第五单元 第2讲 矩形、菱形、正方形-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考集训本

第2讲矩形、菱形、正方形 课题1矩形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：43分) [夯实墨@（第1~4题各3分，第5~6题各65.(2025吉林）如下图，在矩形ABCD中，点E,F 分，共24分】 在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF. 1.(2025内蒙古)如图，四边形ABCD是一个矩形 (I)求证：△ABE≌△DCF 草坪，对角线AC,BD相交于点O,H是BC边 (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 的中点，连接OH,且OH=20m,AD=30m,则 该草坪的面积为 () A.2400m2 B.1800m2 C.1200m D.600m D 第1题图 第3题图 2.(2025绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两 条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积 是 ( 6.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 A.25 B.25√5C.255D.505 点O,AD⊥DB,E,F分别是CD,BC的中点. 3.(2025抚州南城一模)如图，矩形ABCD中，AB (1)求证：四边形OEFB是矩形 =6,BC=8,AE⊥BD交BC于点E.则 (2)若AD=4,AC=10,求四边形OEFB的 的值 面积. 是 4.(2025吉安吉州区一模)如下图，矩形ABCD中， E,F是AD上的点，∠AFB=∠DEC.求证：AF =DE. 集训本 203 Γ提升能力（第7~8题各8分，共16分） (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC 7.(2025烟台)如下图，BD是矩形ABCD的对角 的长. 线.请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED,使 △BED与△BCD关于直线BD 成轴对称（不写作法，保留作图 痕迹) (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB= 1,BC=2,求AF的长 厂全国视野（第9题3分） 8.(2025北京)如下图，在△ABC中，D,E分别为 9.新考法双空题(2025天津)如图，在矩形ABCD AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G在 中，AB=2,BC=3,点E在边BC上，且EC DE的延长线上，DG=FC =2BE, (1)求证：四边形DFCG是矩形. (1)线段AE的长为 (2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF 上一点.若∠FMN=75°，则线段MN的长为 E 第9题图 204。%己026江西数学 课题2菱形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：43分) 厂夯实悬础（第1~5题各3分，第6题6分，共 6.(2025扬州)如下图，在☐ABCD中，对角线AC 21分) 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F. 1.(2025湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线 (1)求证：四边形AFCE是菱形. AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形AB- (2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE CD的周长为 ( 的长. A.6 B.9 C.12 D.18 第1题图 第2题图 2.(2025内江)如图，按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠EAF;(2)以点A为圆心，1个单位长为 半径画弧，分别交AE,AF于点B,D:(3)分别以 点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两 弧交于点C:(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°， 则∠BDC的度数是 ( A.64 B.66° C.68 D.70° 3.(2025双鸭山)如图，在□ABCD中，对角线AC, BD相交于点O.请添加一个条件： ,使□ABCD为菱形. 厂提升能力（第7~8题各3分，第9~10题各8 分，共22分) 7.(2025内蒙古)如图，在菱形ABCD中，AB= 第3题图 第4题图 4.(2025云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角线 45,对角线BD的长为16，E是AD的中点，F AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形 是BD上一点，连接EF.若BF=3,则EF的长 ABCD的面积是 为 5.(2025福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于 点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点 E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的 面积之和为 第7题图 第8题图 8.(2025绥化)如图，在菱形ABCD中，AB=4,对 角线BD=45,P是边CD的中点，M是对角线 BD上的一个动点.连接PM,CM,则PM+CM 第5题图 的最小值是 集训本 205 9.(2025广东)如下图，CD是R1△ABC斜边AB 10.(2025新余分宜三模)【追本湖源】 上的中线，过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB, 第(1)题来自课本中的习题，请你完成解答，并 AE与CE相交于点E.现有以下命题： 利用(1)中得到的结论解答第(2)题」 命题1：若连接BE交CA于点F,则S△FB 如图①，AD是△ABC的角平分线，过点D分 =2S△cw· 别作AC和AB的平行线交AB于点E,交AC 命题2：若连接ED,则ED⊥AC. 于点F 命题3：若连接ED,则ED=BC (1)求证：四边形AEDF是菱形. 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例。 【结论应用】 (2)如图②，若D是BC的中点，tanC=2,BC= 4,求四边形AEDF的周长， 图① 图② 206.42026江西数学 课题3正方形的性质与判定 (建议用时：45分钟满分：41分) 「夯实悬础（第1~4题各3分，第5题6分，共5.如下图，四边形AECF是菱形，对角线AC,EF 18分) 交于点O,D,B是对角线EF所在直线上两点， 1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与x轴、y 且DE=BF,∠ADO=45°，连接AB,CD,CB. 轴的正半轴重合，则点C的坐标为 (1)求证：四边形ABCD是正方形 A.(3,-3) B.(-3,3) (2)若四边形ABCD的面积为72，BF=4,求菱 C.(3,3) D.(-3,-3) 形AECF的面积. D 第1题图 第2题图 2.原创题如图，在正方形ABCD中，点E,F分 别在BC和AD边上，BE=2,AF=6,AE∥CF, 则四边形AECF的面积为 A.36 B.40 C.48 D.64 3.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一 点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB 的距离为 第3题图 4.如下图，正方形ABCD的面积为4，E,F,G,H 分别为边AB,BC,CD,AD的中点.求四边形 EFGH的面积. Γ提升能力（第6~7题各3分，第8题8分，第9 题9分，共23分) 6.(2025湖北)如图，折叠正方形 ABCD的一边BC,使点C落在 BD上的点F处，折痕BE交AC 于点G.若DE=2E,则CG的长 第6题图 是 ( A.2 B.2 C.√2+1 D.22-1 集训本 207 7.(2025北京)如图，在正方形 A 9.(2025德阳)在综合实践活动中，同学们将对学校 ABCD中，点E在边CD上，CF 的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用. ⊥BE,垂足为F.若AB=1, 如下图，点E,F处是它的两个门，且DE=CF, ∠EBC=30°，则△ABF的面积 第7题图 要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O (两个门E,F的大小忽略不计) 为 (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关 8.(2025福建)如下图，矩形ABCD中，AB<AD. 系？