2.3.1&2.3.2第六单元 圆的标准方程、圆的一般方程单元卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第六单元 圆的标准方程、圆的一般方程 1．圆的圆心和半径分别是（　　） A． B． C． D． 2．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（   ） A． B．3 C． D．2 3．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 6．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 8．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 二、多选题 9．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11．曲杆道闸是车库出入口对出入车辆作“放行“或“阻拦”管制的工具．如图1所示，某曲杆道闸由转动杆OP与横杆PQ组成，P，Q为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ始终保持水平．如图2所示，以点O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系．若点O距水平地面的高度为1米，转动杆OP的长度为1.6米，横杆PQ的长度为2米，OP绕点O在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角，则下列说法正确的是（    ）    A．点P的轨迹方程为 B．点Q的轨迹方程为 C．当时，横杆PQ距水平地面的高度为米 D．若OP绕点O从与水平方向所成角为的位置匀速转动到与水平方向所成角为的位置，则点Q运动轨迹的长度为米 三、填空题 12．已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 13．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 14．已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题-问答题 15．求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 16．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 17．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 18．已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点． (1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 圆的标准方程、圆的一般方程 一、单选题 1．圆的圆心和半径分别是（　　） A． B． C． D． 【详解】圆的标准方程为， 圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D. 2．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（   ） A． B．3 C． D．2 【详解】圆的圆心坐标为， 依题意，，所以.故选：A 3．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.故选：A. 4．若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】若方程表示一个圆，则，方程可化为， 所以，解得，且不等于0，所以或.故选：D 5．已知，，定义为，两点的“镜像距离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是（    ） A．或 B．2或 C．2或4 D．或4 【详解】由题意得，，有四种情形： ，，； ，，； ，，； ，，.故选：C. 6．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得．故选：C. 7．曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：  曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为．故选：B. 8．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【详解】设点，由，得， 即，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点．故选：B． 二、多选题 9．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，点在圆上，故A正确； 对于B，点在圆上，故B正确； 对于C，点都不在圆上，故C错误； 对于D，点都不在圆上，故D错误；故选：AB. 10．已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确；故选：BD 11．曲杆道闸是车库出入口对出入车辆作“放行“或“阻拦”管制的工具．如图1所示，某曲杆道闸由转动杆OP与横杆PQ组成，P，Q为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ始终保持水平．如图2所示，以点O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系．若点O距水平地面的高度为1米，转动杆OP的长度为1.6米，横杆PQ的长度为2米，OP绕点O在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角，则下列说法正确的是（    ）    A．点P的轨迹方程为 B．点Q的轨迹方程为 C．当时，横杆PQ距水平地面的高度为米 D．若OP绕点O从与水平方向所成角为的位置匀速转动到与水平方向所成角为的位置，则点Q运动轨迹的长度为米 【详解】对A：点P的轨迹显然是以O为原点，OP为半径的一段圆弧，故点P的轨迹方程为．故A错误； 对B：设，，因为PQ平行于x轴，所以，所以， 又因为P在轨迹上， 所以， 所以点Q的轨迹方程为．故B正确； 对C：当时，OP垂直于水平面，横杆PQ达到最高点，此时横杆PQ距水平地面的高度为（米）．故C正确； 对D：因为OP绕点O从与水平方向所成角为的位置匀速转动到与水平方向所成角为的位置， 所以Q绕点转动的角度与点P绕点转动的角度一样，为，所以点Q运动轨迹的长度为（米）．故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【详解】设连线的中点为，则， 则，即.故答案为： 13．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为 ． 【详解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为． 14．已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 【详解】由解得所以．设半径为，则， 则圆的标准方程为．，即， 又，所以，故点在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得，即实数的取值范围是． 四、解答题-问答题 15．求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 【详解】（1）设圆的方程为，由题意得：，解得：，所以圆的方程为； （2）联立与，解得：，所以交点为，则圆的半径为，所以圆的方程为. 16．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：,故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 17．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【详解】（1）的圆心为，半径为2，因为圆与圆关于原点对称，所以圆的圆心为，半径为2，所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为，最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 18．已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为恰好平分圆的圆周，所以经过圆心， 设点关于直线的对称点为， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 即解得所以． 直线CN即为直线，且， 所以直线的方程为，即． （2）由点在直线上，可设， 则， 所以当时，取得最小值20． （3）假设存在定点，对任意的都有， 即， 化简得． 又满足，即， 即， 所以解得 所以在平面上存在点，使得. 19．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点． (1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程． 【详解】（1）因为点A的坐标满足，则，解得或（舍），故， 设的外接圆的方程为，则，解得， 故的外接圆的方程为，又是锐角三角形， 所以的最小覆盖圆的方程为； （2）因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为，又， 故点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为； （3）因为平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上的一点， 则， 当，即时，取得最大值， 故平面图形W的最小覆盖圆的方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $