专题十二 二次函数综合探究-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

专题时日 二次函数综合探究(10年10考) 题型整体分析 二次函数综合探究题是江西中考近10年的必考题型，分值为9分或12分，常以压轴题的形式 出现，固定放在解答题的最后两道题中的一道.这类题考查的形式较多，常涉及规律探究类问题、新 定义类问题、函数图象变换类问题、动点动图有关探究问题及图形的变换（平移、旋转、对称）类问题 等.将方程（不等式）、函数、图形等融为一体进行考查，是数与形的完美结合. 经典名题例析 类型1抛物线型问题探究(2024T22,202222) 【解题策略】解决抛物线型问题应利用数形结合的思想，将实际物体或物体的运动轨迹类似看作 抛物线的一部分，再利用二次函数的图象与性质解决相关问题： 典例跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员 y/mt 起跳，点A 起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如右图中实线部分所示），落地 点在着陆坡（如右图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行 基准点人着陆坡 距离计分的参照点，落地点超过点K越远，飞行距离分越高.2022年北 x/m 京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m, 高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 之间的函数关系式为y=ax2十bx十c(a≠0). (1)c的值为 (②)D若运动员落地时恰好到达点K,且此时a=一品6=品求基准点K的高度A: 1 ②若a=一 时，运动员落地点要超过点K,则b的取值范围为 (3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过点 K,并说明理由. 【解题点拨】(1)根据起跳台的高度OA为66m,即可得c=66. （2)①由a-06-品得y-02十品十6，根器差准点K到起毙台的水早距离为75m, 即得基准点K的高度h为21m:②运动员落地点要超过点K,即当x=75时，y>21,故一0× 1 752十75b十66>21，即可解得答案. (3)运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,即抛物线的顶点为(25,76).设抛 2 物线的解析式为y=m(x一25)2+76，可得抛物线的解析式为y=一125x一25)+76.当x=75 时，y=36,从而可知他的落地点能超过点K, 江西题型突破 147 【我的解答】 类型2规律探究类(2016T23) 【解题策略】(1)解决与图象规律有关的二次函数问题应遵循从特殊到一般的数学思想，先探究抛 物线上的特殊点满足的规律，然后归纳一般情况：(2)与图象规律有关的二次函数问题一般与几 何图形的变化规律有关，解答时，要注意图形变化引起的线段长度的变化，并探究、归纳出其变化 规律，然后将线段长度的变化规律转化为点的坐标的变化规律，进而解答问题， 典例2如图D,已知P为抛物线y=(x>0)上的一个动点，以P为顶点，且经过原点O的抛 物线记作“y。”.设其与x轴的另一交点为A,点P的横坐标为m,连接OP,PA. (1)①当△OPA为直角三角形时，m= ②当△OPA为等边三角形时，求此时“yp”的解析式 (2)如图②，当点P的横坐标分别为1,2,3，…，n(n为正整 数)时，将抛物线“yp”分别记作“yr,”“yr,”…“yn.”.设其与工 轴的另一交点分别为A1,A2,A3,…,A。,过点P1,P2,P3,…, 图① P。分别作x轴的垂线，垂足分别为H1,H2,H3,…,H。 ①点P。的坐标为 ,OA.= :(用含n的代数式表示) ②当P.H.-OA.=48时，求n的值 (3)在(2)的条件下，是否存在这样的点A。,使得∠OP。A。=90°？若存在，求出n的值：若不存 在，请说明理由。 【解题点拨】(1)①过点P作PD⊥x轴，根据线段关系可得点P的横、纵坐标相等，据此列方程计 算即可：②根据△OPA为等边三角形，求出点P和点A的坐标，用待定系数法求解即可.(2)①将 点P。的横坐标代入y=2(x>0)即可求得点P的坐标，根据二次函数的对称性即可求得 OA。的长：②分别表示出P.H.与OA。的长，代入P.H.-OA.=48即可求出n的值.(3)先求 出点P。的坐标，然后根据相似三角形列出比例式即可求解. 148 2026江西数学 【我的解答】 类型3新定义类(2025122,202T22,2018T23) 【解题策略】与新定义有关的二次函数问题的特点是先给出新定义，再提出问题，培养考生接收、 加工和利用信息的能力.这类试题一般会给出新的数学概念，要求考生运用现有知识，通过类比、 引中、拓展解决问题，主要考查考生的阅读能力，知识迁移能力，创新能力和自主学习、主动探究 的能力.解此类題目的关键是理解新定义的内涵和外延，运用已掌握的知识和方法理解新定义， 做到现学现用。 典例3(2025江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应的函数值y。= m,那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y =x2中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一 个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究， 探究1 (1)对一次函数y=kx十b(k≠0)进行探究后，得出下列结论： ①y=x十2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y=-3x十2是“不动点函数”，且不动点是(2,0) ③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点 以上结论中，你认为正确的是 (填写正确结论的序号)。 (2)若一次函数y=kx十b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k,b应满足的条件， 探究2 (3)对二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线 y=x2一2bx十c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式 江西题型突破 149 探究3 (4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12一x)件，获得利润 y元.请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由：若该函数是 “不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义。 【解题点拨】(1)根据“不动点函数”的定义，代入点(m,m)计算即可判断. (2)根据“不动点函数”的定义，代入点(m,m),计算即可得解。 (3)先求得顶点坐标为(b,c一b2),根据“不动点函数”的定义，即可得到c=b2十b. (4)根据题意得，y=(x一6)(12-x)=一x2十18x-72,令x=-x2十18x一72，解方程即可求解 【我的解答】 类型4与几何动点有关类(2023T23) 【解题策略】这类题型是探究图形或函数在变化的过程中，符合三角形、四边形、圆等几何图形的 点的存在性问题，这个动点可能在一次函数、反比例函数、二次函数的图象上，也可能在某个特定 的几何图形上，还有可能是一个点在运动，也可能是两个，点同时运动，所以这类题目的解答要根 据运动本身的特点表示出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度 典例4如图①，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E为AB的中 点，点P沿折线E-A-D运动，以EP为边作正方形EPFG.设 点P运动的路程为x,在运动过程中正方形EPFG的面积为y 初步感知 Om n 图①D 图② (1)当点P在AE上运动时，若x=√，则y= ,y关于x的函数解析式为 (2)当点P在AD上运动时，经探究发现，y是关于x的二次函数，请求出y关于x的函数解 析式 延伸探究 (3)图②为点P在运动过程中y关于x的函数关系图象，请结合图象信息解决如下问题： ①当点P运动到FP的延长线过点C时，x= ,y= 若图象上点 M和点N的横坐标分别为n和m,根据点P的运动过程可知，当n一m=4时，点M的坐标为 150 2026江西数学 ②点P在AD上运动的过程中，是否存在点P的两个位置x1,x2(均为整数)，使得对应的y1,y2 满足y2=4y1?如果存在，请求出x1,x2的值：如果不存在，请说明理由. 【解题点拨】(1)根据正方形的面积公式得到函数关系式，代入自变量的值即可解题.(2)利用勾股 定理解题即可，(3)①利用△AEP∽△DPC得到能-C进而得到方程解题即可：②动点P在了 AD上运动时，2≤x≤8，利用整数解的条件分类讨论，利用方程解题即可. 【我的解答】 类型5函数图象变换类(2019T23,2017T22 【解题策略】解答与图形变换有关的二次函数问题，常从二次函数的解析式入手，由一条抛物线通 过变换（平移、旋转、轴对称、中心对称等）逐步过渡到两条抛物线.在动态过程中构建二次函数的 图象，注意观察相关二次函数图象（开口方向、图象与坐标轴的交点坐标、对称轴等）之间的不变 量与变量，进而探讨相关图形的位置状态及数量关系 典例⑤如图，抛物线y=ax2十bx十3(a≠0)与x轴交于点 A(-2,0),B(3,0),交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P在直线BC上方的抛物线上运动，过点P作PE⊥BC 各用图 于点E,PF⊥x轴于点F,PF交BC于点D.求EPE+2AF 的最大值，以及此时点P的坐标. (3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与y轴交于点C',点B的对应点 为B',M,N是第一象限内新抛物线上的点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一 半，∠MNB'=∠C'B'N.请直接写出点M的坐标. 江西题型突破 151 【解题点拨】1)把A(一2,0)，B(3,0)代入即可求解.(2)根据题意可得，△BOC是等腰直角三角 形，并求出直线BC的解析式为y=一x十3，可得△PED是等腰直角三角形，则PD=√瓦PE.设 PD,-2D2+Z+3)0<p<3),则D(p,-p+3).F(p.0.因此PD=-7p2+受pAF=p 十2，结合二次函数图象的性质即可求解.(3)根据抛物线的平移可得C‘(0,2),B'(4,0),N(1,3), 并求出直线B'C'的解析式.过点N作NM∥B'C',交抛物线于点M,运用待定系数法求出直线 MV的解析式，再联立新抛物线的解析式即可求解 【我的解答】 类型6与二次函数性质有关的探究问题(2023T23,202022) 【解题策略】(1)函数图象的交点往往是连接已知解析式与未知解析式的桥梁，还和方程的解、不 等式的解集有紧密联系，所以遇到图象相交问题时，要抓住交点来寻找思路；(2)当函数解析式中 某个系数不确定时，系数的变化会引起函数图象的变化，解答此类问题的关键是运用数形结合的 思想找出二次函数的系数与图象的对应关系 典例6(2025上饶模拟)综合与实践 如图，抛物线y=ax2十bx一3经过B(-1,0),D(-2,5)两点，与x轴另一交点为A. 152 2026江西数学 各用图 【基础尝试】(1)求抛物线的解析式和直线AD的解析式」 【深入探究】(2)若将函数y=ax2十bx-3变为y=|ax2+bx-3|,使得函数y=|ax2十bx-3| 的图象与直线y=m一直都有四个交点，请求出m的取值范围. 【拓展运用】(3)如果H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD与抛物 线于点Q,P,连接BQ.一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位长度的速度运动到点 Q,再沿线段QD以每秒√2个单位长度的速度运动到点D后停止.设点M的运动时间为ts,当点 Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最短？ 【解题点拨】(1)利用待定系数法求解即可，(2)由绝对值的性质可得函数y=|ax2+bz-3|的图 象，结合图象确定直线y=m的运动范围即可求解.(3)根据点M的运动时间与路程的关系列出 式子，由题意得∠DAB=45°，由垂线段最短得出长度的最小值，进而通过求直线交点即可得出 结果。 【我的解答】 江西题型突破 153④如图④所示，点M.N都在CD上时，t>3.5. C D M 图④ 若点M在点N的右边，则t<5,CM=21-7,MN=1 -2-(21-7)=5-1,此时BM=(21-7)2+2. BM=MN,(21-7)+22=(5-)2,无解： 若点M在点N的左边，则t>5,CN=1一2，MN=(21 -7)-(1-2)=1-5,此时BN*=(1-2)2+2. BN=MN,∴.(t-2)2+22=(t-5), 解得？-名（不符合题意，会去》. 综上所述，当运动时间为号：或(6-2厄)s或？时 5 △MBN为等腰三角形， 4o.0减（停）6+9) 【解析】由题意 可分两种情况讨论： ①当∠APB=90°时，即AP为⊙B的切线. a.如图①，当点P与原点O重合时，P(0,0): OP 0 B 图① 图2 b.如图②，当点P与原点O不重合时，过点P作PC ⊥x轴于点C. OA=53,OB=5,∠A0B=90°. ∴.AB=√OA+OB=10, io∠0BA-咒-子i∠OBA=0 :BP=0B=5,o∠AP-器-名∴∠AB即 =60°， ∴∠PBC=180-2X60=60,易得BC=号，PC= 9p停. ②如图③，过点P作PE⊥x轴于点E.当∠ABP= 90时，∠PBE=30.则PE=吾，BE=5P(5+ 9》 综上，点P的室标为00或停)或5+9》】 56+1 或2或号【解折玲y=a-D(x+名)=0 解得=1，=-2B(-二0)。 a a 点A款在点B的右边一子<1 当x=0时y=-2,∴C(0,一2). 如图①，当a>0时， AC=√OA+0C=√个+2=√5. 当AB=AC=5时， 1+2=5,解得a=5 2 .经检验， 4=5中是原分式方程的解且符合 2 题意： 当CB=CA=√5时，OB=OA=1,即B(-1.0), ∴-名=-1，解得a=2,经检验a=2是原分式方程的解 且符合题意： 当=BA时(1+名)广=(-)'+交 解得a=子经检验a=青是原分式方程的解且符合题意 3 如图②，当a<0时，此时 2∠1，则a y个 <-2, 此时AC>BC>2>AB,此时△ABC不 可能是等腰三角形，不符合题意. 综上所述a=5+1 2或a=2或a=了 2 专题十二二次函数综合探究 ○经典名题例析 典例 1.解：(1)66 a0a=-高b-0∴=-高+品+6 1 9 9 :基准点K到起跳台的水平距离为5m, =动×石+品x5+0=21 ·.基准点K的高度为21m 9 @b>10 (3)他的落地点能超过点K,理由如下： :运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度 76m, .抛物线的顶点为(25,76). 设抛物线的解析式为y=m(x一25)+76. 把(0,66)代入，得66=m(0-25)2+76, 解得m=一运 2 参考答案 49 2 ∴抛物线的解析式为)y=一25x一5+76. 2 当x=75时，y=一2万-25》+76=36， 36>21.∴他的落地点能超过点K. 【解析(2②：a=一0 1 y=一0r+证+6. :运动员落地点要超过点K, 当x=75时y>21, 即-动×5+7+心1， 9 解得b>0 2.解：(10①2 ②如图①，过点P作PD⊥x轴于点D. :△OPA为等边三角形，∠OPD= 30°，AD=0D. 1 ∴PD=50D.∴2m=5m. 解得m,=25,m,=0(不符合题意，合 D A 去) 图① ∴.P(25,6),A(45.0). 设“yr"的解析式为y=a(x一2尽)+6. 把A(45,0)代入，得0=a(45-25)2+6.解得a=- 1 yr=-2(x-25)+6. 0(a,7r）2n 1 ②P.H.-04,=48…2-2m=48, 解得n,=12,”2=一8（不符合题意，合去）， .n的值为12 (3)存在. 当m6时y=宁×=18。 ∴.P(6.18). 0 H。 ∴.OH.=6.P.H=18. 因② 如图②，在Rt△P,OH。中，OP.=√OH+P.=6√⑥， '∠POH。=∠A,OP。∠OHP.=∠OP.A.=90, ∴△P.OH.∽△A.OP., OH_0P.即 6=6而 0p.=an脚6而0A. ∴0A.=60.即21=60.解得n=30. 故存在这样的点A.,使得∠OP.A.=90,此时n的值 为30. 3.解：(1D③ (2)当k=1时，b=0:当k≠1且k≠0时，b为任意实数. (3)由二次函数y=x2一2m十c,可得顶点坐标为(b,c一 b2). 50 4己026江西数学 ,抛物线y=x一2hx十c的顶点为该函数图象上的一个不 动点， ∴.b=c-b3,即c=b2十b. (40根据题意，得y=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72, 即y=-x2+18x-72 令-x2+18x-72=x, 即x2-17x+72=0. 解得x1=8,x:=9, 该函数是“不动点函数” 不动点表达的实际意义为在这段时间内，当销售单价为8 元或9元时，销售总利润与销售单价相等 4.解：(1D3y=x2 (2)当点P在AD上运动时，即当2≤x≤8时， x=AE+AP=2+AP...AP=x-2. :四边形ABCD是矩形，∠A=90°， .EP2=AE2+AP=2+(x-2)2=x2-4x+8 y=x2-4x+8. 当2≤x≤8时y关于x的函数解析式为y=x2-4x +8. (3)①4或68或20(6,20》 ②存在. 由(2)知，当点P在AD上运动时，2≤x8 当=2时y1=2=4y2=16, 即x:-4x:十8=16，解得x=2+25(负值己合去). :x=2+23不是整数，∴这种情况不符合题意： 当x1=3时y=3-4×3+8=5,∴=20. 即x:一4x:十8=20，解得x:=6(负值己舍去)， x2=6: 当x1=4时y=4一4×4+8=8y=32, 即x-4:+8=32,解得x:=2+27(负值已名去). x=2十2W万不是整数，…这种情况不符合题意， 当x1=5时y=53-4X5+8=13,∴=52. 即x:-4x:+8=52,解得x:=2+4W5(负值已含去). :x:=2+45>8,且不是整数， 这种情况不符合题意. 同理可得，1≠6且x1≠7且x1≠8. 综上所述，当x,=3,x:=6时，满足y=4y. 【解析】(3)①如图，当点P运动到FP 的延长线过点C时，∠EPC=∠A=G ∠D=90,·.∠APE+∠AEP= ∠APE+∠DPC=9O°，∴.∠AEP= AE ∠DrC,.△AEPn△DPC,∴ AP 即号-号都得=4=6当=4时y= -4×4+8=8:当x=6时，y=6-4×6+8=20. 由图①可知，点N的横坐标为m=2. 又n-m=4,∴n=6, .点M的坐标为(6,20). 5.解：(1D把A(一2,0)，B(3,0)代入y=ax2+hx+3(a≠0)， 得如-26+3=0. 解得 19a+3b+3=0. 2 1 六抛物线的解析式为y=一豆+乞x+3, (2)当x=0时y=3,即C(03). B(3,0).C(0,3),∠B0C=90°， ∴.OB=CC=3,即△BOC是等腰直角三角形 ∴.∠OBC=∠OCB=45 设直线BC的解析式为y=x十，(k≠0). .B(3.0).C0,3). :/3k+6,=0. k=一1. 解得 1b1=3, b1=3, ∴直线C的解析式为y=一x+3. :PE⊥BC,PF⊥x轴 ∴∠PED=∠BFD=90°， ∴.∠PDE=∠BDF=90°-45=45. ∴△PED是等腰直角三角形， ∴PD=EPE. 设P(D,-7P+号p+3)0<<3),则Dp,-p+3. F(p,0, 3 ÷PD=-2p+2D+3-(-p+3)=-2p+2p, AF=p+2. 1 1 1 2PE士ZAF=2p+2干2p+2)= 2p+1=-2-2+a ”-名<0，且0<<3，当B=2时EPE+号AF 有最大值，最大值为3， y=-号×2+7×2+3=2P2.2. (3)点M的坐标为(3,2) 【解析水3)：抛物线y=-72+2x+3=一(x- 》+要 ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物 线的解析式为y=一（一合-）广+空=-( 2x+2 令x=0,则y=2, 令y=0则-(-2》+5 =0 解得x1=-1,x:=4,∴.C'(0,2),B'(4,0). :N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的 距离等于点A(一2.0)到y轴的距离的一半， xv=2OA=1.且0<xN<4. 把=1代入y=--}广+得得y=3 .N(1,3) 设直线B'C'的解析式为y=mx十n(m≠0). 把B(4,0),C(0,2)代入，得 Am十n=0:解 1n=2, 1 得m=一2， n=2, 1 ·直线B℃'的解析式为y=一2x+2 新抛物线如图所示，过点N作NM∥ B'C',交抛物线于点M,则∠MNB =∠C'BN. 设直线MN的解析式为y=一2x+ f把N(1,3)代入，得-乞×1+f=3, 7 7 解得∫=2心直线MN的解析式为y=一2x+2 1 7 y=- 联立，得 1 3 =-+2x+2. 解得（不符合题意，合去）.=3. ly,=3 yz=2, .M(3,2). 6.解：(1)由抛物线y=ax2十bx一3经过B(-1.0), D(一2.5两点可待-26二3二=5解得a-1. b=-2, ∴抛物线的解析式为y=x2一2x一3. 令y=0,.x2-2x-3=0, 解得x1=3,x:=一1， ∴.A(3.0). 设直线AD的解析式为y=kx十n. 将A(3,0),D(-2,5)代入y=kx+n中， 得他0得 k=-1, n=3, :直线AD的解析式为y=一x十3. (2)由题意得，函数y=a.x2+bu-3变为y=|ax+ bx-31. 由(1)得，y=|x2-2x-3引. y=x-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线的顶点坐标为(1，一4). :函数y=|x2一2x一3引的图象是 由抛物线y=x-2x-3位于x 图① 轴下方的部分沿x轴翻折到x轴 上方，而x轴上方的部分保持不变得到，如图①所示， .翻折后原抛物线顶点的对应点坐标为(1,4). :要使函数y=|x2一2x一3|的图象与直线y=m一 直都有四个交点， .直线y=m应该在x轴和点(1,4)之间， 参考答案 51 ∴.m的取值范围为0<m<4. (3)如图@，过点D作DN⊥x 轴于点N,则DN=5,ON=2. AN=3+2=5. am∠DAB=器-g=, ∴.∠DAB=45. 过点D作DK∥x轴交直线PQ 于点G,则∠KDQ=∠DAB= ② 45°，DQ=√2QG. 由题意，得动点M运动的路径长为BQ十QD,运动时 间1-80+后D0. ∴，1=BQ+QG 由垂线段最短可知，BQ+QG的最小值为DK与x轴 之间的距离。 过点B作BE⊥DK于点E,则t小=BE,Q为BE与 直线AD的交点 :直线AD的解析式为y=一x+3,点B的横坐标为 -1, y=1+3=4,.Q(-1,4). 故当点Q的坐标是（一1,4）时，点M在整个运动过程 中用时最短， 专题十三几何图形综合探究 ○经典名题例析 典例 1.解：(1)45°√2 (2)根据题意，得△AEF∽△AOB, AFAE :∠EAF=∠OAB·AB-AO AFAB :∠FAB=∠EAO,AE=AO .△AFB∽△AEO 器浩 ∠0AB=45°，∠AOB=90°， 语- -0- (3影的值与。无关。 理由：如图，同理可证△AFBD C∽△AEO. 腮8 在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴.∠AB0=30° 点O在AB的垂直平分线上， ..AO=BO. .∠BAO=∠ABO=30° 过点O作OG⊥AB,垂足为G, 52 。。己026江西数学 .AB=2BG,cos∠ABO= =6=o30°= OB OA 2 漂= 院-治- 做能的值与。无关。 (0同理可证∠BA0=号，8E-祭=2m号 ∴.BF=OE·2co 号BA=0B·2os号 .BE=OE+OB. :BF+BA=0E·2os号+0B·2o =2(0E+ 2 0B)cos号=2BE·cos号 即BF+BA=2BE·Cos 3 2.解：(1)：△ABC是“比例三角形”，且AB=2,BC=4, 分下列三种情况讨论： ①当AB2=BC·AC时，4=4AC,解得AC=1. .AC+AB<BC. ∴AC=1不符合题意，舍去： ②当BC=AB·AC时，16=2AC,解得AC=8. .BC+AB<AC. AC=8不符合题意，合去： ③当AC=AB·BC时，AC=8,解得AC=2V2(负 值已舍去). .AC+AB>BC. ∴.AC=2√2符合题意. 综上所述，AC=22. (2)①证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,.∠ADP=∠DPQ. 又：∠APD=∠DQP,.△APD∽△DQP @证明：曲⑩知△APD△DQP,:品-品 即PD2=PQ·AD. :AD∥BC.∴.∠AQP=∠DAQ. :AQ平分∠PAD,∠PAQ=∠DAQ, .∠AQP=∠PAQ,∴.PA=PQ. ∴.PD=PA·AD, ∴.△APD是“比例三角形” (3)能. 当点C与点Q重合时，∠APD=∠PQD=∠B=90°， ∴.∠APB+∠CPD=9O. :∠APB+∠BAP=90°，.∠CPD=∠BAP, △BAPACPD品=提 AB=1.AP=PC=4.:PD=APPC=d'. AB 在Rt△PCD中，PD=PC+CD,