第六单元 第3讲 与圆有关的位置关系-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考集训本

第3讲与圆有关的位置关系 (建议用时：45分钟满分：46分) 夯实悬础（第1~6题各3分，第7~8题各67.(2025浙江）如下图，在△ABC中，AB=AC,点 分，共30分) O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的 1.(2025济宁)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的 半圆，交BC于点D,与AC相切于点E,连接 广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象 OD.OE 征.如图，某玉璧的平面示意图由一个正方形的 (1)求证：OD⊥OE 内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则 (2)若AB=BC,OB=,求四 图中阴影部分的面积是 边形ODCE的面积. A. B.2x C.3x D.4x 第1题图 第2题图 2.如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线 MN与⊙O相切，切点为C,且C为AB的中点， 则∠ACM等于 ( A.18 B.30°C.36 D.72 3.(2025福建)如图，PA与⊙O相切于点A,PO的 延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交⊙O于点 B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 () 第3题图 A.30° B.45° C.60° D.75 8.(2025瑞昌三模)如下图，△ABC内接于⊙O, 4.(2025云南)已知⊙O的半径为5cm.若点P在 AB=AC,AD是⊙O的直径，交BC于点E,过 ⊙O上，则点P到圆心O的距离为 点D作DF∥BC,交AB的延长线于点F,连 cm. 接BD. 5.(2025鹤岗)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B (1)求证：DF是⊙O的切线， 为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P= 0 第5题图 第6题图 6.(2025安微)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O 相切于点B,圆心O在线段PA上，已知∠P= 50°，则∠PAB的大小为 集训本211 (2)若AC=8,AF=12,求BD的长. 10.(2025北京)如下图，过点P作⊙O的两条切 线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP 的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点D,连接 BD. (1)求证：∠ADB=∠AOP (2)延长OP交DB的延长线于点E.若AP= 10,tan∠AOp= 2求DE的长. 「提升能力（第9~10题各8分，共16分） 9.(2025景德镇二模)如下图，四边形ABCD内接 于⊙O,对角线AC是直径，延长边BA,CD交于 点P.过点D作DE⊥AP于点E,已知PA =AC. (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若∠ACD=30°，DE=3,求⊙0的半径. 212.2026江西数学六1H=39 13 A1= B=AE-M=1B-号-号 ∴H=m+F=√侵'+(T-18 第3讲与圆有关的位置关系 1.D2.A3.C4.55.70°6.20° 7.解：(1)证明：由题意，得OD=OB=OE, ∴.∠ODB=∠B. .AB=AC. ∠C=∠B, ∴.∠ODB=∠C .OD∥AC :以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于 点E, .OE⊥AC, ∴.∠DOE=∠AEO=90°， ∴.OD⊥OE. (2).AB=BC.AB=AC. ..AB=AC=BC. ∴，△ABC是等边三角形， .∠A=60. OE⊥AC,OD=OB=OE=5, ÷AE=0E-5=1A0=0E-5=2 tanA sinA 3 2 ..AC=AB=A0+OB=2+3. ∴.EC=AC-AE=2+√5-1=1+5， ∴四边形ODCE的面积为2(OD+EC)·OE= (5+1+)×=3+ 2 8.解：(1)证明：：AD是⊙O的直径， ∴.∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90 AB=AC,∴∠ABC=∠C. '∠ADB=∠C,∴∠ABC=∠ADB. 'BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB, ∴.∠ADB+∠FDB=90°.即∠ADF=90°， .AD⊥DF, 又：OD是⊙O的半径，.DF是⊙O的切线， (2):AD是⊙O的直径，.∠FBD=∠ABD=90, ∴.∠F+∠BDF=90. :∠ADB+∠BDF=90°，∴∠F=∠ADB. ∴.△FBD∽△DBA, 器黑 ,'AB=AC=8,AF=12 BF=AF-AB=4品-0， .BD=32,.BD=3z=42. 9.解：(1)证明：如图，连接OD. PA=AC.OD=OC. ∴.∠P=∠PCO=∠CDO. OD∥AP. 又：DE⊥AP ∴∠DEP=∠ODE=90°， ∴.OD⊥DE. :OD为⊙O的半径 ∴.DE是⊙O的切线. (2):AC为⊙0的直径， ∴.∠ADC=∠ADP=90. PA=AC. ∴.∠P=∠ACD=30° 又DE⊥AP,DE=3, ∴.PD=2DE=6. 在R△ADP中，AP=PD=点=45. cos30 2 ∴.AC=AP=45, ∴.⊙0的半径为25. 10.解：(1)证明：AP,BP分别与⊙O相切于点A,B, ∴OP平分∠AOB ∴∠A0P=∠AOB, 又AB=AB, A∠ADB=Z∠AOB, .∠ADB=∠AOP. (2)如图，延长AO交⊙O于点F,连接DF,则 ∠ADF=90°. :AP,BP分别切⊙O于AE 点，B点， .PA⊥OA.∠PAO=90 :C为OP的中点， ..PC=OC. ac=0c=20p. :AP=10,tan∠AOP=2: ∴.A0= AP tanZAOp=20. ∴.OP=√AO+APF=√202+10=105，AF= 2A0=40. AC=0C=20P=56. AC=OC. ∴∠CAO=∠AOC. 又：∠PAO=∠ADF=90°， .cos∠AOP=cos∠DAF, 品胎 参考答案 77 .DA= 20×40=165,∴CD=DA-AC= 105 115. .∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, ∴.△ACOv△ECD, 品喘 DE=115 ×20=44. 55 第4讲与圆有关的计算 1.B2.D3.x4.160°5.15x 6. ·【解析】如图，连接OB,交AC于点D,则OA= OB=1. :四边形OABC为平行四边形，OA =OC. .四边形OABC为菱形， ∴.OA=AB=OB,S△0B=S△am= 1 5装50c ∴△AOB为等边三角形， ∠AOB=60°， .阴影部分的面积=S期5as一S△oa1十S△bc=SBau -瑞xX1=后 7.解：(1)证明：：∠M+∠C=90°，∠B=∠C, ∴.∠M+∠B=90°， ∴.∠BAM=90°，即BA⊥AM. AB是⊙O的直径， .AM是⊙O的切线. (2)如图，连接OD. ,AB是⊙O的直径，AB M ⊥CD, ∴.∠AEC=∠AED=90°，CE =DE. ∠CAB=30°，AC=6, ∴∠ACD=60°，CE=DE= 2AC=3, .∠A0D=120, ∴∠DOB=60°， ..OD= DE sn60=2v3. “AD的长=120xX25_4 180 3元 8.C 9.2x-4V2【解析】：△ABC中，AB=AC,∠A=45, ∴∠ABC=∠ACB=2180°-∠A)=67.5 由题意可知，BD=BC=4, ∴.∠BDC=∠ACB=67.5, .∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=45°. 78。己026江西数学 如图，过点D作DH⊥BC于点H,则 ∠BHD=90°，∠BDH=45°， △BHD是等腰直角三角形， DH=E。 BD=2E. 图中明影部分的面积=260一乞×4×2反=2分 360 -4E. 10.解：(1)证明：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCD=90 :AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC. '∠ADC=∠BDE,∴∠ACD=∠BDE. :BE=BC,∴.∠BCD=∠E, ∴∠BDE+∠E=90°， ∴∠DBE=180°-（∠BDE+∠E)=90°， 即OB⊥BE. 又OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线. 2在△DBE中，mE=号-器。 ∴设DB=x,则BE=2x,.BC=BE=2x. ⊙0的半径为5，AB=10, ∴.AD=AB-BD=10-x. :AC=AD,∴.AC=10-x. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB2, .(10-x)2+(2x)=102, 解得x1=0(不符合题意，舍去)，x:=4, ,.BE=2x=8. 11.解：(1)证明：如图，连接AE. :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB. AE=AB. .∠AEB=∠ABC, .∠DAE=∠ABC, ∴△AED2△BAC(SAS), ∴.∠DEA=∠CAB=90°， ∴DE⊥AE. :AE是⊙A的半径， ∴DE与⊙A相切. (2):∠ABC=60°，AB=AE=4, ∴△ABE是等边三角形， ∴.AE=BE,∠EAB=60° :∠CAB=90°， .∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°， ∠ACB=90°-∠B=90°-60°=30. 5w=把=0=号∠c =∠ACB, ∴AE=CE, :.CE=BE,