第三单元 第3-4讲 函数与方程(组)、不等式的关系 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考集训本

第3讲 函数与方程（组）、不等式的关系 (建议用时：25分钟满分：29分) 厂夯实悬础（第1~5题各3分，共15分】 (一3,0)之间.有下列结论：①a十b+c<0:②3a 1.如图，一次函数y=kx十b(使≠0)的图象与抛物 +b=0:③abcn>0:④一元二次方程ax2+bx+ 线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A,B两点，则 c=n一2有两个不相等的实数根.其中正确的个 关于x的不等式ax2+bx十c>kx+b的解集为 数是 () ( A.1 B.2 C.3 D.4 A.x<-2或x>2 B.x>2 (-1n: C.x<2 D.-2<x<2 y=mx+n 40 B -0.5 4-3-2-0123 2 第6题图 第7题图 第1题图 第2题图 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y,=ax十b 7.如图，直线y=kx十b与y=mx十n分别交x轴 (a≠0)与y,=mx十n(m≠0)的图象如图所示， 于点A(一0.5,0)，B(2,0),则不等式(kx+b)(mx 则下列结论错误的是 +n)>0的解集是 ( A.y:随x的增大而增大 8.(2025广安)如下图，一次函数y=kx+b(k,b为 B.b<n 常数，正≠0)的图象与反比例函数y=”(m为常 C.当x<2时，y>y 数，m≠0)的图象交于A,B两点，点A的坐标是 ax-y=-b, D.关于x,y的方程组 的解 (一8,1)，点B的坐标是(n,一4) mr-y=-n (1)求一次函数和反比例函数的 为 解析式 (2)根据函数图象直接写出关于 3.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2, 则关于x的方程x2+m.x=5的根是( x的不等式k:x十b>”的解集。 A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5 C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=5 4.中考新方向结论开放题已知直线y1=x一1与 y2=kx十b相交于点(2,1)，且当x>2时，y> y:.请写出一个满足条件的b的值： 5.如图，已知一次函数y=x y↑ +b(≠0)的图象分别与x 轴、y轴交于A,B两点，若 A OA=2,OB=1,则关于x的 第5题图 方程kx十b=0的解为 厂提升能力（第6~7题各3分，第8题8分，共 14分) 6.(2025吉安吉水一模)如图所示的是二次函数y =a.x2+bx十c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标 为（一1，n),且与x轴的一个交点在点（一4,0）和 184.4己026江西数学 第4讲 函数的综合 (建议用时：70分钟满分：69分) 厂夯实悬础（第1~3题各8分，共24分） (2)求△ACD的面积 1.(2025达州)如下图，直线y=x十b(k≠0)与双曲 线y=”(m≠0)交于点A(2,2,点B(-4,a) (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)点P在x轴上，S△p=3,求点P的坐标. 3.(2025北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y =kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5). (1)求k,b的值。 (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx (m≠0)的值既小于函数y=kx十b的值，又小于 函数y=x十k的值.请直接写出m的取值范围. 2.(2025新余渝水区一模)如右图， 在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx十2的图象与反比例函数 y=”(x>0)的图象交于点A 提升能力（第4题9分，第5~6题各12分，共 (2,n+2),与y轴交于点C,且点D(6,n一2)在 33分) 4.(2025新余分宜二模)已知抛物线W:y=ax2+ 反比例函数y=”(x>0)的图象上，连接 (2-a)x一2(a≠0)的对称轴在y轴左侧. AD,CD. (1)求抛物线W经过的定点坐标. (1)求反比例函数和一次函数的解析式. 集训本 185 (2)将抛物线W绕原点旋转180°后，得到抛物 (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2√0个单 线W 位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点 ①抛物线W'的解析式为 F是原抛物线对称轴上的一点.若以点B,C,E, (用含a的式子表示)： F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 ②若抛物线W'恰好经过抛物线W的顶点，求a E的坐标. 的值 5.(2025广安)如图，二次函数y=号产+b加十0， c为常数)的图象交x轴于A,B两点，交y轴于 点C.已知点B的坐标为(9,0)，点C的坐标为 (0,-3),连接AC,BC yt 一B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当 ∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标， 86.2026江西数学 6.(2025德阳)如图①，在平面直角坐标系中，已知 「厂全国视野（第7题12分） 二次函数y=一x2+bx十c的图象与x轴交于 7.新考法新定义题(2025赣州于都一模)在平面直 点A(一1,0)，B(3.0),与y轴交于点C 角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相 (1)求抛物线的函数解析式。 反数，则称点P为“相反点”，如点(1，-1)，（一5， (2)如图②，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物 5)都是“相反点” 线相交于另一点D. (1)小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L ①求点D的坐标： 上，则直线L的解析式为 ②如图③，点E,F为线段BC上两个动点（点E (2)小芳在研究抛物线C:y=a.x2+bx-4(a≠ 在点F的右侧)，且EF=√2，连接OF,DE.求 0)时，发现抛物线C1上有且只有一个“相反点” OF+DE的最小值. (2,一2).请你帮她求出a,b的值 (3)在(2)的条件下将抛物线C1向上平移1个单 位长度得到抛物线C2,C:上有两个“相反点”分 别是M(x1y),N(xy:)(x1<x2).当x≤ B A/O ≤x:时，直接写出C:中y的最大值与最小值 图① 图② 的差. 集训本 187得化12化- .B(-1,-12).C(6,2). 如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T. A(2,6). Y+ 点T的横坐标为2. 在y=2x-10中，当x=2时，y =2X2-10=-6 ∴.T(2,-6) ∴.AT=6-(-6)=12. 1 六Sac=Sam+Sag=zX 12×[2-(-1)]+2×12×(6-2)=42. 课题3二次函数的图象与性质 1.C2.y=3x-2 3.y=一x十x十2（答案不唯一）【解析】：二次函数y =-x+r+c的图象经过点(c,0),∴.0=-c2十b +c,∴c(c-b)=c.:二次函数y=-x2+x+e的 图象不经过原点，∴c≠0，则c一b=1.若取b=1,则c =2,∴该二次函数的表达式可以是y=一x+x+2. 4.解：(1)二次函数y=ax2+bx一2的图象的对称轴为 直线一会 点A(1,1),B(2,1)在该函数的图象上， b b 2-(-2a)=-2a-1· b_3 -2a=2 =-3 a (2)由(1)可得，b=-3a, .该函数的表达式为y=ax2-3ax一2， 西数图象的腹点坐标为（层-一2小。 “该函数的最大值为1一子 a<0且--2=1- 解得a,=-1,a:=4(含去).∴.b=-3a=3,∴.该二次 函数的表达式为y=一x+3x一2. 5.A【解折1曲题意得一名>0h<0,:点A 在y轴负半轴，.c<0,.直线y=ab·x十c不经过 第一象限 6.C【解析】：二次函数解析式为y=-(x一2)+c, ∴二次函数y=一(x一2)产+c的图象开口向下，对称 轴为直线x=2,离对称轴越近，函数值越大，点 (一2，y1)的横坐标一2与2的距离为|一2-2|=4：点 (3y:)的横坐标3与2的距离为|3-2|=1：点(7y,) 的横坐标7与2的距离为17-21=5.1<4<5，y: >y1>y 62 。。己026江西数学 7.D【解析】由题意可得，方程a.x2一2ax十a一3=0的 两根异号x1,=二3<0，解得0<a<3. a ∴二次项系数a>0,函数图象开口向上，故A选项不 符合题意，：二次函数y=ax2-2ax十a-3(a≠0)的 图象的对称销为直线=-品2=1当>1时， 随x值的增大而增大，故B选项不符合题意：：当x= 1时，y=一3，最小值为一3，故C选项不符合题意： 当x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3. 0<a<3,此时y<0,故D选项符合题意 8.1直线r=1(2分<m<号 【解析】(2)：a>0. .抛物线开口向上，，抛物线的对称轴是直线x=1, >31…四-1生+>1.解得m>号 2 又y1>y m-一+<1，解得m<号<m< 2 第3讲函数与方程（组）、不等式的关系 1.A2.C 3.D【解析】抛物线y=x十mx的对称轴为直线x= 2一受=2，解得m=-4关于的方程计 =5即为x2-4x-5=0,∴.(x-5)(.x+1)=0,解得 x1=-1,xz=5. 4.0(答案不唯一) 5.x=-2 6.B【解析】，抛物线的对称轴是直线x=一1， ∴.当x=1和x=一3时函数值相等且大于零， ∴.a十b十c>0,故①错误： b 对称轴是直线x=一2a=一1， ∴.b=2a. 又，抛物线开口向下， ∴.a<0,b<0. ∴3a十b=3a+2a=5a<0,故②错误： :抛物线与y轴交于正半轴， ∴.c>0. 又n>0 ∴.abcn>0,故③正确； :y=n与y=ax2十bx十c的图象有且只有（一1，n) 一个交点， ∴把直线y=n向下平移2个单位长度，直线与抛物 线有两个交点，即一元二次方程ax:十bx十c=n一2 有两个不相等的实数根，故④正确， 7.-0.5<x<2【解析】：不等式(kx+b)(mx十n)> +当仁+时，由 mx十n<0. 图象可得kx十b>0的解集是x<-0.5,m.x十n>0 的解集是x>2,∴不等式组 kx+b>0:无解：当 Imz+n>0 虹+<0时，由图象可得k虹十6<0的解集是x> mx十n<0 一0.5，mx+n<0的解集是x<2,.不等式组 +6<0的解集是-0.5<x<2,综上所述，不等式 mx+n<0 (kx+b)(mx十n)>0的解集为-0.5<x<2. 8.解：(1)把A(-8,1)代人y=,得m=-8, 2 反比例函数的解析式为y一 把B(n,-4)代入y=-8 ,得n=2 x .B(2.-4) 把A(-8,1),B(2,-4)代人y=kx+b, 得 -8k+b=1, 2k+b=-4, 1 解得=一2 b=-3. 一次函数的解析式为y=一子一3。 (2)x<-8或0<x<2. 第4讲函数的综合 1.解：(1)：双曲线y=四(m≠0)经过点A(2,2), 2 B(-4,a), ∴.m=2X2=4=-4a, ∴.a=-1, 六B(一4，一1)，反比例函数的表达式为y= :直线y=kx十b(k≠0)经过点A(2,2),点B(一4，一1)， 6 1 解得 b=1, .1 六一次函数的表达式为y=2x十1 (2)点P在x轴上，S△wm=3, 20py=3 20p…2=3 ∴.OP=3, .点P的坐标为(3,0)或(-3,0). 2.解：1)把A(2n+2》,D(6,m-2)代人y=2(x>0. 得m=2(n+2)=6(n-2), 解得n=4,m=12, ∴.A(2,6),D(6,2) :反比例函数的解析式为y=(r>0, 把A(2,6)代人y=kx+2,得6=2k+2, 解得 k=2， ∴ ，一次函数的解析式为 y=2x+2. (2)在 y=2x+2 中，当 x=0 时， y=2， ∴C(0，2). ∵D(6，2)， ∴CD=6，CD∥x 轴. 又 ∵A(2，6)， ∴△ACD 的面积为 $$\frac { 1 } { 2 } \times 6 \times \left( 6 - 2 \right) = 1 2 .$$ 3.解： ：(1)∵ 函数 y=kx+b(k≠0) 的图象经过点(1，3)和 (2，5)， k+b=3， $$\therefore \left\{ \begin{array}{l} k + b = 3 ， \\ 2 k + b = 5 \end{array} \right.$$ (k=2， 解得 $$\left\{ \begin{array}{l} k = 2 ， \\ b = 1 . \end{array} \right.$$ (2)2≤m≤3. 4.解： $$\left( 1 \right) \because y = a x ^ { 2 } + \left( 2 - a \right) x - 2 = a x ^ { 2 } - a x + 2 x - 2 =$$ (x-1)(ax+2)， ∴ 当 x=1 时， ，y=0； 当 x=0 时 ，y=-2， ∴ 抛物线 W 经过的定点坐标为 (1 1.0和 (0，-2). $$\left( 2 \right) \textcircled 1 y = - a x ^ { 2 } + \left( 2 - a \right) x + 2$$ ② 由 $$y = a x ^ { 2 } + \left( 2 - a \right) x - 2$$ 得抛物线 W 的顶点坐标 $$\left( - \frac { 2 - a } { 2 a } ， \frac { - 8 a - \left( 2 - a \right) ^ { 2 } } { 4 a } \right)$$ 整理得 $$\left( - \frac { 2 - a } { 2 a } ， - \frac { \left( a + 2 \right) ^ { 2 } } { 4 a } \right)$$ ). 代入抛物线 W' 的解析 式，得 得 $$\frac { \left( a + 2 \right) ^ { 2 } } { 4 a } = - a \left( - \frac { 2 - a } { 2 a } \right) ^ { 2 } + \left( 2 - a \right) \left( - \frac { 2 - a } { 2 a } \right)$$ +2， 整理得 $$a ^ { 2 } - 1 2 a + 4 = 0 ，$$ ，解得 $$a = 6 \pm 4 \sqrt 2 .$$ ∵ 抛物线 $$W ： y = a x ^ { 2 } + \left( 2 - a \right) x - 2$$ 的对称轴在y轴 左侧， $$\therefore - \frac { 2 - a } { 2 a } < 0 ，$$ $$\frac { a - 2 } { 2 a } < 0 ，$$ $$\therefore \left\{ \begin{array}{l} a - 2 > 0 ， \\ 2 a < 0 \end{array} \right.$$ [a-2<0， 2a>0， ∴0<a<2， 则 $$a = 6 + 4 \sqrt 2$$ 不合题意，舍去， 故 a 的值为 $$6 - 4 \sqrt 2 .$$ 5.解：(1)将B(9，0)和 C(0，-3) 代入 $$y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + b x + c ，$$ (27+9b+c=0 得 c=-3， $$\left\{ \begin{array}{l} b = - \frac { 8 } { 3 } ， \\ c = - 3 \end{array} \right. ，$$ ∴ 抛物线的解析式为 $$y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } x - 3 .$$ (2)① 当点P在 x 轴下方时，如 图 ①. ∵∠PCB=∠OBC，∴CP∥AB， ∴ 点 P 的纵坐标等于 -3. A B x y=-3 将y=一3代入y----.-3， $$y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } - \frac { 8 } { 3 } x - 3 ，$$ P 解得 $$x _ { 1 } = 0 ， x _ { 2 } = 8 ，$$ 图① 参考答案 63 点P的坐标为(8，-3) ②当点P在x轴上方时，设PC与AB相交于点M,如 图② ∠PCB=∠OBC,.BM=CM. B(9.0),C(0,-3) ∴.OB=9,OC=3. 设OM=m,则CM=BM=9-m. 在Rt△COM中，CO2+OM =CM, ∴.3+m2=(9-m)2,解得m=4. 2 .点M的坐标为(4,0). 设直线CP的解析式为y=kx十n. 将M(4,0)和C(0,一3)代入，得 3 4k十n=0, 解得 n=-3, n=-3. 直线CP的解析式为y=2 3， 由题意，得32-分1-3=千x-3,解得1=0，x 8 3 点P的坐标为（得）， 棕上所述，点P的坐标为8，-3》或（件得）， 《3)点E的坐标为(-5,10或3,38)或(5，号） 8 【解析】(3)原抛物线对称轴为直线x= 一3 -=4 2×3 B(9.0), ∴.由对称性可得A(一1,0).∴OA=1 C(0,-3),∴.OC=3,.AC=OA+OC=√10. :将抛物线沿射线CA的方向平移2√而个单位长度 后得到新抛物线， ∴.将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个 单位长度得到新抛物线， 六新抛物线解析式为y=了(x+2) 3(x+2)-3 +6=3--1 1 分以下三种情况讨论： ①当BE为对角线时，如图③， "平行四边形对角线互相平分， .BE,CF的中点坐标相同， :e+9_0+4 2 2 .xe=-5, 现=号×-5r-7×(-5》-1=14 1 .此时点E的坐标为（一5,14）： 64。己026江西数学 周③ 图④ ②当BF为对角线时，如图④， :平行四边形对角线互相平分， BF,CE的中点坐标相同， :xr+09+4 2 =135-7×18-含×183-1=38 此时点E的坐标为(13,38)： ③当BC为对角线时，如图⑤， :平行四边形对角线互相平分， BC,EF的中点坐标相同， 9 2 =5y=3×5- 4 3 ×5-1 2 ∴此时点E的坐标为(5，号）)， 综上所述，点E的坐标为(-5,14)或(13,38)或(5， 引 6.解：(1)设y=-(x-x)(x一x:), A(-1,0),B(3.0)在二次函数y=-x+bx十c的 图象上， ∴y=-(x+1)(x-3) ∴.抛物线的解析式为y=一x+2x十3. (2)①把x=0代人y=-x2+2x+3,得y=3, C(0,3). 如图①，延长DC与x轴相交于点G. B(3,0),C0.3), D .0B=0C=3. :∠C0B=90° ∠CB0=45. ∠DCB=90°，∴.∠CGB= 45°，∴.G(-3,0). G AO 设直线CG的解析式为y= 图① kx+m(k≠0).把C(0,3).G(-3,0)代入.得 3=m, 解得。 0=-3k十m, ∴直线CG的解析式为y=x+3. :点D是直线CG与二次函数图象的交点， y=x+3. 联立解析式 y=-x+2x+3, x=1, y=4, .D(1,4). ②如图②，过点O作OH∥EF,且OH=EF=√瓦， 连接HE,DH. OH∥EF,且OH=EF. ∴.四边形OFEH是平行四边形， .OF=EH. :∠CB0=45°，∴∠BOH=45. OH=EF=2,∴.H(1,-1). :DE+EH≥DH, 图② ∴.当D,E,H三点共线，即DE+ EH=DH时，DE+EH最小，即DE+OF最小. D(1,4),H(1.-1), .DH=5. 此时D,E,H三点共线且DH⊥x轴， 点F的坐标为(0,3)，点F与点C重合，满足点E, F在线段BC上， DE+OF的最小值为5. 7.解：(1)y=一x (2),点(2，一2)在抛物线y=a.x+x一4上， ∴.4a+2b-4=-2. ∴.b=1-2a,即y=a.x2+(1-2a).x-4. ,'抛物线C,上有且只有一个“相反点”， ∴.ax十(1一2a)x一4=一x有两个相等的实数根， .△=(2-2a)-4a×(-4)=0.解得a=-1, .b=1-2×(-1)=3. (3)G,中y的最大值与最小值的差为是。 【解析】(3)由(1)知抛物线C,的解析式为y=一x2+ 3x-4. “将抛物线C,向上平移1个单位长度得到抛物 线C: ∴.C:的解析式为y=一x2+3x-4+1=一x*+3x -3. 当y=-x时，-x=-x2+3x一3， 整理可得x一4x十3=0，解得x,=1,x:=3, .M(1,-1),N(3,-3),.1≤x≤3. y=-+3x-3=-(-2)-2 当x=受时y取最大值-子 3 C:中y的最大值为-是 1≤x≤3，当x=3时，y取最小值，最小值为一3 +3×3-3=-3. C,中y的最大值与最小值的差为-名-(-3) 第5讲函数的实际应用 1.A2.B3.B4.减小5.1 6.解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x元y元 根据题意，得 x+2y=220, 3.x+140=4y x=60, 解得 y=80. 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元. (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40一 m)盏。 根据题意，得m≤3(40一m), 解得m≤10. 设购买费用为”元 根据题意，得n=60m十80(40-m)=-20m+3200. -20<0. ∴.当m取得最大值时，n取得最小值， ∴.m=10,40-m=40-10=30. 答：购买甲种路灯10盏、乙种路灯30盏，费用最少. 7.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款 “哪吒“纪念品每个进价为y元. 由题意.得/20x+300y=140. 1100x+200y=8000. 解得/t=40. y=20. 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒” 纪念品每个进价为20元. (2)设需要购进B款“哪吒”纪念品m个，则需要购进 A款“哪吒”纪念品(400一m)个. 由题意，得40(400-m)+20m≤12000. 解得m≥200， ∴.m的最小值为200. 答：至少需要购进B款“哪吒”纪念品200个， (3)由题意，得W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a+200a =-5(a-70)2+4500. -5<0,60≤a≤100， ∴.当a=70时，W最大，最大值为4500. 8.解：(1)3002 (2):轿车比货车晚了h到达终点， 心货车最后到达C地所用时向为3-三h, z.N(0). ,货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返 回C地， M(停，120. 参考答案 65