第四单元 技巧专题三 与角平分线有关的辅助线的作法-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

(AM=AP. 在△MAN和△PAN中，{∠MAN=∠PAN, AN=AN. .△MAN2△PAN(SAS),∴.MN=PN. ∠B=∠ACB=45°， ∴.∠NCP=∠ACB+∠ACP=90°. BM=CP=1.CN=3. 在Rt△NCP中，PN=√CN+CP=√o, :.MN=10. 技巧专题三与角平分线有关的辅助线的作法 1.522 3.证明：如图，过点D分别作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC,交AC的延长线 于点F, :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF A ⊥AC. .DE=DF,∠DEB=∠DFC=90° :∠B+∠ACD=180°∠ACD+∠DCF=180°， ∴.∠B=∠DCF. (∠B=∠DCF, 在△BDE和△CDF中，〈∠DEB=∠DFC, DE=DF. .△BDE≌△CDF(AAS),.CD=BD. 4.解：如图，过点D作DG⊥AB于点G :BD平分∠ABE,DF⊥CE,DG ⊥AB, ∴.∠DBF=∠DBG,DF=DG. 在△DBF和△DBG中， (∠DBF=∠DBG, ∠DFB=∠DGB=90°， DF=DG. ∴.△DBF2△DBG(AAS),∴.BF=BG. (CD=AD. 在Rt△DFC和Rt△DGA中， DF=DG. .Rt△DFC2Rt△DGA(HL), ∴.CF=AG,∴.BC+BF=AB-BG 即6+BF=8-BF,解得BF=1. 5.证明：如图，延长AC至点E,使AE=AB,连接DE. ∠1=∠2，AD=AD, .△ABD2△AED(SAS), ∠B=∠E. ∠ACB=2∠B, .∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E, ∴∠CDE=∠E,∴.CD=CE, .AB=AE=AC+CE=AC+CD. 6.解法一（截长法）：如图①，在AD上A 截取AE=AB,连接CE AC平分∠BAD, .∠BAC=∠EAC 18 4己026江西数学 .AB=AE.AC=AC. △BAC2△EAC(SAS), ∴∠B=∠AEC,BC=EC 1 ·∠D=Z∠ABC, ∠D=Z∠AEC. :∠D+∠ECD=∠AEC. ∴.∠D=∠ECD, ..CE=DE. ∴.BC=DE, ..AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6. 解法二（补短法）：如图②，延长ABA 至点F,使得AF=AD,连接CF :AC平分∠BAD. ∴∠FAC=∠DAC. 又：AF=AD,AC=AC, ∴.△AFC2△ADC(SAS). ∴∠F=∠D ZD=2∠ABC ÷∠F=Z∠ABC, :∠ABC=∠F+∠BCF, ∴∠F=∠BCF, ∴.BF=BC=2, ..AD=AF=AB+BF=4+2=6 7.2 8.证明：CB⊥AB,CE⊥AE,CE=CB, .AC平分∠EAB,∴∠DAC=∠CAB. AB∥CD,.∠DCA=∠CAB. .∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD. 9.解：：DE是△ABC的中位线，BC=10, DE/BC,DE=号BC=5. EF=2, .DF=3. :BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠FBC. :DE∥BC, ∴.∠DFB=∠FBC=∠ABF, ..BD=FD=3. ∴.AB=2DB=6. 10.证明：如图，延长AD,BE交于点F. :AD∥BC,BE平分∠ABC, ∠AFB=∠FBC=∠ABF, ..AB=AF. :AE平分∠BAD,∴BE=EF :∠DEF=∠CEB, △DEF2△CEB(ASA), DE=CE,∴E是线段CD的中点. 11.B 12.∠ABE=∠DBE+∠C【解析】如A 图，延长BE交AC于点F :AD平分∠BAC,且AD⊥BF, ∴AB=AF,∴∠ABE=∠AFE. :∠AFE=∠DBE+∠C. ∴.∠ABE=∠DBE+∠C. 13.解：如图，延长BD交AC于点E :AD平分∠BAE,AD⊥BD, ·∠BAD=∠EAD,∠ADB aD... =∠ADE. 在△ABD和△AED中， I∠BAD=∠EAD, AD=AD. ∠BDA=∠EDA, ∴△ABD≌△AED(ASA). .BD=ED. ∴.SaAm=S△be,S△=S ACDE· .S△Am+S△e=S△De+S△cpe=S△ae' 1 六S6ue=256m=zX12=6,. 14.证明：如图，延长BA,CE交于点F ∠BAC=90, .∠CAF=90°，∠ABD+∠ADB =90°. :CE⊥BD,∴∠CEB=90°， ∴.∠EDC+∠DCE=90 '∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD=∠DCE. ∠BAD=∠CAF, 在△ABD和△ACF中，AB=AC, ∠ABD=∠ACF, ∴.△ABD2△ACF(ASA),∴.BD=CF. :BE平分∠ABC,且BE⊥CE, ∴.EF=CE,∴.CF=2CE,即BD=2CE 技巧专题四与中点有关的辅助线的作法 1号 【解析】如图，取AC的中点 H,连接DH,则DH∥BC,且DH =7C=子由等膜三角形的性 质，得CD⊥AB,BD=号AB=3,六CD= √BC-BD=4.:∠E+∠CDE=∠BCD,∠E= 2∠BCD,∠CDE=∠E,∴.CD=CE=4.DH∥ c-器-器 2 DF DE=DF+EF. 2.