专题21 函数模型的应用8种常见考法归类讲义（40题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题21 函数模型的应用8种常见考法归类（40题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 考点三 分段函数模型的应用 考点四 指数型函数模型 考点五 对数型函数模型 考点六 幂函数模型的应用 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 知识点1：常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 策略方法 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1．（25-26高一·全国·课前预习）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．（参考数据：） 2．（25-26高一·全国·期末）已知某观光海域段的长度为3万米，一游艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：万米/小时）的以下数据： 0 1 2 3 0 0.7 1.6 3.3 为描述该游艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：． (1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)该游艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 3．（2025高一·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 4．（2025高一·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 5．（2025高一·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 6．（25-26高一·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 7．（2025高三·全国·专题练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示． (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 8．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 9．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 10．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 考点三 分段函数模型的应用 11．（25-26高一·湖南衡阳·期末）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 12．（2025高一·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 13．（25-26高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 14．（2025高一·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 15．（2025·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 考点四 指数型函数模型 16．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 17．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 19．（2025高三·全国·专题练习）某地区在年底森林覆盖面积为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到年底森林覆盖面积为，要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到年底需要植树多少面积？（参考数据：） 20．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 考点五 对数型函数模型 21．（2025高一·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 22．（2025高二·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 23．（2025高一·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 24．（2025高一·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 25．（2025高一·四川绵阳·期末）某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. (1)求实数的值； (2)该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 考点六 幂函数模型的应用 26．（2025高二·北京·学业考试）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 27．（2025·甘肃天水·模拟预测）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 28．【多选】（2025高一·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 29．（2025·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 30．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 31．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 33．【多选】（2025高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 34．（2025高一·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 36．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 37．（2025高一·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 38．（2025高一·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 39．（2025高一·广东广州·期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系． (1)若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； (2)若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围． 40．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数解析式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ $【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题21 函数模型的应用8种常见考法归类（40题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 考点三 分段函数模型的应用 考点四 指数型函数模型 考点五 对数型函数模型 考点六 幂函数模型的应用 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 知识点1：常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 策略方法 1、应用函数模型解决问题的基本过程 （1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． （2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． （3）求模——求解数学模型，得出数学模型． （4）还原——将数学结论还原为实际问题． 2、指数函数模型问题的求解策略 (1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.　 3、对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 4、建立拟合函数与预测的基本步骤 考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 1．（25-26高一·全国·课前预习）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．（参考数据：） 【答案】符合要求，理由见解析 【分析】由题意，符合公司要求的模型需满足：①当时，函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③三个条件．用每个条件，重点是每个条件对三个奖励模型进行判断，可得奖励模型：符合要求． 【解析】由题意，符合公司要求的模型需满足三个条件： ①当时，函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③三个条件． 当时，易知可满足①，但当时，，不满足公司奖金总数不超过5的要求； 当时，易知可满足①，但当时，，不满足公司奖金总数不超过5的要求； 当时，易知可满足①，当时，，满足②， 同时，满足③. 故判断奖励模型：符合要求． 2．（25-26高一·全国·期末）已知某观光海域段的长度为3万米，一游艇在段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用（单位：万元）与速度（单位：万米/小时）的以下数据： 0 1 2 3 0 0.7 1.6 3.3 为描述该游艇每小时航行费用与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：． (1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)该游艇应以多大速度航行才能使段的航行费用最少？并求出最少航行费用． 【答案】(1)选择函数模型， (2)该游艇应以1万米／时的速度航行才能使段的航行费用最少，最少航行费用为2.1万元． 【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式； （2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【解析】（1）若选择函数模型，则该函数在上单调递减，这与试验数据相矛盾， 所以不选择该函数模型． 从而只能选择函数模型， 由试验数据可得，，解得， 故所求函数解析式为． （2）设游艇在段的航行费用为万元， 由题意知游艇在段航行所需时间为时，其中， 结合（1）知， 所以当时，取得最小值2.1， 所以该游艇应以1万米／小时的速度航行才能使段的航行费用最少，最少航行费用为2.1万元． 3．（2025高一·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【解析】（1）③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； （2）将表格数据代入，得，， 解得， 故函数为， 则第4天时的舆论场指数为. （3）若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 4．（2025高一·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【分析】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【解析】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 5．（2025高一·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【答案】(1)②， (2)该学生每天至少篅要锻炼47分钟 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【解析】（1）选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 考点二 利用二次函数模型解决实际问题 6．（25-26高一·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总利润=销售量-每件纯赚利润，得即可求解； （2）结合（1）列不等式得出，再结合题意计算出厂价列式求参总差价即可. 【解析】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 7．（2025高三·全国·专题练习）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示． (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 【答案】(1)， (2)第50天 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）结合（1）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值． 【解析】（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图甲表示的函数关系式为 . 设，则，所以． 所以图乙表示的函数关系式为 ，． （2）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 8．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【解析】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 9．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 【答案】(1)800 (2) 【分析】（1）先求出提价后该零件的销售总收入与的关系，再根据二次函数的性质即可得解； （2）根据题意列出不等式，解之即可. 【解析】（1）由题意可得提价后该零件的销售总收入， 因为， 所以当时，取得最大值800万元， 即该零件的售价为20元时，该零件的销售总收入取得最大值800万元； （2）由题意可得， 整理得，即， 解得，又，所以的取值集合为． 10．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【解析】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 考点三 分段函数模型的应用 11．（25-26高一·湖南衡阳·期末）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【解析】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 12．（2025高一·吉林·阶段练习）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【解析】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 13．（25-26高一·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【解析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 14．（2025高一·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【解析】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 15．（2025·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【解析】（1）根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； （2）由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 考点四 指数型函数模型 16．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【解析】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 17．（2025高一·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得到方程组，联立求出，进而求出. 【解析】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】设动物标本中碳含量初始值是个单位，由题意得出，解方程，求出的值，即可得出结果. 【解析】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位， 则经过年动物标本中碳含量为， 令，则年. 故选：C. 19．（2025高三·全国·专题练习）某地区在年底森林覆盖面积为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，计划到年底森林覆盖面积为，要求每一年森林覆盖面积的年平均增长率均相同，试问到年底需要植树多少面积？（参考数据：） 【答案】 【分析】设每年平均增长率为，由条件可得方程，解方程求，由此可得结论. 【解析】设每年平均增长率为， 则以2020年底为基础，到2030年底的森林覆盖面积为， 故，所以， 解得， 所以到2021年底需要植树的面积为． 20．（25-26高一·全国·课后作业）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金10万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存期，本利和为11万元，若存期，本利和为12万元，若存期，求总利息为多少． 【答案】3.2（万元） 【分析】根据题意，得出方程组，两式相乘，得到本利和，进而得到利息的值，得到答案. 【解析】由题意，可得，则， 即存期，本利和为，则存期，总利息为（万元）． 考点五 对数型函数模型 21．（2025高一·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【解析】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 22．（2025高二·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【答案】(1)． (2)9倍． 【分析】（1）将所给数据代入题干所给解析式中，由对数的运算性质计算可得； （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，代入解析式，两式作差得到，即可求出. 【解析】（1）将代入函数式可得：， 故此时候鸟飞行速度为． （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为， 依题意可得：，两式相减可得：，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍； 23．（2025高一·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】(1) (2)天狼星、牛郎星、织女星 (3)该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【解析】（1）设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. （2）因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. （3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 24．（2025高一·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得； （2）利用给定信息列出不等式求解． 【解析】（1）依题意，； （2）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速率至少增加， 则，即， ，， 所以， 所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为 25．（2025高一·四川绵阳·期末）某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元. (1)求实数的值； (2)该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)， (2)A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可. 【解析】（1）， ， 解得. ， ， 解得. （2）设A生产线投入万元，则B生产线投入万元，企业获得利润为. 由（1），得， ， ， 整理，得， 变形得，， 即. ，当且仅当时等号成立. . ， 当且仅当时等号成立. 当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元. 考点六 幂函数模型的应用 26．（2025高二·北京·学业考试）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【解析】根据题意列方程：. 故选：C 27．（2025·甘肃天水·模拟预测）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【解析】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 28．【多选】（2025高一·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【解析】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 29．（2025·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解析】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 30．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 考点七 指数、对数、幂函数模型的增长差异 31．（25-26高一·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 32．（25-26高一·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【解析】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C.    33．【多选】（2025高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【解析】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 34．（2025高一·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 35．（2025高一·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【解析】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 考点八 建立拟合函数模型解决实际问题 36．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】依次判断函数是否满足条件. 【解析】函数①图象的对称轴为， 所以，超出了值域范围，A不符合题意． 函数时，， 且在上单调递增， ，即，B合题意． 函数③在上单调递减，在上单调递增，C不符合题意． 函数④为增函数，且时，， ，又， 所以，则，即，D符合题意． 故选：BD 37．（2025高一·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①；解析式为 (2). 【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求的值即可. 【解析】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据 解得，所以函数模型解析式为. （2）由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 38．（2025高一·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【解析】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 39．（2025高一·广东广州·期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系． (1)若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②； (2)若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围． 【答案】(1)，函数符合预测①与预测②，证明见解析 (2) 【分析】（1）分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可； （2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，进而求得的取值范围. 【解析】（1）由于函数， 第1年参观人数为12万人，即； 第2年参观人数为14万人，即； 联立可得：， 所以， 设，， 且，得，，所以，即， 所以在区间上单调递增，符合预测①， 同时，，符合预测②； （2）由于函数， 第1年参观人数为12万人，即； 第2年参观人数为14万人，即； 联立可得：， 由指数函数的性质可知：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增； 若符合预测①，则或， 当时，，符合预测①， 此时，，，， 再符合预测②，只需即可，由，且，得：； 当时，，符合预测①， 此时函数在区间上单调递增， 同时，， 解方程，可得， 其中，，， 即当时，，不符合预测②； 综上所述，的取值范围是：. 40．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：）的下列数据： v 0 40 60 80 12 F 0 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，经计算机拟合，选用函数模型. （1）求函数解析式； （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 【答案】（1）；（2）以的速度行驶时总耗油量最少. 【解析】（1）代入数据解方程即可得、、，即可得解； （2）表示出总耗油量的函数，由二次函数的性质即可得解. 【解析】（1）由已知数据得，解得， 所以； （2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t， 由题意得 ， 因为，所以当时，y有最小值30. 答：这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为. 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. $