第二章有理数的运算复习讲义2025-2026学年人教版七年级数学上册

有理数的运算复习讲义2025-2026学年 人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点二：运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点三：科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数加减及其混合运算 【典型例题】 例1.计算： (1)(2) (3)(4) 【巩固训练】 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“”可以看成________这4个数的和． 3．计算：___________． 4.某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，下午又下降了，晚上又下降了，则晚上的温度为________． 5．计算题： (1)(2) (3)(4) 类型二：有理数的乘除及其混合运算 【典型例题】 例2.计算： (1)；(2)． 【巩固训练】 1．下列运算中，结果小于0的是（    ） A． B． C． D． 2．_____． 3．计算：__________ 4．计算的结果是_____． 5．计算：__________． 6．计算： (1)(2) (3)(4) 类型三：有理数的乘方及其混合运算 【典型例题】 例3．计算： (1)；(2)． (3)；(4)． 【巩固训练】 1.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.计算：（﹣36）×（）+16÷（﹣2）3． 4.计算： 5.计算：． 6.计算： (1)(2) 类型四：科学记数法 【典型例题】 例4.我国自主研发的“北斗系统”在卫星导航、通信、遥感等多项核心技术方面取得了突破，已经在国民经济和国防建设等多个领域得到了广泛的应用．2023年2月，北斗终端数量在交通运输营运车辆领域超过8000000台．将8000000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.国家统计局网站公布我国2022年年末总人口约141175万人．141175万人用科学记数法可以表示为______人． 2.今年“五一”小长假期间，丹江口市的“水都花月夜”民俗文化街与灯光秀吸引了全国各地的游客万人前来观光旅游，“万”用科学记数法表示为_________人． 3.国家统计局网站显示，今年3月份，全国社会消费品零售总额为37855亿元，同比增长，37855亿用科学记数法表示为，则___________． 类型五：定义新运算 【典型例题】 例5．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【巩固训练】 1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 2．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 3．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 类型六：有理数的实际应用 【典型例题】 例6.在东西走向的绿道上有一个岗亭，小明从岗亭出发以的速度沿绿道巡逻．规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录（单位：km）如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）第四次巡逻结束时，小明在岗亭的哪一边？距离多远？ （2）小明巡逻共用时多少小时？ 【巩固训练】 1.某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 3 0 4 1 （1）第2棒火炬手的实际里程为__________米，第6棒火炬手的实际里程为_________米； （2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程． 2.某一出租车一天以家为出发地在东西方向上营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位km)，依先后次序记录如下：＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋12 (1)将最后一个乘客送到目的地时，出租车离家出发点多远？在家的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是多少？ (3)若出租车每千米耗油0.12升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么出租车司机收工回家是盈是亏？ 【综合训练】 1．比大4的数是（    ） A． B． C．3 D．5 2.“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节的1400000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 3.下列有理数计算正确的是（ ） A B. C. D. 4.当A地高于海平面152米时，记作“海拔+152米”，那么B地低于海平面23米时，记作（　　） A．海拔23米 B．海拔﹣23米 C．海拔175米 D．海拔129米 5．不改变原式的值，把式子写成省略括号和加号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 6.计算﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]＝_____． 7．对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 8.计算： (1)；(2)． 9．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 10.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） +5 ﹣2 ﹣2 +13 ﹣10 +6 ﹣9 （1）根据记录可知，前三天共生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务的，超出部分，每辆奖15元，少于部分每辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】 有理数的运算复习讲义2025-2026学年 人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点二：运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点三：科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数加减及其混合运算 【典型例题】 例1.计算： (1)(2) (3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ， （2） ； （3） ， （4） ． 【巩固训练】 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“”可以看成________这4个数的和． 【答案】 3．计算：___________． 【答案】 4.某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，下午又下降了，晚上又下降了，则晚上的温度为________． 【答案】 5．计算题： (1)(2) (3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， =， =； （4）解：， =， =． 类型二：有理数的乘除及其混合运算 【典型例题】 例2.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2） 【巩固训练】 1．下列运算中，结果小于0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．_____． 【答案】 3．计算：__________ 【答案】 4．计算的结果是_____． 【答案】9 5．计算：__________． 【答案】 6．计算： (1)(2) (3)(4) 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 类型三：有理数的乘方及其混合运算 【典型例题】 例3．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【巩固训练】 1.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 2.下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 3.计算：（﹣36）×（）+16÷（﹣2）3． 【答案】4 【详解】解：原式＝（﹣36）×﹣（﹣36）×+16÷（﹣8） ＝﹣12+18﹣2 ＝6﹣2 ＝4． 4.计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 5.计算：． 【答案】 【详解】解： 6.计算： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型四：科学记数法 【典型例题】 例4.我国自主研发的“北斗系统”在卫星导航、通信、遥感等多项核心技术方面取得了突破，已经在国民经济和国防建设等多个领域得到了广泛的应用．2023年2月，北斗终端数量在交通运输营运车辆领域超过8000000台．将8000000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【巩固训练】 1.国家统计局网站公布我国2022年年末总人口约141175万人．141175万人用科学记数法可以表示为______人． 【答案】 2.今年“五一”小长假期间，丹江口市的“水都花月夜”民俗文化街与灯光秀吸引了全国各地的游客万人前来观光旅游，“万”用科学记数法表示为_________人． 【答案】 3.国家统计局网站显示，今年3月份，全国社会消费品零售总额为37855亿元，同比增长，37855亿用科学记数法表示为，则___________． 【答案】12 类型五：定义新运算 【典型例题】 例5．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 【巩固训练】 1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 【答案】D 2．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 3．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49；(2)109． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 类型六：有理数的实际应用 【典型例题】 例6.在东西走向的绿道上有一个岗亭，小明从岗亭出发以的速度沿绿道巡逻．规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录（单位：km）如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）第四次巡逻结束时，小明在岗亭的哪一边？距离多远？ （2）小明巡逻共用时多少小时？ 【答案】（1）第四次巡逻结束时，小明在岗亭西边2千米处 （2）小明巡逻共用时2小时 【小问1详解】 解：， 即第四次巡逻结束时，小明在岗亭的西边2千米处； 【小问2详解】 解：， （小时），即小明巡逻共用时2小时． 【巩固训练】 1.某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 3 0 4 1 （1）第2棒火炬手的实际里程为__________米，第6棒火炬手的实际里程为_________米； （2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程． 【答案】（1），； （2）米 【小问1详解】 第2棒火炬手的实际里程为（米）， 第6棒火炬手的实际里程为（米） 故答案为：，； 【小问2详解】 第4棒火炬手的实际里程为61米， 第4棒火炬手的里程波动值为， 第10棒火矩手的里程波动值为 第10棒火炬手的实际里程为（米） 答：第10棒火炬手的实际里程米． 2.某一出租车一天以家为出发地在东西方向上营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位km)，依先后次序记录如下：＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋12 (1)将最后一个乘客送到目的地时，出租车离家出发点多远？在家的什么方向？ (2)若每千米的价格为2.4元，司机一下午的营业额是多少？ (3)若出租车每千米耗油0.12升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么出租车司机收工回家是盈是亏？ 【答案】（1）离家出发点2千米，出租车在家东边；（2）144元；（3）盈利 【精准解析】 解：（1）+9-3-5+4-8+6-3-6-4+12=2km． 故出租车离家出发点2千米，出租车在家东边； （2）（|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+12|）×2.4=144元， 故司机一个下午的营业额是144元； （3）（|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+12|）×0.12×6=43.2元， ∴144-43.2=100.8元， ∴司机收工回家是盈利． 【综合训练】 1．比大4的数是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 2.“全民行动，共同节约”，我国14亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节的1400000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 3.下列有理数计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 4.当A地高于海平面152米时，记作“海拔+152米”，那么B地低于海平面23米时，记作（　　） A．海拔23米 B．海拔﹣23米 C．海拔175米 D．海拔129米 【答案】B 5．不改变原式的值，把式子写成省略括号和加号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 6.计算﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]＝_____． 【答案】32 7．对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 8.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） （2） 9．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） +5 ﹣2 ﹣2 +13 ﹣10 +6 ﹣9 （1）根据记录可知，前三天共生产多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （3）该厂实行计件工资制，每辆车60元，超额完成任务的，超出部分，每辆奖15元，少于部分每辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】（1）601辆；（2）多生产23辆；（3）84075元 【精准解析】 解：（1）5+（-2）+（-2）=1， 200×3+1=601（辆）， ∴前三天共生产601辆； （2）13-（-10）=23（辆）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产23辆自行车； （3）5-2-2+13-10+6-9=1（辆），1400+1=1401（辆）， 60×1401+15×1=84075（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是84075元． 学科网（北京）股份有限公司 $