证明：连接MP,NP,如图. :P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM是△BDC的中位线， PM/IC,PM-BC. ∴∠PMN=∠F. 同理可得PNAD,PN=AD, ∴∠PNM=∠AEN. AD=BC.∴.PM=PN, ∴∠PMN=∠PNM,∴∠AEN=∠F 3.12 4.解：如图，连接PE PD=PA,∴.∠PDA=∠A. :EF垂直平分BD, ∴.ED=EB,∴.∠EDB=∠B. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.∠A+∠B=90°， ∠PDA+∠EDB=90°， ∴∠PDE=180°-（∠PDA+∠EDB)=90°. .AC=6.BC=8.PA=2. ..CP=AC-PA=4.PD=PA=2. 设DE=BE=x,则CE=8一x. 在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE=4+(8一x)产： 在Rt△PDE中，根据勾般定理，得PE=2十x2, ∴42+(8-x)2=22+x2, 解得x=只∴DE=号 5.5/ 2 【解析】如图，连接BM,DM.在 Rt△ABC和Rt△ADC中，M是AC的 中点， ∴AM=MC=BM=DM=ZAC=5, ∴∠BAM=∠ABM,∠DAM=∠ADM, ∴.∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,∠DMC= ∠DAM+∠ADM=2∠DAM, ∴.∠BMD=∠BAMC+∠DMC=2∠BAM+2∠DAM =2∠BAD=90°， ∴△BMD为等腰直角三角形，∴BD=√2BM=5√E. :N是BD的中点， MN-T BD- 2 6.√石-3【解析】如图，连接CM,CN.当 C,M,N三点在同一条直线上时，MN有 最小值.在Rt△ABC中，AB= √AC+BC=2√T.由直角三角形斜边c 上中线的性质，得CM=7DE=3,CN=AB =④， ∴.MN的最小值为CN-CM=√T-3. 参考答案 19技巧专题三 与角平分 方法1 点在平分线.可作垂两边 如右图，若OP是∠AOB的 平分线，PE⊥OA,可过点P 作PF⊥OB,则可用结论有O ①PF=PE;②△OPF≌△OPE:③OF= OE. 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC =6,D为AC上一点.若BD是∠ABC的平 分线，则AD= 第1题图 第2题图 2.如图，AD是△ABC的角平分线，BE是 △ABD边AD上的中线.若△ABC的面积 是5，AB=5,AC=3,则△ABE的面积是 3.如右图，在四边形ABDC中， AD平分∠BAC,∠ABD+ ∠ACD=180°，∠ABD<90°.求 证：CD=BD 62 2026江西数学 线有关的辅助线的作法 4.如右图，BD是△ABC的外角 ∠ABE的平分线，且AD=CD, DF⊥CE于点F,若AB=8,BC E FE =6,求BF的长。 方法2角边相等，可造全等 如右图，若OP为∠AOB的 平分线，可分别在OB,OA上 取OF,OE,使OF=OE,则6 可用结论有①△OPF≌△OPE:②PF= PE;③∠OEP=∠OFP;④∠OPE= ∠OPF 5.如右图，在△ABC中，∠C= 2∠B,∠1=∠2.求证：AB= AC+CD. 6.一题多解法如图，在四边形ABCD中，AC平 分∠BAD,∠D=2∠ABC,AB=4,BC=2. 求AD的长. 解法一（截长法）： 解法二（补短法）： 各用图 方法3平分加平行，可得等腰形 如右图，若OP是∠AOB的平 分线，可过点P作PE∥OB, PF∥OA,分别交OA,OB于O 点E,F,则可用结论有①△OEP是等腰三 角形：②△OFP是等腰三角形 7.如图，在△ABC中，AB=3,BC=6,BD平分 CD ∠ABC,则D的值为 第7题图 8.如右图，已知在四边形AB- CD中，AB∥CD,CB⊥AB D 于点B,CE⊥AD交AD的 延长线于点E,且CE= CB.求证：AD=CD 9.如下图，DE为△ABC的中位线，∠ABC的 平分线交DE于点F,若EF=2,BC=10,求 AB的长. 中考考点整合 63 10.如右图，在四边形ABCD中，AD ∥BC,E是边CD上一点，且AE 平分∠BAD,BE平分∠ABC.求 证：E是线段CD的中点。 方法4平分加垂线，补得等腰现 如右图，若OP是∠AOB的 平分线，EP⊥OP,可延长EP 交OB于，点F,则可用结论有 ①△EOF是等腰三角形；②PE=PF 11.如图所示，M是△ABC的边BC的中点， AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,连接 MN.若AB=8,MN=2,则AC的长是 ( A.10 B.12 C.14 D.16 B D C 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，BE⊥AD于点E,则∠ABE,∠DBE, ∠C之间的数量关系是 64 2026江西数学 3.如右图，已知△ABC的面积 为12，AD平分∠BAC,且 AD⊥BD于点D.求△ADC 的面积. 14.如右图，在等腰直角三角形 ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,BD平分∠ABC,CE⊥B BD交BD的延长线于点E.求证：BD =2CE.