精品解析： 浙江省杭州市育才中学2025-2026学年上学期九月月考数学试卷

锦绣育才教育集团2025学年第一学期九月月评 九年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将教数匠你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，教数匠每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 4. 若抛物线的对称轴是直线，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（ ） A. B. C. D. 7. 五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 9. 已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　） A. B. C. D. 卷II 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把二次函数改写成形如的形式为_________________. 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 13. 在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为___________． 14. 如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为__________． 15. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是___________ 16. 如图，在半径为2的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为___________； （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为___________ 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 18. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 19. 已知二次函数 （1）求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． （2）根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 20. 如图，已知 （1）用直尺和圆规作出的外接圆； （2）若，，求的半径． 21. 如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结． （1）若，求的度数； （2）求证：． 22. 课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 24. 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形内接于，对角线，且． （1）求证：； （2）若的半径为8，弧的度数为，求四边形的面积； （3）如图2，作于，请猜测与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦绣育才教育集团2025学年第一学期九月月评 九年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将教数匠你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，教数匠每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 2. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上， 他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 3. 如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由已知可求得∠C的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ADC的度数． 解：∵∠ABD=20° ∴∠C=∠ABD=20° ∵CD是⊙O的直径 ∴∠CAD=90° ∴∠ADC=90°﹣20°=70°． 故选D． 考点：圆周角定理． 4. 若抛物线的对称轴是直线，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴为直线，求得b的值，将b值代入解一元二次方程即可． 本题主要考查了抛物线的性质，一元二次方程的解法，利用二次函数的对称轴为直线，求得b的值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴． ∴． ∴关于x的方程为：． ∴，． 故选：B． 5. 若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，第一象限内点的坐标特征． 根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为， 根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，由旋转得到，从而，进而根据三角形的内角和求出，再由旋转角即可解答． 【详解】解：∵，， ， 又、为对应点，点为旋转中心， ，， ， ∴， ∴． 故选：A． 7. 五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形找到规律解题即可. 【详解】观察题图可知，从第个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少，第个图形有条分支，每条分支上有个点,所以, 即 . 故选D. 【点睛】本题考查规律型：图形的变化，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2． 【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠APC=30°， ∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=， ∴CD=2CH=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键 9. 已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．设二次函数，先求出二次函数与轴的交点坐标为和，再画出大致函数图象，根据二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，结合函数图象即可得． 【详解】解：设二次函数， 当时，，解得或， 所以二次函数与轴的交点坐标为和， 画出这个二次函数的大致图象如下： ∵方程的两个解为， ∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为， 结合函数图象可知，， 故选：A． 10. 如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3． 【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图， ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD=BD=AB=2， 在Rt△OBD中，OD==1， ∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D， ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆， ∴， ∴AC=DC， ∴AE=DE=1， 易得四边形ODEF为正方形， ∴OF=EF=1， 在Rt△OCF中，CF==2， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键. 卷II 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把二次函数改写成形如的形式为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先将等号右侧提取公因数2，再利用配方法配方即可. 【详解】 = = = = 故答案为 【点睛】此题考查的是将一般式化成顶点式，掌握配方法是解决此题的关键. 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 13. 在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率． 列举随机闭合两个开关的所以可能，即可得随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率． 【详解】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下： 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡不发光， ∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 14. 如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，若半径，则图2的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个的长，根据弧长公式可得结论． 【详解】解：由图1得：的长+的长=的长， ∵半径， 则图2的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键． 15. 已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解一元一次不等式组． 由二次函数的解析式，可得对称轴为直线，根据二次函数的图象和性质，结合已知，按照和进行分类讨论，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵点在抛物线上， ∴， ∵当时，总有成立， ∴或， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在半径为2的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为___________； （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张． （1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率； （2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由． 【答案】（1）小丽取出的卡片恰好是的概率为 （2） 解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下： 小丽 小明 数字之积 ∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种， ∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平，对小明有利． 【解析】 【分析】本题考查概率与游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法可得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可． 【小问1详解】 解：小丽取出的卡片恰好是的概率为． 【小问2详解】 略 18. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】（1）的度数为； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 19. 已知二次函数 （1）求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． （2）根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 【答案】（1） 函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，； （2） 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数图像与坐标轴的交点，二次函数与不等式． （1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标； （2）根据图像，即可得当时，的取值范围；根据图像，即可得当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴函数图像与轴交于点， 当时，， 解得，， ∴函数图像与轴交于点，， ∴函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，． 【小问2详解】 解：二次函数的图像： 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 20. 如图，已知 （1）用直尺和圆规作出的外接圆； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）分别作、的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接交于，，可证垂直平分，则可根据勾股定理计算出，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于， ， 垂直平分， 即，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， 即的半径为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定及性质，三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理等，掌握作法及相关的定理是解题的关键． 21. 如图，A，B，C是上的三点，且．过点B作于点E，延长交于点D，连结． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）知， ∵直径，， ∴． ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和弧与圆心角的关系可得，由得，即可求得结果； （2）由（1）可知，由圆周角定理和可得，可证得，进而可知，即可证得结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴，即:． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题圆周角定理及弧与圆心角之间的关系，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 22. 课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题： （1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明． 【答案】（1）；（2）最大值为，窗户透光面积的最大值变大了. 【解析】 【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可； （2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）由已知可得：AD=则S=1×m2， （2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴， 设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）= 当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象的平移、根与系数的关系、不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题的关键． （1）把代入二次函数中，整理可得解； （2）由的最小值为，可得，结合（1），可得二次函数的表达式和平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可； （3）由根与系数的关系进行变形求解． 【小问1详解】 解：把代入二次函数中， 得：， 整理可得：， ∴， 即对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵的最小值为， 即当时，， 又∵， ∴有， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， ∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：， 可得对称轴为：直线， 故当时，； 开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远， ∴函数最大值在处取到，即， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴， 图象与轴的交点分别为，，且， ∴，， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 解得：． 24. 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形内接于，对角线，且． （1）求证：； （2）若的半径为8，弧的度数为，求四边形的面积； （3）如图2，作于，请猜测与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵AC=BD， ∴， 则， ∴AB=CD； （2）96； （3）AD=2OM，证明如下： 连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2， ∵OE⊥AD， ∴AE=DE， ∵∠BOC=2∠BAC， 而∠BOC=2∠BOM， ∴∠BOM=∠BAC， 同理可得∠AOE=∠ABD， ∵BD⊥AC， ∴∠BAC+∠ABD=90°， ∴∠BOM+∠AOE=90°， ∵∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE， 在△BOM和△OAE中， ， ∴△BOM≌△OAE（AAS）， ∴OM=AE， ∴AD=2OM． 【解析】 【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明； （2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可； （3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H， ∵弧BD的度数为120°， ∴∠BOD=120°， ∴∠BOH=60°， 则BH=OB=， ∴BD=， 则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96； （3）略 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $