专题28 正切函数的性质与图象8种常见考法归类讲义（90题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题28 正切函数的性质与图象8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求正切函数的定义域 考点二 正切函数的图象及应用 考点三 正切函数的周期性问题 考点四 正切函数的奇偶性问题 考点五 正切函数的对称性问题 考点六 正切函数的单调性问题 （一）判断函数的单调性 （二）求函数的单调区间 （三）根据正切函数的单调性求参数 （四）比较大小 考点七 正切函数的值域（最值）问题 考点八 正切函数图象与性质的综合应用 知识点1：正切函数的图象 知识点2：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 策略方法 1.求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． 2.正切函数的性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 3.正切函数型的性质 （1）定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． （2）值域： （3）单调区间：①把“”视为一个“整体”；②时，函数单调性与的相同（反）；③解不等式，得出范围． （4）周期： 4.与正切函数有关的图象问题 解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 5.与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 6.求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 7.正切函数的单调性及其应用 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 8.解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 考点一 求正切函数的定义域 1．（2025高一·四川成都·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 3．（2025高一·陕西汉中·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·云南楚雄·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点二 正切函数的图象及应用 9．（2025高一·广东·阶段练习）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 10．（2025高二·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 11．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2025高一·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·陕西榆林·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 考点三 正切函数的周期性问题 15．（2025高一·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 16．（2025高一·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 20．（2025高一·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 22．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 考点四 正切函数的奇偶性问题 23．（2025高一·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·四川南充·期中）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·北京·阶段练习）设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 27．（2025高一·全国·课后作业）已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 28．（2025·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 29．（2025高三·河南开封·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（25-26高二·河南驻马店·开学考试）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 33．（2025高三·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 34．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 35．（2025高一·安徽亳州·期末）已知函数，若，则（    ） A．－100 B．102 C．98 D．－102 36．（2025高三·广东汕头·阶段练习）设函数，如果，则的值是（    ） A．-10 B．8 C．-8 D．-7 考点五 正切函数的对称性问题 37．（25-26高三·浙江·开学考试）“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（25-26高三·湖北·阶段练习）函数的图象的对称中心不可能是（    ） A． B． C． D． 39．（2025高一·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 40．（2025高一·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 41．（2025高一·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 42．（2025·全国一卷）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 44．（2025高三·山东泰安·期中）“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（25-26高三·云南曲靖·阶段练习）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高三·广东·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 47．（2025高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 48．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 考点六 正切函数的单调性问题 （1） 判断函数的单调性 49．（2025高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正切函数在定义域上是增函数 B．正切函数在第一、四象限是增函数 C．正切函数在每一个区间上都是增函数 D．正切函数在某一区间上是减函数 50．（25-26高三·重庆·阶段练习）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 51．（2025高一·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 52．（2025高一·河北保定·期末）下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． （2） 求函数的单调区间 53．（25-26高一·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 54．（2025·湖南邵阳·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 55．（2025高一·河南信阳·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 56．（2025高一·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 57．（2025高一·河南信阳·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 58．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． （3） 根据正切函数的单调性求参数 59．（2025高一·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．（2025高一·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（2025高三·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 63．（2025高一·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．（2025高一·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．（2025高三·全国·专题练习）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 66．（2025高一·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4） 比较大小 67．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 68．（25-26高一·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高一·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 70．（2025高一·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 71．（2025高一·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 考点七 正切函数的值域（最值）问题 72．（2025高一·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 73．（2025高一·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 74．（2025高一·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 75．（2025高一·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 76．（2025高二·湖南·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 77．（2025高一·全国·课后作业）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 78．（2025高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 79．（2025高一·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 80．（2025高一·全国·课后作业）函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 . 81．（2025高一·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 82．（2025·四川自贡·模拟预测）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 考点八 正切函数图象与性质的综合应用 83．【多选】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 84．【多选】（25-26高一·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 85．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 86．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若，则是的整数倍 D．若在上单调递增，则 87．【多选】（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 88．【多选】（2025高一·湖北荆州·期末）若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C． D．的解集为 89．【多选】（2025高一·广东清远·阶段练习）若函数的图象经过点，则（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 90．【多选】（2025高一·辽宁·期中）下列关于函数的说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题28 正切函数的性质与图象8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求正切函数的定义域 考点二 正切函数的图象及应用 考点三 正切函数的周期性问题 考点四 正切函数的奇偶性问题 考点五 正切函数的对称性问题 考点六 正切函数的单调性问题 （一）判断函数的单调性 （二）求函数的单调区间 （三）根据正切函数的单调性求参数 （四）比较大小 考点七 正切函数的值域（最值）问题 考点八 正切函数图象与性质的综合应用 知识点1：正切函数的图象 知识点2：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 策略方法 1.求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解． 2.正切函数的性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 3.正切函数型的性质 （1）定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． （2）值域： （3）单调区间：①把“”视为一个“整体”；②时，函数单调性与的相同（反）；③解不等式，得出范围． （4）周期： 4.与正切函数有关的图象问题 解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 5.与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 6.求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 7.正切函数的单调性及其应用 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 8.解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 考点一 求正切函数的定义域 1．（2025高一·四川成都·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数定义可得答案. 【详解】当时，正切函数无意义，故函数的定义域为： . 故选：A 2．（2025高一·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】A选项将和代入函数中即可判断；B选项利用正切函数的定义域可求解；C选项利用周期的定义进行判断；D选项借助函数的图象进行判断即可. 【详解】 对于A选项，，， ，故A正确； 对于B选项，要使有意义，则有， 的定义域是，故B正确； 对于C选项，， 是的一个周期，故C正确； 对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误. 故选：D. 3．（2025高一·陕西汉中·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于不等式求解即可. 【详解】由，可得． 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．（2025高一·江西·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 5．（2025高一·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据正切函数图象和性质解不等式即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：D. 7．（2025高一·云南楚雄·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 8．（2025高一·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得. 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 考点二 正切函数的图象及应用 9．（2025高一·广东·阶段练习）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 10．（2025高二·广东深圳·期中）在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示：    令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 11．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令得，或或时，不是函数零点，当且且时，，同一坐标系内，画出与在上的图象，数形结合得到答案. 【详解】令得，， 当或或时，，但，故不是函数零点， 当且且时，， 同一坐标系内画出与在上的图象，如下： 可以看出上，与在上共有3个交点， 故零点个数为3个，分别为. 故选：D 12．（2025高一·广东深圳·期末）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图，      由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 13．（2025高一·陕西榆林·阶段练习）当，函数的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 14．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】要求函数在上的零点，可转化为求和图象的交点， 易知函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，其和为0， 所以在上的零点和即为上的零点和， 令，得，， 在同一坐标系中作出和的图象， 如图可知在内的零点只有，故零点之和为.    故选：B 考点三 正切函数的周期性问题 15．（2025高一·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 16．（2025高一·河南·期末）“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 17．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，利用最小正周期的定义推出错误；B选项，作出的图象可得B正确；C选项，利用公式直接进行求解；D选项，画出的图象，不是周期函数，故选项D错误. 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 18．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 故选：C． 19．（25-26高三·福建福州·开学考试）若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 20．（2025高一·内蒙古包头·期末）设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数周期及解析式求值即可. 【详解】由周期为可得， ， 故选：D 21．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 【答案】A 【分析】根据正切型函数的性质，，求出的取值，再带入点，结合的限制条件，求出的取值. 【详解】根据函数性质，，求得， 代入点得，又有，. 故选：A. 22．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，可得与周期相同，即，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为函数恒成立，所以与同号或为， 则与周期相同，即，可得， 则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：B 考点四 正切函数的奇偶性问题 23．（2025高一·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B符合题意， 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故D不符合题意． 故选：B 24．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义判断各个选项即可. 【详解】对于，定义域为，而，则为奇函数，A选项错误； 对于定义域为，，则为偶函数，B选项正确； 对于定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，C选项错误； 对于定义域为，令，，不相等，也不互为相反数，是非奇非偶函数，D选项错误． 故选：B． 25．（2025高一·四川南充·期中）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合三角函数的性质即可化简求值. 【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数， 对于B，定义域为，且，所以为奇函数， 对于C，定义域为，且，所以为偶函数， 对于D，定义域满足且，所以且， 故定义域为或或,故定义域关于原点对称，且，所以为奇函数， 故选：C 26．（2025高一·北京·阶段练习）设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解. 【详解】函数的定义域为， 显然，即函数是偶函数，排除AC； 又，即函数的周期是， 而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D； 函数在上单调递增，且，则在上单调递增， 所以函数在上单调递减，B正确. 故选：B 27．（2025高一·全国·课后作业）已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】构造函数，则函数是奇函数且周期为，先求得，进而得到的值. 【详解】设， 则， 则函数是奇函数； ， 则函数是周期为的周期函数； 由，可得，则， 所以， 则 故选：B . 28．（2025·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 29．（2025高三·河南开封·阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较 【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件 故选：B 30．（25-26高二·河南驻马店·开学考试）若的图象关于原点对称，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，结合，列出方程，得到恒成立，即可求解. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以函数为奇函数，则满足，且定义域关于原点对称， 又因为， 所以在定义域上恒成立， 因为在定义域上不恒为，所以， 可得在定义域上恒成立，所以. 故选：D. 31．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 32．（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】计算，，计算得到答案. 【详解】，则 . 故. 故选：A 33．（2025高三·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】设，定义域为，关于原点对称， 则，故是奇函数， 从而，即， 即. 故选：A 34．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解:，令，，于是 ，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而. 故选：B 35．（2025高一·安徽亳州·期末）已知函数，若，则（    ） A．－100 B．102 C．98 D．－102 【答案】B 【解析】利用计算可得． 【详解】由已知，又， 所以，， 故选：B． 36．（2025高三·广东汕头·阶段练习）设函数，如果，则的值是（    ） A．-10 B．8 C．-8 D．-7 【答案】B 【解析】令，由奇函数定义可知，化简计算可求得结果. 【详解】令,则， 所以，由可知，，即， ， 故选：B. 【点睛】本题考查奇函数性质，考查计算能力，属于基础题. 考点五 正切函数的对称性问题 37．（25-26高三·浙江·开学考试）“”是“函数的图象关于对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 38．（25-26高三·湖北·阶段练习）函数的图象的对称中心不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质，先通过整体代入求出再赋值即可得出结论. 【详解】由函数， 令，解得， ∴函数的图象的对称中心为. 当时，；当时，；当时，； ∴图象的对称中心的横坐标可以为，，，无论k取何整数值，不等于， 故选：C. 39．（2025高一·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 40．（2025高一·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 41．（2025高一·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 【答案】B 【分析】求函数的定义域，和单调增函数即可判断A，令求出即可判断B，由周期公式即可判断C，由奇偶性的定义即可判断D. 【详解】对于A：令，函数的定义域， 由有， 所以函数的单调增区间为， 由单调性的定义可知，在定义域内不具有单调性，故A错误； 对于B：令有，所以图象的对称中心是，故B正确； 对于C：，所以的最小正周期是，故C错误； 对于D：，可知是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 42．（2025·全国一卷）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 43．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正切函数图象的对称性列式求解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心，得， 则，所以当时，取得最小正值为. 故选：B 44．（2025高三·山东泰安·期中）“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可确定选项. 【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 45．（25-26高三·云南曲靖·阶段练习）若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 46．（25-26高三·广东·阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的对称中心及已知范围求得，再将代入即可求解. 【详解】由题意知，的图象关于点中心对称， 所以，解得, 又，所以， 所以，则. 故选：A. 47．（2025高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 48．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】运用正切函数的单调性，对称性和周期性可解题. 【详解】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称，则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个. 故选：A. 考点六 正切函数的单调性问题 （1） 判断函数的单调性 49．（2025高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．正切函数在定义域上是增函数 B．正切函数在第一、四象限是增函数 C．正切函数在每一个区间上都是增函数 D．正切函数在某一区间上是减函数 【答案】C 【分析】由正切函数的单调性可得出结论. 【详解】由正切函数的单调性可知，正切函数在每一个区间上都是增函数， 正切函数在定义域上不单调， 正切函数在第一、四象限不单调， 正切函数不存在减区间，ABD错，C对. 故选：C. 50．（25-26高三·重庆·阶段练习）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用偶函数的定义判断B，利用正切函数性质判断C，利用幂函数的性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得是奇函数， 而，则在其定义域上不单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，可得是偶函数，故B错误； 对于C，由正切函数性质得在其定义域上不单调， 例如取，则，故C错误； 对于D，由幂函数性质得是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确． 故选：D 51．（2025高一·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 即函数为偶函数， 且，即函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，函数在上不单调，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为， 函数在定义域上不单调，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数， 故函数在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求. 故选：C. 52．（2025高一·河北保定·期末）下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于AB：整理可得，根据正弦函数性质分析判断；对于C：根据正切函数性质分析判断；对于D：整理可得，根据余弦函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期， 若，则，且在内单调递减， 则在上单调递减， 所以在上单调递增，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误； 对于选项C：若时，函数无意义，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则，且在内单调递减， 所以在上单调递减，故D错误； 故选：A. （2） 求函数的单调区间 53．（25-26高一·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 54．（2025·湖南邵阳·模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 55．（2025高一·河南信阳·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，判断各选项在给定区间上的单调性即可. 【详解】对A：函数在上单调递增，在上单调递减，故A不满足题意； 对B：函数在上单调递减，故B不满足题意； 对C：函数在上单调递增，故C满足题意； 对D：函数在区间无意义，所以D不满足题意. 故选：C 56．（2025高一·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 【答案】D 【分析】分析函数的性质，对各选项的内容逐一判断即可. 【详解】对函数： 由，，，所以函数的定义域为：； 由，所以函数的最小正周期为； 由，，， 所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为； 因为，所以点为函数的一个对称中心. 综上可知：D是错误的. 故选：D 57．（2025高一·河南信阳·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】C 【分析】由正切型函数的最小正周期公式求函数的最小正周期可判断A；根据正切函数的定义域求函数的定义域，可判断B；由正切曲线的对称中心求函数图象的对称中心，可判断C；由正切函数的单调区间求函数的单调递增区间，可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，，得，， 所以函数的定义域为，B正确； 对于C，由，，得，， 所以函数的图象的对称中心为，，C错误； 对于D，由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，，D正确. 故选：C 58．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. （3） 根据正切函数的单调性求参数 59．（2025高一·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 60．（2025高一·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 61．（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 62．（2025高三·广东·开学考试）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 63．（2025高一·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 64．（2025高一·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 65．（2025高三·全国·专题练习）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，直接求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，，单调递增， 且函数不单调，结合, ，， 故选：D 66．（2025高一·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B （4） 比较大小 67．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断. 【详解】方法一：，又． 方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，．    故选：C. 68．（25-26高一·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出单位圆，，由，有，得到，再根据，有即可得到答案． 【详解】作出单位圆，，用三角函数线进行求解，如图所示，因为， 所以有，所以，即． 由图可知，即， 所以，即． 综上，． 故选：B. 69．（25-26高一·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用诱导公式将化成同名三角函数，再根据单调性比较大小，再结合特殊值判断得出. 【详解】根据诱导公式，可得．因为当时，函数单调递增， 所以，得. 又当时，单调递增，所以，得，所以 故选：D. 70．（2025高一·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小. 【详解】，；，； 又，所以，， 故选:A． 71．（2025高一·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【分析】由题意根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误. 故选：. 考点七 正切函数的值域（最值）问题 72．（2025高一·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 73．（2025高一·全国·课后作业）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故选：A． 74．（2025高一·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 75．（2025高一·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 76．（2025高二·湖南·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，则，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 77．（2025高一·全国·课后作业）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域． 【详解】∵，∴. ∵在上是单调递增的． 即 ∴函数的值域为. 故选：C 78．（2025高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为 ； （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 即函数的定义域为． （2）令，∵， ∴由正切函数的单调性可知， ∴原函数可化为，， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ∴原函数的值域为． 故答案为：； 79．（2025高一·全国·课前预习）（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】（1）由被开方数非负建立不等式，再结合正切函数图象可解； （2）令，换元法转化为求二次函数值域即可. 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 80．（2025高一·全国·课后作业）函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 . 【答案】/ 【分析】利用正切函数单调性求出最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则当时，， 因此，解得， 所以实数a为. 故答案为： 81．（2025高一·上海·阶段练习）设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 82．（2025·四川自贡·模拟预测）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 考点八 正切函数图象与性质的综合应用 83．【多选】（2025高一·全国·专题练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】BD 【分析】由正切函数最小正周期公式求解判断A，根据正切函数定义域列式求解判断B，根据正切函数的对称中心求解判断C，根据正切函数的单调性求解判断D. 【详解】对于A，中，则最小正周期为，错误； 对于B，由正切函数的定义域得，解得， 则的定义域为，正确； 对于C，令，解得， 则函数图象的对称中心为，错误； 对于D，由正切函数的单调性得， 解得， 则函数的单调递增区间为，正确． 故选：BD 84．【多选】（25-26高一·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 85．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列叙述中，正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数 【答案】AB 【分析】由正切函数的性质可判断AB，利用特殊值及周期性，奇偶性的定义判断CD. 【详解】对于A，由于，即的图象关于点对称．故A正确； 对于B，当时，，因此在上单调递增．故B正确； 对于C、D，但不存在，故的最小正周期不是，也不是偶函数．故C、D不正确； 故选：AB 86．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若，则是的整数倍 D．若在上单调递增，则 【答案】BCD 【分析】对于A利用函数的周期性或诱导公式将两个角转化到同一个单调区间内，利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小即可判断，对于B解不等式即可判断，对于C若，则是函数最小正周期的整数倍，求的周期即可判断，对于D由得，又，即，解出即可判断. 【详解】对于A：当时，， 因为在上单调递增，所以，所以，故A错误； 对于B：若，，即， 则，解得， 故不等式的解集为，故B正确； 对于C：若，则是函数最小正周期的整数倍， 又的最小正周期，则是的整数倍，故C正确； 对于D：当时，，又，所以当， 即时，在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 87．【多选】（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】A选项，由图象可以看出函数的最小正周期，求出；B选项，将代入，结合得到；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，由图象可以看出的最小正周期为， 又故，A错误； B选项，将代入得，解得， 因为，所以只有时，满足要求， 故，B正确； C选项，， 的图象与轴的交点坐标为，C正确； D选项，时，， 由于的一个对称中心为， 故函数的图象关于点对称，D正确. 故选：BCD 88．【多选】（2025高一·湖北荆州·期末）若函数的图象与直线的相邻交点的距离为，则以下说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心 C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据题意求的最小正周期即可判断A，进而得，将代入即可验证，进而判断B，利用周期先将，再由单调性即可判断C，由解出即可判断D. 【详解】由题意有的最小正周期为，故A正确；所以，所以， 由，所以是函数图象的一个对称中心，故B正确； ，，又，在上单调递增，所以，即，故C正确； 由，所以， 即，故D错误. 故选：ABC. 89．【多选】（2025高一·广东清远·阶段练习）若函数的图象经过点，则（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】求出解析式，再求出函数的对称中心即判断A；求出最小正周期判断B；根据变量范围得出角的范围进而求出函数值范围判断C；求出正切型函数的单调递增区间以及零点，结合正切（型）函数图象性质求得单调增区间判断D. 【详解】依题意，，又，则，， 对于A，令，则，的对称中心为， 当时，，因此点为函数图象的一个对称中心，A正确； 对于B，的最小正周期为，B错误； 对于C，当，，，C正确； 对于D，由，得， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令，得，则，即， 因此函数的零点为，    函数的单调递增区间为，D正确. 故选：ACD 90．【多选】（2025高一·辽宁·期中）下列关于函数的说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 【答案】BCD 【分析】应用正切函数的定义域，周期，对称中心，递增区间分别计算判断各个选项. 【详解】函数， 因为，所以的定义域为，A选项正确； 的最小正周期为，B选项错误； 因为，所以图象的对称中心为，C选项错误； 因为为增区间，所以的单调递增区间为，D选项错误； 故选：BCD. $