2.3.3&2.3.4第七单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系B单元卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第七单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 B卷 创新试题 一、单选题 1．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【详解】直线方程整理为，即直线过定点， 而，在圆内，∴直线与圆相交．故选：A． 2．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以．故选：B. 3．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离，故所求圆的方程为．故选：A 4．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】易知圆的圆心为，半径为2，圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1.故选：C. 5．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即．故选：A. 6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆M：，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为，易知两圆外离， 则直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率． 如图所示，，且， 所以，在中，可得， 所以，即直线PQ的斜率的最大值为．故选：D. 7．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由曲线，可得， 表示以原点为圆心，半径为的右半圆， 是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况： ①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得； ②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知. 综上可知：或.故选：D. 8．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20.故选：A. 二、多选题 9．已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离，所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即．由，解得或－1，故的方程为或．故选：AC. 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ） A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 【详解】对于A，如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则曲线与轴围成的图形的面积．A错误； 对于B，曲线上有5个整点．B正确； 对于C，弧所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为．C正确； 对于D，设弧与弧的公切线方程为，根据图象知， 则，解得，即公切线方程为．D错误；故选：BC.   11．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确.故选：ABD 三、填空题 12．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即，解得的值为3或．故答案为：3或 13．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 14．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以 故答案为：，. 四、解答题-问答题 15．已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得，所以直线的方程为． 若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为． 16．已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减整理得，所以直线AB的方程为， 所以所求圆的圆心为，半径为，所以以AB为直径的圆的方程为． （2）在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆和圆上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点到直线CD的距离为， 点到直线CD的距离为， 因为，所以，解得， 所以直线CD的方程为，即． 17．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）． (1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时． 【详解】（1）设，则由题意，根据题意可知， ，，曲线的方程为: （2）在该海上平台正南海里处,， 轮船向北偏东方向航行, 轮船航行直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 轮船航行直线方程：，即. 曲线的方程为: ,圆心，半径为 圆心到直线的距离, 如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区. 直线被圆截得的弦长 轮船的速度为每小时海里，它在安全预警区中的航行时间 答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时． 18．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 19．如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或，故，； 直线，由解得或，故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即，所以． （2）①由原点在圆内，知,由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得，同理可得， 所以. ②猜测，证明如下：设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即，所以成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 B卷 创新试题 一、单选题 1．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 3．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 二、多选题 9．已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ）    A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 11．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 13．已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是 ． 14．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 四、解答题-问答题 15．已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 17．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）． (1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时． 18．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 19．如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $