专题十一 分类讨论与三解填空题-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考集训本

专题十一 分类讨论与 类型个以直角三角形为模型 1,一副直角三角尺按图①所示的方式叠放，现将 含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角 尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至 少有一组边互相平行.如图②，当∠CAE=15 时，BC∥DE,则∠CAE(0°<∠CAE<180°)其 他所有可能符合条件的度数为 图① 图② 第1题图 2.在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=6,BC =8,P是AB的中点，Q是△ABC的直角边上 的点.若线段PQ把△ABC分割为两部分，所得 的三角形与△ABC相似，则CQ的长是 3.(2025吉安吉州区一模)在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=25,BC=2.D为AC中点，E为边 AB上一动点.当构成的四边形BCDE有一组邻 边相等时，AE的长可以是 类型2以等腰三角形为模型(2021T12) 4.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A= 20°，BP平分∠ABC,D是射线BP上一点.若点 D满足△BCD是等腰三角形，则∠BDC的度数 为 R 第4题图 第6题图 5.△ABC是等边三角形，点D与点A在BC的同 侧，连接DB,CD.若△DBC是等腰直角三角形， 则∠ADB的度数为 6.如图，已知△ABC和△BDE均为等腰直角三角 形，且∠C=∠D=90°，BC=2,BD=3√2.将 △BDE绕点B顺时针旋转180°，在旋转过程中， 246420己6江西数学 三解填空题(10年10考) 当点D落在Rt△ABC的一边所在直线上时，AE 的长为 7.在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上， 点A在第一象限，且AO=AB=2,点E在线段 OB上运动.当△AOE和△ABE都为等腰三角 形时，点E的坐标为 8.(2025绥化，有改动)在边长为7的等边三角形 ABC中，点D在AB上，BD=2.M是直线BC 上的一个动点，连接MD,以MD为边在MD的 左侧作等边三角形MND,连接BN.当△BND 为直角三角形时，CM的长是 类型③以特殊四边形为模型(2025T12,2023T12, 2020T12,2018T12,2016T12) 9.如图，在矩形ABCD中，AD= 6,AB=8,将对角线AC绕若 D 点A旋转a(0°<a<360)得到 AE,连接DE,BE.若△ADE 为直角三角形，则线段BE的 第9题图 长度可能为 10.在GABCD中，AB=5,BC=8.sm∠ABC= 若P是□ABCD上一点，则当△PBC是直角三 角形时，CP的长为 11.如图，在□ABCD中，AB=12,AD=10,∠B 4 为锐角，且sinB=5.P是边AB上一动点，点 C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得到点 C',D.当△AC'D'是直角三角形时，BP的长 为 第11题图 第12题图 12.如图，在边长为12的菱形ABCD中，∠B=60°， 连接AC,P为图中任意线段上一点.若AB= 2AP,则BP的长为 13.(2025九江湖口二模)如图，四边形ABCD为正 方形，射线DC上有一动点E(不与点D重合)， 点D,F关于直线AE对称，连接CF,BF.当 △FCB是等腰三角形时，∠DFE的度数为 第13题图 第14题图 类型④以圆为模型(2024T12) 14.如图，已知点A(2,0),⊙A的半径为1，OB切 ⊙A于点B,P为⊙A上的动点.当△POB是 等腰三角形时，点P的坐标为 15.如图，在半径为3cm的⊙O中，有A,B,C三点 在圆上，∠BAC=75°，∠AOB=90°，点P从点B 开始以等ms的速度在劣弧BC上运动，连接 OP,OC.设运动时间为ts,当以P,B,A,C四点 中的三点为顶点的三角形是等腰三角形（非等边 三角形)时，1的值为 第15题图 第16题图 16.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6,P是弦 AB所对的优弧上的动点，连接AP,过点A作 AP的垂线交射线PB于点C.当△PAB是等 腰三角形时，线段BC的长为 类型⑤ 以平面直角坐标系或函数为模型 (2022T12,2019T12,2017T12) 17.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5， 0),点C的坐标为(0,4)，四边形ABCO为矩 形，P为线段BC上的一动点，若△POA为等 腰三角形，且点P在双曲线y=二上，则k的值 可以是 0 第17题图 第18题图 18如图点A(号副在函数y一兰>0)的图象上. 过点A作AB∥x轴，交y轴于点B.若点P在函 数y=(>0)的图象上，且∠PBA=45,则点P 的横坐标是 19.在平面直角坐标系中，已知A(4,0),B(0,一4)， BC∥x轴，点D在直线BC上，BD=1,P是y轴 上一动点.若AP⊥DP,则点P的坐标为 20.(2025瑞昌三模)如图，一次函数y=一3x+3 的图象分别与x轴y轴相交于点A,B.C为第 一象限内的一点，当△ABC是等腰直角三角形 时，点C的坐标为 第20题图 21,如图抛物线y=宁+7-3与x轴的负半 1 轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,D,E 分别是直线x=一1与抛物线上的点.若点A, B,D,E围成的四边形是平行四边形，则点E 的坐标为 第21题图 集训本 2478.A【解析】如图所示，可得甲、乙都可以拼一个面积是 20的大正方形. 9.D【解析】由题意可得AG=PE=PF=CH,PG= AE=PH=CF,设PH=PG=b,PE=PF=a,则 AB=a+b.EF=2a.GH=2b. ∴.C两s=EF+AE+AG+GH+CH+CF=Ea+b +a+√2b+a+b=√2(a+b)+2(a+b)=(2+2)(a +b). a十b不变，∴C剧不变. 10.C 11.D【解析】如图，连接AC,OC', D C'D. 四边形ABCD是矩形， .AB=CD.AC BD.OC 1 1 AC.OB=OD-7BD. .OB=OC=OD=OC', ·.∠OCB=∠OBC, .∠DOC=∠OBC+∠OCB=2∠CBD=36. :点C',D的距离等于1，AB=CD=1 :.CD=C'D. .△DOC2△DOC'(SSS). ∴.∠DOC=∠DOC', .∠C'OC=2∠D0C=72 故a的值为72. 12.D【解析】由题意，得方案一中圆形纸片的直径为 √+3=√o(cm): 方案二中圆形纸片的直径为√2+2=2反(cm): 方案三中圆形纸片的直径为2X+1严=2√瓦 (cm). 按图所示的位置摆放，连接OB,ON,延长OH交AB 于点P,则OP⊥AB,P为AB的中点 设OG=xcm,则OP=(2-x)cm. .ON=0B. 2+1=2-x0+(份） 13 13 x=60G= 16 cm -5 -(cm) 16 8—(cm. 女此时圆形纸片的直径为2X3T=5曾 5 8<2<而. 六圆形纸片的最小直轻为5厘 8(cm), ∴方案一，二、三中圆形纸片的直径都不是最小的。 13.D【解析】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四 块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， ∴.(a+b)2=b(b+a+b), ∴.b2-ab-a2=0. 解得6=中5。（负值已合去. ∴.正方形的边长与等腰三角形的底边长的比值为(a +b6=(a+145):(x+5)- ,正方形面积为4， ∴.(a+b)2=4,即a+b=2, .2-5+1 …2% 4 ..2b= 885-=25-1. √5+15-1 号 1524 【解析】根据题意，得四边形EGH的面积 =m+(份)=m+行 四边形ABCD面积=(a一)广=m-mm+分 :四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的 2倍， m+号-2(-m+. 整理，得4m2-8mn十n'=0, 4(）'-8·只+1=0. 设=1， ∴.42-81+1=0， 解得-中-2合去 =2+ 专题十一分类讨论与三解填空题 1.60°或105°或135°【解析】如图①，当AE∥BC时， ∠CAE=90°-30°=60°： 参考答案 91 图① 图② 如图②，当DE∥AB(AD∥BC)时，∠CAE=45°+60° =105°： 如图③，当DE∥AC时，∠CAE=45°+90°=135°. 图③ 综上所述，∠CAE其他所有可能符合条件的度数为 60或105或135 2.3或或4【解析】：∠ACB=90,AC=6,BC=8, ∴.AB=√JAC+BC=√6+8F=10. :P是AB的中点.AP=BP=2AB=×10=5. 如图①，点Q在AC边上，且∠AQP=∠ACB=90, Pm/ac△MPq△MBC是-品-高= 名∴AQ=24C=2×6=3CQ=AC-AQ=6- 3=3. 如图②，点Q在BC边上，且∠QPB=∠ACB=90°. ∠B=∠B.∴.△QBP∽△ABC, 9器--号08-号A=×10-号 5 …CQ =C-80=8-空-子 如图③，点Q在BC边上，且∠PQB=∠ACB=90°， PQ∥AC.△PBQO△MBC器-既-音 ∴BQ=Bc.cQ=8c=7×8=. 综上所述，CQ的长为3或或4. ① 图② 13 3.2或3或5 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=2√5，BC=2, ∴.AB=AC+BC=4, 92 。4己026江西数学 ∠A=30°. D为AC中点， ∴.AD=CD=3. 当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，分以下三 种情况讨论： ①如图①，当BC=BE时， ∴.BE=BC=2, ∴.AE=AB-BE=4-2=2; ②如图②，当CD=DE时，作DF⊥AE, 垂足为F. :AD=CD=DE,DF⊥AE .AF-EF-TAE. 在R△ADF中，DF=AD= 2 六AF=VD-DF= 3 3 ∴.AE=2×2=3: ③如图③，当BE=DE时，作DF⊥AE, 垂足为F, :BF=AB-AF=4-2=2 35 5 设EF=x,则BE=BF一EF= 2 -I. 图3③ 在R△DEF中，DF=,DE=BE= 5 -x.EF=z. EF+Dr=DE,即+()=(-月 11 解得x= 11 即EF=0, ∴AE=AF+E球=受+品-号 13 综上所述AE的长可以是2或3或亏 4.40°或70°或100°【解析】：△ABC是等腰三角形， AB=AC,∠A=20°， 1 ·∠ABC=∠ACB=Z(180°-∠A)=80. 1 BP平分∠ABC.∠PBC=Z∠ABC=40 分以下三种情况讨论 ①当BC=CD时，如图①， 则∠BDC=∠DBC=40°： 3 ②当BC=BD时，如图②， 则∠BDC=∠BCD=Z(180°-∠DBC)=70, ③当BD=CD时，如图③，则∠DCB=∠DBC=40° .∠BDC=180°-∠DCB-∠DBC=100° 综上所述，∠BDC的度数为40°或70°或100° 5.75或135或30°【解析】：△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC. 分以下三种情况讨论： ①如图①，当CD为斜边时，BD=BC,∠DBC=90 ∴.BD=AB,∠ABD=∠DBC-∠ABC=30°， ÷ZADB=21s0-∠ABD)=75, ②如图②，当BC为斜边时，∠DBC=45°，BD=CD, 则∠ABD=60°-45°=15° .'AB=AC,AD=AD,.△ABD2△ACD(SSS), ÷∠BAD=∠CAD=Z∠BAC=30, .∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=135°： ③如图③，当BD为斜边时，∠BCD=90°，∠BDC= 45°，BC=CD. ∴∠ACD=90°-60°=30 AC=BC,∴.AC=CD. ∠ADC=Z180°-∠ACD)=759 .∠ADB=∠ADC-∠BDC=30°. 综上，∠ADB的度数为75或135或30° 图① ② 6.6-22或25或2斤【解析】BC=2,BD=3√2， ∴.由等腰直角三角形的性质可得DE=3√2，AB= 2√2，BE=6. 分以下三种情况讨论： ①当点D落在直线BC上时，如图①，易知点A在BE 上，∴.AE=BE-AB=6-22: 图① 图② ②当点D落在直线AB上时，如图②， 此时AD=BD-AB=35-2E=V2,.AE= √AD+DE=√2)+(32)'=25 ③当点D落在直线AC上时，如图③，易知CD= √BD-BC=√(32)-2=14. “,'△ABC和△BDE均为等腰直角三角形， ÷乙C-∠ED=45小需- =cos45= 2 ∠CBD=∠ABE, ÷△CBDABE,是-8配-号 ∴.AE=√2CD=√2XI4=27. 综上，AE的长为6-22或25或2√7 7.(2,0)或(2,0)或(5-1,0)【解析】如图①，当AE =OE,AE=EB时，OE=BE AO=AB=2.∴AE⊥OB, ∴OE+AE=A02, 即OE2+OE2=22, 解得OE=√反（负值已会去），∴.点E的坐标为（√瓦， 0): 图① 图2 如图②，当OE=OA,EB=EA时. AO=AB=2,∴.OE=OA=2. 点E的坐标为(2,0)： 如图③，当OE=AE,EB=AB时， ∠AOE=∠EAO. A0=AB=2,∴.∠AOB= ∠ABO=∠EAO,BE=2, OE OA △0EA∽△0AB,O=OB ③ 2 ?一0E+2解得0E=5-1(负值已舍去). ∴点E的坐标为(5-1,0). 综上，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E 的坐标为(2,0)或(2,0)或(5-1,0). 8.8或6或9【解析】如图，过点D作DE∥AC交BC于 点E. 分以下四种情况讨论： ①当∠DBN=90时，如图①，连接EN. :△ABC,△DMN是等边三角形， ∠DBN=9O°，DE∥AC, ∴.∠ABC=∠DEB=∠MDN= ∠BDE=60°，DM=DN,即△DBEc4 E, 是等边三角形，∴BD=DE=BE= 2,∠NBE=∠DBN-∠DBE= 图① 30°，∠EDN+∠NDB=∠NDB+∠MDB=60°， ∴∠EDN=∠BDM, ∴.△DEN2△DBM, ∴.∠DEN=∠DBM=180°-60°=120°，BM=NE .∠BEN=∠DEN-∠DEB=6O°， ∴.∠BNE=90°， 参考答案 93 六NE=BE=1,即BM=1 ∴.MC=BC+BM=7+1=8； ②当∠BDN=90°，点M在△ABC上时，如图②，连 接EN, 同理可得△DEN2△DBM,∠NDE =∠BDN-∠BDE=90°-60 =30°， .∠NED=∠MBD=60°，即 ∠DMB=∠DNE=90°， BM=BD.0s60=2X2=1, 图2 ∴.CM=BC-BM=6: ③当∠BND=90时，如图③. 同理可证△DBN2△DEM,DE= BD=2,∠DEM=60°. ∴.∠DME=∠DNB=90° ME=DE·cos60°=2X 21. :DE=BD,DM⊥BE,∴.BM= 图③ ME=1. ∴.CM=BC-BM=6: ④当∠BDN=90°，点M在△ABC外时，如图④. 同理可证△DBN2△DEM,DE= BD=BE=2,∠DEM=60°， ∴.∠MDE=∠NDB=90°，CE=BC -BE=5, B E ·ME=DE2 =4, .∴.CM=ME+CE=9. 综上所述，CM的长是8或6或9. 9.2√73或18或2【解析】四边形ABCD是矩形， .AD=BC=6,AB=CD=8,∠ADC=90°， ∴.AC=AD+CD=10.由旋转，得AE=AC=10. 在△ADE中，AD<AE,∴·∠AED≠90 ①当∠ADE=90时，如图①， AE=AC=10,AD=6,∴.DE=8,∴.CE=DE+CD =16. 在Rt△BCE中，BE=BC+CE=2√73. ②当∠DAE=90时，如图②，此时BE,=AB十AE,= 18,BE:=AE:-AB=2.综上，BE的长度为2√3或 18或2. 图① 32 10.亏或4W巨或4【解析】分以下三种情况讨论： ①当点P在AB上，∠BPC=90°时，如图①. 9442026江西数学 ·sin∠ABC=C里=4 BC=5 图① ②当点P在AD上，∠BPC=90时，如图@， 过点B作BN⊥AD,交DA的延长线于点N,过点C 作CM⊥AD于点M. 则四边形BCMN是矩形， ..BN=CM,MN=BC=8, ∠PBN+∠BPN=9O. ,四边形ABCD是平行四边形， 图② ∴∠D=∠ABC,AB=CD=5, ..sinD=CM_ 器=CABC= BN=CM=CD=言×5=. :∠BPC=90°， ∴.∠BPN+∠CPM=90°， ∴.∠PBN=∠CPM, ∴△BPNc∽△PCM, 微-器博点-严 4 解得PM=4, ∴CP=√PM+CM=√+=4√E: ③当点P在AD上，∠BCP=90时，如图③， 则CP⊥BC. :AD∥BC, ∴CP⊥AD. CP 4 图③ :inD=CD=in∠ABC= p=言eD=号×5=4 4 综上所述，CP的长为号或4万或 11.6或8+2或8-√E【解析】如图，过点C作CH⊥ AB于点H.BC=AD=10,.在Rt△BCH中 CH=BC·snB=10×号=8由旋转的性质得 △PCD2△PC'D,PC=PC',PC⊥PC',CD= C'D',CD⊥C'D'. 又AB∥CD,∴.C'D⊥AB. 分三种情况讨论：①当以C’为直角顶点时，如图① :C"D'⊥AB,.点C落在BA的延长线上. PC⊥PC',∴PC⊥AB,点P与点H重合， .PC=8,,.BP=6. ②当以A为直角顶点时，如图②. 设C'D'与射线BA的交点为T. PC⊥PC',∴∠CPH+∠TPC'=90 :C'D'⊥AT,.∠PC'T+∠TPC'=90 ∴∠CPH=∠PC'T. 又·∠CHP=∠PTC'=90°，PC=C'P, ∴.△CPH2△PC'T,∴.C'T=PH,PT=CH=8. 设CT=PH=t,则AP=6-t, ∴.AT=PT-PA=2+t. ∠CAD'=90°，CD'⊥AB, △Mrno△CTA0-7Ar=cT TD,∴(2+t)2=1(12-1) 化简，得2-41+2=0，解得t=2士√2，∴.BP=BH +HP=8±√2. ③当以D'为直角顶点时，点P在BA的延长线上，不 符合题意。 综上所述，BP的长为6或8+√2或8-√2 D .C 图① ②2 12.6或6√5或6√万【解析】①如图①所示，当点P在线 段AB上时， AB=2AP.AB=12..BP=7AB=6 图① ②如图②所示，当点P在线段AC上时， ,四边形ABCD是菱形，.AB=BC. ∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=12. AB=2AP,∴.AC=2AP. ·P是AC的中点AP=2AC=6, ∴.AC⊥BP, .BP=AB-AP=√12-6=65： ③如图③所示，当点P在线段AD上时，过点B作 BE⊥DA,交DA的延长线于点E. E 周③ 四边形ABCD是菱形，，ADBC. BE⊥DA.∴EB⊥BC,.∠EBC=9O :∠ABC=60°.∠ABE=30°. ·AE= 2AB=6. ..BE=AB*-AE*=63. AB=2AP. 1 AP=2AB=6.PE=AP+AE=12. .BP=√BE+PE=6√7. 综上，BP的长为6或6或6√7. 13.15°或75或30°【解析】①如图①，当BF=BC,且点 E在线段CD上时，过点F作AB的垂线，分别交 CD,AB于点M,N. 由对称的性质知，∠AFE=∠ADE=DE 90°，AF=AD=AB. ..AF=BF=AB. ∴△BFA为等边三角形， ∴∠DAF=90°-60°=30 1 图① 六∠ADF=∠AFD=zX(I80'- 30)=75°. ∴.∠DFE=90°-75°=15°： ②如图②，当BC=BF,且点E在线段DC的延长线 上时，过点F作AB的垂线，分别交CD,AB于点M. N. 同理，△ABF为等边三 D M C 角形， .∠DAF=90°+60° =150°， ·∠ADF=∠AFD=Z (180°-150)=15°， .∠DFE=90°-15°=75°： ③如图③，当FB=FC,则点F在BC 的垂直平分线上，也在AD的垂直平分 线上. 同理，△ADF为等边三角形， ∴.∠DFE=90°-60°=30°. 图③ 综上所述，∠DFE的度数为15°或75° 或30° 14.1.0)或（号）或3.0 【解析】 设⊙A与x轴交于点C,D A(2,0),⊙A的半径为1，∴A0= 2,OC=1,OD=3. 连接AB,过点B作BE⊥x轴于点E,延长BE交 ⊙A于点F,连接OF,BC,BD,如图. ①：OB切⊙A于点B,∴.AB⊥OB. AB=1=20A.∠A0B=30, .∠0AB=60°. ∴.△ABC为等边三角形，∴BC=1.∴CO=CB=1, ∴当点P与点C重合时，△POB是等腰三角形，此 时P(1.0). ②AE⊥BF,.BE=EF 在等边三角形ABC中，：AE⊥BF, 参考答案 95 1 CE=AE=7AC=70E-0C+CE-2 E=B-AE-∴B(2-》 :OA垂直平分BF,∴.OF=OB,.当点P与点F重 合时， △PGB是等腰三角形，此时点P(层，号)。 @:0E=号，0D=3.点E为0D的中点。 ∴.BE垂直平分OD.∴.BO=BD, ∴.当点P与点D重合时，△POB是等腰三角形，此 时P(3.0.综上，点P的坐标为1.0)或（是，）或 (3,0). 15.7.5或11.25或6.25【解析】由题意可知，⊙0的周 长为6所cm,点P每秒走过360÷6区=12 :∠AOB=90°，OA=OB,∴∠BAO=45 ∠BAC=75°，∴.∠OAC=75°-45=30° .OA=OC,.∠OAC=∠C=30°， ∴.∠A0C=120°，∴.∠B0C=360°-90°-1209 =150°. 易知△ABC不可能是等腰三角形.∴.分以下四种情 况讨论： ①当△ABP是等腰三角形，且AB为腰时，如图①， 连接BP,AP :∠BPA=Z ∠AOB=45°.OP B =0B. ∴.∠PBO=∠BPA=45 .∠B0P=180°-45°-45°=90 即点P,O,A在一条直线上， 图① ∴.90=121，解得1=7.5； ②当△ABP是等腰三角形，且AB为底边时，如图 @,连接BP,AP ∠AOB=90°，.∠APB=45. 又BP=AP, 1 六∠BAP=Z(180°-∠APB)= 67.5, 图② .∠BOP=2∠BAP=135°， ∴.135=121，解得1=11.25： ③当△APC是等腰三角形时，如图 ③，连接AP,PC. 1 '∠APC=2∠A0C=60'. ∴△APC是等边三角形， 此情况不符合题意，会去： 图③ ④当△BPC是等腰三角形时，如图④，连接BP, 96 4己0己6江西数学 PC.BC. ∠BAC=75°， ∴∠BPC=105°， ∴，只有BP=PC这种情况， ∴P是BC的中点， ∠B0p=Z∠B0C=7. 图④ ∴.75=121，解得1=6.25. 综上所述，当以P,B,A,C四点中的三点为顶点的三 角形是等腰三角形（非等边三角形）时，1的值为7.5 或11.25或6.25. 21310 16.6或0或4 【解析】①当BA=BP时，如图①， 则∠BAP=∠P :∠BAP+∠BAC=90°，∠P+∠C= 90°，·∠BAC=∠C ∴.AB=BP=BC=6: @当AB=AP时，如图②，连接AO交 PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E, 因① 则AD1PB,AE=2AB=3, :BD=DP. 在Rt△AEO中，AE=3,AO=5, ∴.0E=√-3=4. :∠OAE=∠BAD,∠AEO=∠ADB =90° ∴.△AOE∽△ABD 图② 器-品脚品= 4 5 ∴D=号 ÷BD=DP=4,BP=4S .AB=AP=6. ·∠ABD=∠APC. :∠ADB=∠PAC=90°， ∴△ABD△CPA, 24 BDAB 5 6 15 :.CP Bc=Bp-CP=9-号-器 ③当AP=BP时，如图③，连接PO并 延长，交AB于点F,过点C作CG⊥ AB,交AB的延长线于点G,连接OB, 则PF⊥AB, ..AF=FB=3. 在Rt△OFB中，OB=5,FB=3, ③ ∴.0F=5-3=4, ..FP=9. '∠FBP=∠CBG,∠BFP=∠BGC=9O°. ∴.△PFBC∽△CGB. 器-器-号-8 设BG=1,则CG=31. :∠PAF+∠BAC=90°，∠BAC+∠ACG=90°， ∴.∠PAF=∠ACG 又∠PFA=∠AGC=90°， ∴.△APF∽△CAG, 器=器 G=是cG=是 9 在R△B0G中，BC=VG+心-√()+() =3@ 4 综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长 21310 为6或0或4 17.10或12或8【解析】：点A的坐标为(5,0)，点C 的坐标为(0,4)， ∴.当PA=PO时，点P在OA的垂直平分线上，此时 点P的坐标是(2.5,4)，.k=2.5×4=10: 当OP=OA=5时，由勾股定理，得CP= √OP一CC=3,∴点P的坐标是(3,4)，k=3×4 =12: 当AP=AO=5时，由勾股定理，得BP= √AP-AB=3,.CP=5-3=2,∴点P的坐标是 (2,4),∴.k=2×4=8. 综上，k的值为10或12或8. 18.1或2或-3+应 2 【解析】过点P B 作PD⊥AB,垂足为D,连接PB,如 图，把A(号3)代入y=兰，得=可 2y= (x>0.设P(,)则D,3, x :∠PBA=45°∴∠PBD=∠BPD,∴.BD=DP.当 点P在点A的下方时，则有3一三=z,解得x,=1, x x,=2:当点P在点A的上方时，则有名-3=，解 得，=二3+ 亚，=二3-正（不符合题意，合 2 2 去)，心点P的横坐标是1或2或二3+区 2 19.(0,-2+2√2)或(0，-2-2√2)或(0，-2) 【解析】：B(0,一4)，BC∥x轴. .点C的纵坐标为一4. ,点D在直线BC上，BD=I, 点D的坐标为(1，一4)或（一1，-4） 设点P的坐标为(0，y),则AP=√6+y 如图①，当点D的坐标为（一1，一4）时，AD= √4+1)+4=√T,DP=1+y+4). AP⊥DP,∴.∠APD=90°， .AD产=AP+DP,即41=16+y2+1+(y+4)2, 解得y1=-2+2/2,y:=-2-2, .P,0,-2+22)或P:(0,-2-22): D P ① ② 如图②，当点D的坐标为(1，一4)时，CD=3,AD= 4-1)+4=5,Dp=√1+(y+4) AP⊥DP,∴∠APD=90°， ∴.AD2=AP+DP.即25=16+y2+1+(y+4)2. 解得y1=y:=-2,∴P(0,-2). 综上所述，点P的坐标为(0一2+2√2)或(0，一2一 2√2)或(0.-2). 20.(3,4)或(4,1)或(2,2)【解析】由y=-3x+3可 得，点B的坐标为(0,3)，点A的坐标为(1,0). ①当∠ABC,=90°，AB=BC,时，如图，过点C,作 C,F⊥y轴于点F, ∴∠C,FB=∠BOA=90°， ∠ABO+∠BAO=90°，∠C,BF +∠ABO=90°， C ∠C1BF=∠BAO. G .BC=AB. ∴△C,BF2△BAO. ∴.C,F=B0=3,BF=AO=1, ∴.OF=OB+BF=3+1=4, ∴点C,的坐标为(3,4). ②@当∠BAC:=90°，AB=AC:时， 如图，作C,G⊥x轴于点G, 同理可证得△AC:G2△BAO, ∴.AG=BO=3,C,G=AO=1, ∴.OG=OA+AG=1+3=4. ∴点C:的坐标为(4,1). ③当∠AC,B=90°，AC,=BC,时. 如图，此时，C,为AC,的中点（由△ABC,为等腰直 角三角形性质可知). A(1.0),C(3,4), 点C,的坐标为(2,2) 综上所述，点C的坐标为(3,4)或(4,1)或(2,2). 参考答案小人 97 21.(一2，一2)或（一4,3）或(2,0)【解析】由抛物线的表 达式可得，点A,B的坐标分别为（一3.0），(0，一3). D,E分别是直线x=一1与抛物线上的点， :.点D的横坐标为一1，可设点E的坐标为(m, 名+分m-. 1 分以下三种情况讨论： ①当AB为对角线时，有0十(-3)=m十(-1)，解得 m=-2, 点E的坐标为(-2，一2)： ②当AD为对角线时，有一3十（一1）=0十m,解得m =一4， .点E的坐标为（一4,3）： ③当AE为对角线时，有一3十m=0十（一1），解得m =2, ∴点E的坐标为(2,0). 综上所述，点E的坐标为（一2，一2）或（一43）或(2,0). 专题十二二次函数综合探究 1新0-名 (2)”y=ax+r的顶点坐标为（仁2aa)小，抛物 线的顶点在直线y=kx上，k=1,抛物线水线最大高 度达3m, -6=-6 2a 4a'Aa =3 解得a=一3b=2, 即k=1,且喷出的抛物线水线最大高度达3m时，a,b 1 的值分别是-32， (3)当k=3,a=- 时。 y=a+证的膜点坐标为（一会，治 ,抛物线的 顶点在直线y=3.x上， -×3= 一b2 解得b1=6,b:=0(舍去)， ∴抛物线的解析式为y=一号+6x 当y=0时-号+6x=0 解得x,=27,x:=0. 27>18, ∴.喷出的抛物线水线能到达岸边. 2.解：(1)依题意，得顶点的坐标为(4,1.2). 设y=a(x-4)2+1.2.将A(0,2)代入， 得2=a(0-4)2+1.2. 解得a=0 1 98 。4己026江西数学 1 “晾衣绳AD所在抛物线的函数解析式为)y一0红一 4)2+1.2. (2)①证明：OC=8,E为OC的中点， ∴.G,H两点的横坐标分别为2和6. 设抛物线AF的解析式为y=a(x一2)十k, 将A(0,2)代人得2=4a十k, ∴.k=2-4a, ∴.G到地面的距离为2-4a. 同理可得H到地面的距离也为2一4a, .最低点G,H到地面OC的距离相等. ②，要使晒在晾衣绳AF和FD上的衣服不会碰到 地面， ∴.2-4a≥1.4， 3 解得a≤20 故a应满足的条件为0<a≤ 3 3.解：(1)4682 (2)(3,-25a)(n,-(n+2)a) (3)①由(1)(2)，得抛物线C。的解析式为y。=a(x -10)2-144a(a<0),∴P1o(10,-144a),Ao(22,0), ∴.MAo=24. '△MP。A。为等腰直角三角形， 1 六-144a=2×24 a=一2 1 ②a=一n+2 1 【解折12抛物线C=a(c-0,)广+，交x 轴于点M(一2,0)，b,=6, ∴0=a(-2-3)2+k,.k.=-25a, ∴抛物线C:的顶点坐标为(3，一25a). 观察可知，b.-,=2,同理可得抛物线C。的顶点坐标 为(n,-(n十2)产a). (3)②由(2)知，y.=a(x-n)2-(n+2)a,P.(n, -(n+2)2a),则A.(2n+2,0),.MA.=2n+4. :△MPA.为等腰直角三角形，.-(n+2)a=2 ×(2n+4), 2n+4 2(n+2) a=一2n+2=一2m+2分=-W n+2 故当△MP.A.为等腰直角三角形时，a与n满足a= 1 n+21 4.解：(1)y1=(x-1)2y4=-(x-4)2+1 (2)利用待定系数法，易得这组抛物线的解析式分别为 y1=(x-1),y:=-(x-2)+1,y,=(x-3)产，y,= -(x-4)2+1,…