请说明理由」 (I)求作正方形EFGH,使得点E,G分别落在边 (2)同学们测得AD=4m,AE=3m,根据实际 AD,BC上，点F,H落在BD上（要求：尺规作 需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一 图，不写作法，保留作图痕迹) 条2.5m长的直路，这条直路的一端在门F处， (2)若AB=2,AD=4,求(1)中所作的正方形的 另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边 边长 界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于 1.5m.请问能否修建成这样的直路？若能，能修 建儿条？请说明理由， 208A%2026江西数学∴.∠D=2x .CE=CD. ∴.∠CED=2x, ∴.∠BCE=∠CED=2x. .BC=BE. .∠BCE=∠BEC=2x ∴.∠CBE+∠BCE+∠BEC=x+2x+2x=5x 180°，解得x=36°， ∴∠D=72. ②由①可得∠CBE=∠DCE=36°，∠BCE=∠ =72°， ∴.△BCE∽△CDE, .DE CD CEBC 设AB=a, ∴.CE=CD=AB=a. :AD∥BC, ∴.∠AEB=∠CBE. :∠CBE=∠ABE, ∴∠AEB=∠ABE, ∴.AE=AB=a, ∴.BC=AE+DE=a+2, a 解得a=1十√5（负值已舍去）， ∴.BC=3+5 第2讲矩形、菱形、正方形 课题1矩形的性质与判定 1.c2B3号 4.证明：，四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD,∠A=∠D=90. 又：∠AFB=∠DEC, ∴.△BAF2△CDE(AAS) ∴.AF=DE 5.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°. 又，'∠BAE=∠CDF, ∴.△ABE2△DCF(ASA). (2)".△ABE2△DCF, ,∴.AE=DF=13 ∠B=90°，AB=12, .BE=√AE-AB=5. 6.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD=2BD,AD/BC. 又：E,F分别是CD,BC的中点， ∴.EO,EF是△CDB的中位线， ∴.EO∥BC,EF∥DB, ∴四边形OEFB是平行四边形. 72 4己0己6江西数学 :AD⊥DB,AD∥BC ∴∠CBD=∠ADB=90°， 四边形OEFB是矩形. (2),四边形ABCD是平行四边形， A0=CO-AC=5.BC=AD-4. 在Rt△AD0中，AD=4,AO=5,∠ADO=90°， ∴.D0=VAO-AD=3. ..OB=DO=3. 由(1)可知，EO是△CDB的中位线，四边形OEFB是 矩形， OE=乞BC=2,六四边形OEFB的面积是OE· 0B=2×3=6. 7.解：(1)如图，△BED即为所求 (2)如图，BE交AD于点F. :四边形ABCD为矩形， ∴.AD=BC=2,AB=CD=1,ADBC,∠A=90°， ∴∠ADB=∠CBD. :△BED与△BCD关于直线BD成轴对称， ∴.∠EBD=∠CBD, ∴∠FBD=∠FDB ..FB=FD. 设AF=x,则DF=BF=2-x, 12+x2=(2-x)2, 解得x= 3 aAF=是 8.解：(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， ∴DECF,即DGCF. .DG=FC. .四边形DFCG是平行四边形. 又：DF⊥BC, ∴.∠DFC=90°， ∴.平行四边形DFCG是矩形. (2),DG=5. ∴.CF=DG=5. :DF⊥BC, ∴.∠DFB=90° 在Rt△BDF中，∠B=45°，DF=3 BD=DF sinBsin45=3.BF=DF 3 3 tanBtan5=3. ∴.BC=BF+CF=8 :D为AB的中点 ∴AB=2BD=6√2. 如图，过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，AH=AB·sinB =6√2·sin45=6,BH=AB·cosB =6√2·cos45°=6. ∴.CH=BC-BH=2. 在Rt△AHC中，由勾股定理，得AC =AH+CT=+2=2√o】 9.15(2)匝 3 【解析】(2)如图，过点M作MH⊥ EF于点H. :四边形ABCD是矩形， ·∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD =2. F为CD的中点 :.CF=DF=1. .EC=2BE.BC=BE+EC=3. .BE=CF=1.AB=EC=2. ∴.△ABE2△ECF(SAS). ∴AE=EF=5,∠BAE=∠CEF, .∠BAE+∠AEB=90°=∠CEF+∠AEB. .∠AEF=90°， ∠EAF=∠AFE=45°，AF=2EF=√IO M为AF的中点， .MF=10 2 MH⊥EF,∴.∠MFH=45°=∠FMH,则MH= 服空 ∠FMN=75,∴.∠NMH=30, MH 25 ∴.MN= cos∠NMH ③ 3 2 课题2菱形的性质与判定 1.C2.D3.AB=AD(答案不唯一)4.15 5.1【解析】，四边形ABCD为菱形， ∴.AO=CO=2,AB∥CD.AC⊥BD ∴∠EAO=∠FCO. 又：∠AOE=∠COF. .△AOE2△COF(ASA), .S△oe=Sacp, 1 SAwe+Soue=Soor+Somor=Sowe=7CO DO=1. 6.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC. ∴.∠AEO=∠CFO. :对角线AC的垂直平分线是EF, ..AO=OC.EA=EC. :∠AOE=∠COF, .△AOE2△COF(AAS), ∴.AE=CF .四边形AFCE是平行四边形. EA=EC. ∴，四边形AFCE是菱形 (2)如图， :CE平分∠ACD.∴.∠1=∠2. :四边形AFCE为菱形，.∠1 =∠3. ∴.∠2=∠3. 四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠B=∠D,AB=CD=3, △CBA∽△CDE,器-=0 9 7.√5【解析】如图，连接AC交BD于点O,过点E作 EG⊥OD于点G. :四边形ABCD是菱形， ∴.AD=AB=4√5，BO=OD= 文BD=8 AOLBD ∴AO=VAD-OD=4.EG∥AO, ∴△DEG∽△DAO. 膘=胎% :E是AD的中点， 器--%- ∴.EG=2,DG=4. ∴.FG=BD-BF-DG=16-3-4=9. .EF=√FG+EG=/+2=85. 8.2√5【解析】如图，连接AC交BD 于点O,作点P关于直线BD的对 称点P',则PM=P'M,P'是AD的 中点，∴.PM+CM=p'M+CM≥ CP'.根据两点之间线段最短可知，PM+CM的最小 值为CP'.:四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=CD =4,AC1BD,D0=BD=2,F,A0=AC.根据 勾股定理，得AO=√D-DO下=2，∴AC=AD= CD=4.:P'是AD的中点，∴CP⊥AD,AP'= AD=2.在Rt△ACP'中，Cp=VAC-APr= 1 2V3.故PM+CM的最小值为2√3 9.解：命题1是真命题.证明如下： 如图①，连接DE交AC于点O,连接BE交AC于 点F. CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， 参考答案 73 1 CD=DA=DB=7AB. 'AE∥DC,CE∥AB ∴.四边形ADCE是平行四边形. ,DA=DC,.四边形ADCE是 图① 菱形， ∴.AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD, ∴.DO是△ABC的中位线， 0D=0E=2c SAOB= CF.BC.Socm=CF.OE.Scm 1 1 =2SACF 命题2是真命题.证明如下： 如图②，连接DE交AC于点O CD是Rt△ABC斜边AB上的 中线， 六CD=DA=DB=2AB, D AE∥DC,CE∥AB, 图② .四边形ADCE是平行四边形. DA=DC,.四边形ADCE是菱形， ·ED⊥AC 命题3是真命题.证明如下： 如图③，连接DE ,CD是Rt△ABC斜边AB上的 中线， 1 六CD=DA=DB=2AB. D 'AE∥DC,CE∥AB, 图③ ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴.CE=AD.∴.CE=DB. :CE∥AB,∴四边形BCED是平行四边形， ∴.ED=BC. (任选其中两个即可) 10.解：(1)证明：DE∥AC,DF∥AB. 四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD. :AD是△ABC的角平分线， ∴.∠EAD=∠FAD. .∠EDA=∠EAD, ∴.ED=EA, .平行四边形AEDF是菱形 (2)如图，连接EF交AD于点O :AD是△ABC的角平分线， .点D到AB和AC的距离相等. 设点D到AB的距离为h,则△世 SAACD AB·6 1 AB 1 AC. AC D是BC的中点， 74 A己0己6江西数学 ∴.S△D=S△ACm ..AB=AC. AD⊥BC. AD tanC=CD=2. AD=2CD=2XBC=4. 由(1)可知，四边形AEDF是菱形， .AD⊥EF, .EF∥BC. 又：DECF, ,四边形CDEF是平行四边形， ..EF=CD=2. 0A=2AD=2.0E=2EF=1, .在Rt△AEO中，由勾股定理，得AE= √OA+OE=√5. .菱形AEDF的周长为45. 课题3正方形的性质与判定 1.C2.C3.3 4.解：如图，连接HF,EG. “四边形ABCD是正方形，且面积 为4， ∴.BC∥AD,BC=AD=2. :H,F分别为边AD,BC的中点， ÷AH-号AD,BF=2C.即AH =BF. ,,四边形BFHA是平行四边形， ∴.AB=HF,AB∥HF. 同理BC=EG,BC∥EG. :AB⊥BC,.HF⊥EC, ∴四边形EFGH的面积是号EG·HF=号×2×2 =2. 5.解：(1)证明：：菱形AECF的对角线AC和EF交于 点0， ∴.AC⊥EF,OA=OC,OE=OF. .DE=BF...BO=DO. 又：AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形. :∠ADO=45°，∴.∠DAO=∠AD0=45°， .AO=DO,∴.AC=BD. ∴，四边形ABCD是正方形 (2)由(1)可知，四边形ABCD是正方形. ,正方形ABCD的面积为72， 2AC·BD=72.宁×4B02=72 ∴.B0=D0=C0=AO=6,∴AC=12. BF=4,.OF=2. ·四边形AECF是菱形， ∴EF=2OF=4,AC⊥EF, ÷菱形AECF的面积=子AC·EF=24. 6.B【解析】如图，过点G作GH⊥BC于点H,设AC, BD交于点O. :四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD=AB=AD,∠BCD ∠ADC=90°.∠DBC=∠BDC ∠BCA=45°，AC=BD,OA=OC=OB =OD,AC⊥BD. 由折叠，得BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCE= ∠DFE=90°，∠FBE=∠CBE, .∠DEF=∠FDE=45. DE=2√E, ∴.DF=EF=DE·sinM5°=2， .CD=BC=BF=22+2. ∴.AC=BD=BF+DF=2√2+4， 0B=2BD=E+2, :∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD, ∴.OG=HG. .BG=BG ,∴.Rt△OBG≌Rt△HBG(HL), ∴.BH=BO=√E+2, ∴.CH=BC-BH=√E. CH ..CG= cos450=2. 1.8 【解析】如图，过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB. 垂足分别为M,N,连接AM,则∠FMC=∠FMB= ∠FNB=90, .四边形BMFN为矩形， .FN=BM. S=AB.FN.SAAm 2AB·BM, .S△ABn=S△ABM: CF⊥BE,垂足为F,BC=AB=1,∠EBC=30°， ∠BFC=90∠BCF=60,CF=2BC=2 ∴.∠CFM=90°-∠BCF=30°， ∴CM=2CF=7 :.BM=BC-CM= 1 33 六Sap=S6Bw=ZX1X7=8 8.解：(1)如图，四边形EFGH就是所求作的正方形. (2)由(1)中作图步骤可知，OB=OD,EG⊥BD,OE =OH. :四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=90°. AB=2.AD=4, ∴.BD=AB+AD=25, 00=号D=后. G :EG⊥FH. ∴.∠DOE=∠A=90°. 又：∠ODE=∠ADB, ∴.△EOD∽△BAD. -0号- 哈 O= :在Rt△EOH中，OE=OH, ∴EH=EOE= 2 正方形EGH的边长为四。 9.解：(1)这两条路等长，且它们互相垂直.理由如下： ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=CD,∠BAE=∠ADF=90° DE=CF,∴.AD-DE=CD-CF,即AE=DF, △BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,∠ABE =∠DAF. 又∠ABE+∠AEB=90°，∴.∠DAF+∠AEB =90°， .∠AOE=180°-∠DAF-∠AEB=90, ∴.AF⊥BE. 故这两条路等长，且它们互相垂直. (2)能修建成一条这样的直路.理由如下： AD=4m.AE=3m...DF=3 m.CD=4m. ..CF=1 m.AF=VAD+DFT=5 m. ∴.BE=5m. :SAE=2BE·A0=2AB:AE, 六A0-号m0F=AF-A0=号m 12 分类讨论： ①当另一端点P在路段OB上时， 在R△0PF中.PF≥0F.面号>2.5 ∴此种情况不成立： ②当另一端点P在花园的边界BC上时， 设PC=xm,则在Rt△PFC中，有PF=PC+FC, 即(2.5)2=x2+1. =四（负值已合C= 2 m 此时B即=C-PC=(-受)m 2>1.5.符合修建要求. 故能修建成一条这样的直路。 参考答案 75