【小问2详解】 解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 23. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 我们称这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是______，______，______，______． （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5，3，2，﹣12；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b、c、d的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． 【详解】解：（1）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． ∴a=5，b=3，c=2，d=﹣12， 故答案为：5，3，2，﹣12； （2）解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． 24. 如图，在长方形中，边的长是方程的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边上时，当______时，使长为； （3）当点P运动到边上时，当______时，使是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）当时，长为． （3）当t为10秒或秒或秒时，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、勾股定理知识点，正确解出方程、灵活运用勾股定理列出算式是解题的关键． （1）解一元二次方程即可求得AB与BC的长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意分为，三种情况分别可求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 【小问2详解】 解：如图：当点P运动到边上时，， ∴， ∴，解得：或 (舍去)， ∴当点P运动到边上时，当时，长为． 【小问3详解】 解：∵长方形中，， ∴ 如图：①当时，(秒)． ②当 (即P为对角线中点)时，． ∴，， ∴(秒)． ③当时，作于Q， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴，        ∴(秒)， 综上，当t为10秒或秒或秒时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $