1.3一元二次方程的根与系数的关系自检卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

1.3一元二次方程的根与系数的关系自检卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．若方程的两根为，，则（    ） A． B． C． D．3 2．若关于x的方程有两个根，则的值为（　　） A． B．1 C．2024 D． 3．已知，是方程的两根，则的值为（   ） A． B．0 C．10 D．14 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．6 B． C． D．8 5．若，是关于x的方程的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．6或 6．关于的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 7．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 k 的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程，当时方程的两根分别是和，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 9．方程的两实数根的和是，则k的值是（   ） A．3 B． C．0 D．1 10．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 二、填空题 11．已知关于x的方程的一个根为2，则另一个根是 ． 12．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 13．若关于x的一元二次方程的两个解分别为m、n，则 14．已知，且，则代数式的值为 ． 15．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则 16．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于A，B两点，与轴交于点．若，的面积为5，的值为 ．    三、解答题 17．已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程． (1)证明：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 19．已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 20．综合与实践 已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，． (1)当时，求方程的根． (2)若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长． (3)若，且，求的值． （温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，） 21．阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3一元二次方程的根与系数的关系自检卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C A C C B A A 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，先将方程化为一般式，再根据根与系数的关系得出答案 【详解】解：， ， ，为方程的两个根， ， 故选：B 2．B 【分析】本题考查了根与系数的关系，先利用根与系数的关系得到，，则可求出，然后根据乘方的法则计算即可． 【详解】解：x的方程有两个根， ，， 解得， ． 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解使方程成立的未知数的值是解题的关键． 由一元二次方程的解、根与系数的关系可得，，即，再对代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，由题意得到，，再由得到，再得到方程，解得b，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若是一元二次方程的两根时，． 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设是一元二次方程的两个实数根， ， ， 两根的符号相反， 故ABD错误，不符合题意；C正确，符合题意． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、实数与数轴，由四个根之间的关系结合根的判别式求出值是解题的关键． 设，则原方程可变形为，设该方程的两个实数根为、，得到原方程是四个实数根，由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，结合根与系数的关系以及根的判别式即可得解． 【详解】解：设，则原方程可变形为，即， 设该方程的两个实数根为、， 则原方程的四个实数根为，， ∵它们在数轴上对应的四个点等距排列， ∴， ∴， ∴， 对于方程， 由，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴符合题意． 故选：C ． 8．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，算术平方根，熟记关于x的一元二次方程的两根分别为、，则，是解决问题的关键．当时方程的两根分别是和，可得，求出的值，再求的值，即可求解． 【详解】解：∵当时方程的两根分别是和， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），注意判别式隐含的实数根存在条件是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数，一次项系数， 解得：， 当，，符合题意． 故选： A． 10．A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 11．/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程另一根为，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得，可解得，然后根据根与系数的关系得到，再解一次方程即可． 【详解】解：设方程另一根为， 把代入方程得， 解得， ∴原方程化为， ∵， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 令，根据题意列不等式组，解不等式组即可． 【详解】令，因为方程的两根都大于， 所以由题意可得， 解得：， 解得：， 解得：或， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后根据完全平方公式变形计算得出，最后求出结果即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两个解分别为m、n， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的得出根与系数的关系是解决本题的关键． 先将两边同时除以，进而可以分析m与n的关系，最后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：将可得，方程两边同时除以， 得，即， ∵， ∴m和同时满足， 又∵， ∴， ∴m和是的两个不同根， ∴， ∵ ， 将代入，原式， 故答案为：11． 15．或 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴ ∴，整理得：， 解得：或， 当时，原方程为，有实数根，符合题意； 当时，原方程为，有实数根，符合题意； 故答案为：或． 16．12 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，交点坐标和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上性质． 设点A的坐标为，点B的坐标为，得到，，由勾股定理得出，求得，，然后利用三角形的面积列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，则，是方程=的两个根， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴=， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1)5； (2)； 【分析】本题主要考查根与系数的关系，完全平方公式，解决此题的关键是熟记根与系数的关系； （1）根据根与系数的关系得到两根之积和两根之和，再把要求的式子变形即可得到答案； （2）运用完全平方公式把要求的式子进行变形即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴． 18．(1)见详解 (2)它的另一个根为，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解；掌握一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根；、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可得证； （2）将该方程的一个根为代入方程即可求出的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）证明： ， 故该方程总有两个实数根； （2）解：该方程的一个根为， ， 解得：， 设另一个根为， ， 解得：， 故它的另一个根为，的值为． 19．(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【详解】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理； （1）根据题意得原方程为：，解方程，即可求解； （2）根据题意得出原方程为：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据勾股定理即可求解； （3）根据题意得出原方程为：，设得出，根与系数的关系：根据已知，得出或，再求得原方程的判别式，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴原方程为：， 可得： （2）解：∵，，， ∴原方程为： ∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长， ∴ ∴此的斜边的长为 （3）解：∵， ∴ ∴原方程为： ∴ 设 ∴ 由根与系数的关系： ∵，代入得：. ∴即 解得：或 ∵中， 当时， ∴当时，， 当时，，原方程无实根，舍去， 综上所述， 21．(1)满足，详解见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【详解】（1）由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2）一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； （3）和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $