精品解析：湖北省部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校2024-2025学年高一上学期11月联考数学试卷

湖北省部分重点高中高一上学期11月联考 数学试题 命题人：王荣 田鲲 审题：恩施高中高一数学组 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 集合，，若，则实数的值为（ ） A B. 或 C. D. 0或或 2. 下列函数是偶函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 5. 集合，，定义，则的非空真子集的个数为（ ） A. 62 B. 31 C. 63 D. 30 6. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 9. 设函数（a，b为实数），已知，则的值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 与a，b的取值有关 10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时 11. 函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 函数的值域为_____________． 14. 若，且，则t的值为______； 15. 设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为______； 16. 已知函数满足对任意的实数且，都有不等式成立，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6大题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡对应的答题区域． 17. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． （1）求函数，解析式； （2）设m，n是方程的根，求的值． 18. 已知符号表示不超过实数x的最大整数，例如，．定义函数，． （1）写出函数的解析式，并作出函数的图象； （2）方程恰有一个实数根，求实数k的取值范围． 19 已知全集，集合． （1）设，求集合； （2）若集合中恰有两个整数元素，求实数a的取值范围． 20. 已知函数，其中，且． （1）求函数的定义域； （2）已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 21. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 22. 已知奇函数（其中，且，）满足． （1）求与的值； （2）判断的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分重点高中高一上学期11月联考 数学试题 命题人：王荣 田鲲 审题：恩施高中高一数学组 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1. 集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 0或或 【答案】D 【解析】 【分析】由，则，分和进行讨论，从而确定的取值. 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：D. 2. 下列函数是偶函数且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，在上为增函数，又为增函数， 则根据复合函数单调性法则可知函数在上是增函数，符合题意； 对于B，的定义域为R，且，函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数，不符合题意； 对于C，的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数，不符合题意； 对于D，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：A 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 5. 集合，，定义，则的非空真子集的个数为（ ） A. 62 B. 31 C. 63 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】由新定义确定集合，再由非空真子集的计算公式求解. 【详解】由新定义知，， 所以的非空真子集的个数为， 故选：A 6. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 7. 已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过点， 令，即时. 所以点的坐标为. 又点在幂函数的图象上，设， 则，所以，所以. 所以. 故选：C. 8. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】因，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B 9. 设函数（a，b为实数），已知，则的值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 与a，b的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】计算可得，再利用对数运算法则可得，则有，即可得解. 【详解】由，， 则 ， 又，则， 故， 则. 故选：B. 10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论． 【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则由， 即， ∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%， 又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故本题选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题. 11. 函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用分段函数的单调性画出图象，进而结合图象可求的取值范围. 【详解】令函数，则在上单调递减， 又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递减， 则，其值域为； 所以由，解得. 又，在上单调递增，在上单调递减， 其值域为. 所以，解得或. 画出图象如下图所示： 结合图象可知， 使得在区间上的值域为，则实数t的取值范围是. 故选：B 12. 若，其中m，n均为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 函数的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据、得出函数的值域 【详解】因为，所以， 因为，所以函数的值域为， 故答案为：. 14. 若，且，则t的值为______； 【答案】或 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算公式进行求解即可. 【详解】由， 当时，显然符合，此时， 当时，， 由，代入中， 得， 故答案为：或 15. 设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为______； 【答案】 【解析】 【分析】先求出，分和两种情况，得到相应的方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得，又，故， ，若，满足，此时，即； 若，也满足，此时，解得； 故实数a的所有取值构成的集合为. 故答案为： 16. 已知函数满足对任意的实数且，都有不等式成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据真数大于0得出，再利用分段函数的单调性即可列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因函数在上单调递增，则其最小值为， 则，即， 易知，在上单调递增， 则，，， 得，，， 令，则，则， 画出的图象， 因，， 则的解为，即，得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：本大题共6大题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡对应的答题区域． 17. 已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，且． （1）求函数，的解析式； （2）设m，n是方程的根，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，两边取对数解得，即可求得，再根据指数函数与对数函数的反函数关系可得； （2）由韦达定理得，利用对数运算法则得，利用换底公式化简得，即可得解. 【小问1详解】 对于函数（且），，所以， 所以，即，所以，所以，所以； 又函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以； 【小问2详解】 由题意m，n是方程即的根， 令，则是二次方程的两根， 所以，所以， 又， 所以. 18. 已知符号表示不超过实数x的最大整数，例如，．定义函数，． （1）写出函数的解析式，并作出函数的图象； （2）方程恰有一个实数根，求实数k的取值范围． 【答案】（1），图象见解析， （2）k的取值范围为 【解析】 【分析】（1）结合的定义分别求，，，，时的解析式，由此可得结论， （2）由条件可得函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，观察图象可得结论， 【小问1详解】 设， 因为，， 所以， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以， 函数图象如下： 【小问2详解】 因为方程恰有一个实数根， 所以方程恰有一个实数根， 所以函数的图象与函数的图象有且只有一个交点， 作函数与函数的图象可得 观察图象可得，或， k的取值范围为． 19. 已知全集，集合． （1）设，求集合； （2）若集合中恰有两个整数元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，分，，且，分类讨论求出； （2）问题化为不等式有两个整数解，结合集合分析得两根在范围内或在范围内，分类讨论即可. 【小问1详解】 因为，即，即，即， 所以，解得或， 所以或，则， 所以， 当时，，此时； 当时，，此时； 当且时，，此时； 综上， 当或时，； 当且时， 【小问2详解】 因为集合中恰有两个整数元素，或， 所以不等式有两个整数解，设整数解为，所以，则符号相同， 所以在范围内或在范围内，设， 当在范围内时，整数为和，需满足 且， 计算得 ；得；得 ， 因此，； 当在范围内时，整数为和，需满足且， 计算得；得 ；得， 因此，， 综合两种情况，实数的取值范围为. 20. 已知函数，其中，且． （1）求函数的定义域； （2）已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当，定义域为；当时，定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，分情况求出函数定义域； （2）先求出，然后参变分离，问题转化成，求出不等式左边的最小值即可. 【小问1详解】 设，由题知，即， 根据指数函数的单调性， 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当，定义域为；当时，定义域为 【小问2详解】 时，即，即，解得， 由于，此时， ， 则， 即， 即， 即， 设， 令，则， 此时， 根据对勾函数的单调性，在上递减， 注意到，则在取得最大值，即， 则，此时，则 21. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，过点作于点，连接，由题中条件，表示出，进而可得出周长的函数关系式；令，由换元法，结合二次函数的性质，即可求出周长y的最大值. （2）由（1）知，等腰梯形的各边长，由的不同取值范围，求出梯形位于直线左侧的图形的面积. 【小问1详解】 由题意可得，过点作于点，连接， 因为半圆的半径为2，线段的长度为x， 则，，，所以， 因此， 所以这个等腰梯形的周长为，其中， 即，； 令，因为，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此梯形周长的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，当梯形的周长取得最大值时，， 等腰梯形的下底，腰， 等腰梯形的高， 则当时，； 当时，； 当时，； 所以，. 22. 已知奇函数（其中，且，）满足． （1）求与值； （2）判断单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1），； （2）函数单调递增，证明见详解； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，又，可得，解方程即可； （2）利用指数型复合函数判断函数单调性，再根据函数单调性定义，取，带入化简得，即，得证； （3）因为函数为奇函数，且单调递增，可得，根据的不同取值，结合二次不等式、二次函数的性质，进行分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 即，化简得， 又根据指数函数，，， 所以，所以，解得， 所以函数，又， 即，解得或（舍），所以； 【小问2详解】 由（1）得，函数， 因为为增函数，为减函数，所以函数为增函数， 设，则 因为，所以，， 即，所以， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 由，即， 又函数为奇函数，所以， 又由（2）得，函数在上单调递增， 所以，即， ①当时，即，解得， ②当时，，则， 令，解得或， 当时，，不等式为，即，解得； 当且时，，所以一元二次方程存在两个不等的实数根， 根据求根公式，解方程得或， 再结合二次函数的图象性质，开口向上，可得的解集为； 当时，， 所以一元二次方程存在两个不等的实数根， 根据求根公式，解方程得或， 再结合二次函数的图象性质，开口向下，可得的解集为； 当时，， 所以一元二次方程没有实数根， 再结合二次函数的图象性质，开口向下，可得的解集为； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当且时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $