第三章 整式及其加减 3 探索与表达规律☆问题解决策略：归纳-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

3探索与 要点提示 1.探索规律的关能：注意观察已知的对应数值或图形的变 2.探索规律的方法：从实陈问题出发，观察各个数量的特 寻表示规律」 O1因基础 。,。。。。44 知识点1与数字有关的规律探索 1.如图所示的每个大正方形中的四个数都是 按相同规律填写的.根据此规律确定x的值 为 ( ) 1426 38 410 a20 29320435 554 b x 第1个第2个第3个第4个 第a个 第1题图 A.135 B.170 C.209 D.252 2.将正奇数按下表排成5列： 第1列第2列 第3列 第4列第5列 第1行 1 3 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 27 25 若2025在第m行第n列，则m十n的值是 ( ) A.257 B.258 C.508 D.509 3.(2024一2025南阳新野期中)一根长为2025cm 的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去 利下的}第3次戴去剩下的}，如此下去， 直到第2024次截去剩下的2025，则最后剩 下的塑料管长为 cm. 知识点2与图形有关的规律探索 4.(2024重庆B卷)用菱形按如图所示的规律 拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第 ②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8 数学七年级B$版 表达规律 化，从中发现数量关系或图形的变化规律， 点及相互之何的麦化规律，通过观察由此及彼，并用字 个菱形，第④个图案中有11个菱形，… 按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是 3 4 第4题图 A.20 B.21 C.23 D.26 5.如图所示的是一组有规律的图案，它由若干 个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4 个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案 中有10个白色圆片，….依此规律，第n 个图案中有 个白色圆片 (用含n的代数式表示) 888888888 第1个 第2个 第3个 第5题图 知识点3借助运算解释规律和现象 6.有一个数字游戏： 第一步：取一个自然数x1=5,计算x十1 得y1;第二步：算出y1各数位上的数字之和 x2,再计算x子十1得y2;第三步：算出y2各 数位上的数字之和x,再计算x十1得 y:;….依此类推，yo的值为 () A.5 B.26 C.65 D.122 7.通过观察下面每个图形中5个实数的关系， 得出第4个图形中y的值是 ①② ©①0④ ⑥⊙ 12 20 -13 ③@ ⑧④⊙③ ③⊙ 第7题图 ……号O2提能力乡 8.数学活动课上，李老师给出下列一组数据： 2,一4,8，一16，….经过观察发现，这组数据 是按某种规律进行排列的，你认为第n个数 是 () A.2 B.-2 C.(-1)×2 D.(-1)"+1×2 9.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律 摆放，其中第1个图形有6个小圆，第2个 图形有10个小圆，第3个图形有16个小 圆，第4个图形有24个小园，…，依此规 律，第20个图形中小圆的个数是 。00。 88888 第1个园形药2个园形第3个国形第4个图形 第9题图 10.仔细观察下列等式： 第1个：22-1=1×3 第2个：31=2×4： 第3个：42-1-3×5： 第4个：52-1=4×6： 第5个：62-1=5X7:… 这些等式反映出自然数间的某种运算规 律.设n(n≥1)表示自然数，则第n个等式 可表示为 11.(教材变式)下图所示的是一组由边长相同 的小正方形组成的图案，其中将部分小正 方形涂色。 1个 第2个 第3个 图案标号 第1个第2个第3个第4个 涂色小正方 5 a 13 形的个数 (1)a= ,b= (2)按照这种规律继续下去，第个图案中 涂色小正方形的个数为 (用 含n的代数式来表示). (3)按照这种规律继续下去，用(2)中的代 数式求第2025个图案中涂色小正方形的 个数 ……… O3拓思维 ,，。。。 12.将连续偶数2,4,6，…排成如下图形，用十 字框框出5个数. 24681012 [41618202224 262830323436 384042444648 505254565860 (1)①十字框框出的5个数分别与框中间 的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32 有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5 个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a,用代数式表示十字框 框出的5个数的和. 上册第三章 ☆问题解决策略：归纳 要点提示 在运用归纳策路寻找规律时，要先在若千德草情形中寻找相应的规律.初步发现就律后，可以通过更多的情形 验证，再考虑一般情况，最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简浩地表达规律， O1因基础乡 02提能力念…… 知识点问题解决策略：归纳 4.“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下 1.观察下列各算式：2=2,22=4,2=8,2= 面的图形和算式： 16,25=32,2=64,27=128,28=256,….根 1=1-12; 9章效燕※南 T点效※※克 据上述算式的规律，22s的末位数字是 1+3=4=22; 5燕源※登南… 3※常微※茶 1+3十5=9=32： 1网语原茶嫩 1+3十5+7=16=42： 第4延图 A.2 B.4 C.6 D.8 1+3+5+7+9=25=52: 2.观察等式：2十22=23-2,2+22+2=24 … 2,2+22十23十24=25一2，….按此规律，2十 请用上面得到的规律计算：21+23十25十27 22十23+…十2*= (用含n +…+101= （) 的代数式表示).请根据以上规律计算：210 A.2601B.2501C.2400D.2419 十2101+2108十…+210 5观察下需的变形规律：21多文 3.如右图，有一个形如六边 11111 23’3×43-4…, 形的点阵，它的中心是1 根据上面的规律，解答下面的问题： 个点，为第1层，第2层每 1 边有2个点，第3层每边有3个点，…，依 (1) n(n+1)9 次类推。 1 1 (2)计算：X2+2x3+3X4+…十 (1)填写下表： 1 层数 2 3 2024X2025 该层的总点数 ()计第：品+十8+…十 、1 所有层的总点数 1 (2)第n(n≥2且n为整数)层的总点数 2022×2024 为 (3)有没有一层的总点数为100？请说明 理由 叔学七年级B$版(3)因为关于x的整式为二项式，所以有两种情况： ①1k|一3=0且k-3≠0，解得k=一3：②k=0. 综上所述，k的值是一3或0， 10.D11.D12.B13.214.0 15.解：由题意，分以下两种情况讨论： 0当m=0时，多项武m十任-是=红-是，次数 是2， 所以n=2,则3m一4=3×2一4=2： ②当m0时，多项式十红-的次数是， 所以n=4,则3n一4=3X4一4=8. 综上，式子3n一4的值为2或8. 16.解：(1)这组单项式的系数依次为一1,3，一5,7，…， (一1)”(2m一1)，它们的绝对值是从1开始的连续奇数，即 第n个系数的绝对值是2m一1(n为正整数)， (2)这组单项式的次数是从1开始的连续自然数， (3)第n个单项式是（一1）”(2m一1)x" 17.解：1)x8一2x十4. 2整式的加减 第1课时合并同类项 1.D2.A3.C4.D 5.解：根据题意，得m=0,n=一1. 原式=(2m2+2m2)十（一3mn十3mn)+(6n2+n2)=4m 十7x2 当m=0,程=一1时， 原式=4×02十7×（一1）2=7. 6.C7.-3(x-y)°8.1 9.解：1)由题意，得2a一1=1，解得a=1. (2)因为r'y一2x2y-1=0,且a=1,所以(m-2m)x2y=0. 因为x0,y≠0，所以m-2翻-0， 所以(m-2m-1)0s+■(0-1)脑+=(-1)2-1. 10.解：同意小明的观点.班由：因为7a°一6a°b+3ab十3a+ 6a6-3a2b-10a°+2024=(7a3十3a3-10a)+(-6a36 十6a3b)+(3a2b一3a26)十2024=2024，与a,b的值无关 所以小明的观点正确. 第2课时去括号 1.B2.C3.C4.4x2-4y2 5.解：原式=3xy-(6xy-6xy十2xy) =3xy-2x-y exy. 把x=-1,y=2025代人，得原式=(-1)2×2025=2025. 6.44y 7.解：1)<<> (2)因为b-c<0,a十b<0,c-a>0, 所以原式■c一b十（一4一b)一(c一a) =e-6-a一b-c十a m-2b. 8.解：(1)(3x+6x+8)-(6r十5x十2)=3x十6x+8-6x -5x2-2■-2x2+6. (2)设“口“是a,则原式=(ax3+6x十8)-(6x+5x2+2)= ax2+6x+8-6x-5x2-2=(a-5)x2+6. 因为标准答案是常数， 所以a一5=0，解得a=5, 即原题中的“☐”是5. 第3课时整式的加减 1.B2.B 3.解：(1)原式=6x十4y-(x+2y一x+y) 174 数学七年级BS版 =6x+4y-x-2y+x-y =6x十y. (2)原式=-a2+2ab-b2-2ab十4a2+362-3a6 =3a2-3ab+2b2. 4.B5.-16.A7.A 8.解：)②括号前是“一”，去括号时没有变号 (2)原式=15x2y十4xy2-4xy-12x2y =3xy. 当x=-2y=3时，原式-3×（一2）2×3=36 9.B10.-99a-1811.200-15x 12.解：(1)由题意可知，A一x2十2x一5=3x2一4x+7, 所以A=3x°-4x+7+x-2x+5=4x2-6x+12 (2)因为x是最大的负整数， 所以x=一1，所以A=4x一6x十12=4X(-1)2一6× (-1)+12=22. 13.解：(1)6ab十2a-14 (2)由题意，得ab=1, 所以原式=6十2a一14=0， 所以4=4，所以6=子 (3)6ab+2a-14=(66+2)a-14 因为无论字母4取何值，整式的值恒为一个常数，所以66 十2=0，解得b=-1 3 14.解：1)34-b (2)①(x-2)⊕4x=3(x-2)一4x=一x一6.当x=4时， (x一2)①4x=-4一6=-10. ②(m十n)⊕(-5m十7m)=3(m十1)一(-5m十7n)=3m 十3n十5m一7n=8m一4n=4(2m一n),当2m一n=一2时， (m+n)©(-5m+7n)=4X(一2)=-8. 3探索与表达规律 1.C2.B3.14.C5.(2m+2)6.D7.12 8.D9.2410.(n+1)2-1=8(m十2) 11.解：1)917 (2)4n+1 (3)第2025个图案中涂色小正方形的个数为4×2025+1= 8100-+1■8101 12.解：(1)①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小12， 下面的数比中间的数大12，左边的数比中何的数小2，右边 的数比中间的数大2. ②5个数的和为20+30+32+34+44=160,160=32×5， 则十字框框出的5个数的和恰好为中间的数的5倍. (2)这5个数还有这种规律」 (3)十字框框出的5个数的和为(a一12)十(a一2)十a十(a +2)+(a+12)=5a ☆问题解决策略：归纳 1.A2.2m*1-222-210 3.解：(1)填表如下： 层数 1 23 5 6 该层的总点数 1 612182430 所有层的总点数 1 71937 6191 (2)6(m-1) (3》没有.理由：由题意，得6(n一1)=100. 因为100不能被6整除，所以n不是整数，所以没有一层的 总点数为100， 4.B 5.解：1)1 1 十1 1 1 1 =1一2025 2024 2025 （3系式-×（文2++十十1002 11 1 4×8 =1011 4048 本章小结 1,C2.B3.实际每天完成的改造任务4.775.D6.B 7.D8.B9.C10.311,y2-xy十312.(4x十6) 13.解：原式=4x2一1十2y一3y十3-3x =(4:x2-3x2)十(2y-3y)+3-1 =x2-y十2 把x=一1，y■2代入，得 原式=(-1)2-2+2 =1. 14.解：(1)(200x+1200)(180x+1440)】 (2)当x=5时，方案一：200×5十1200=2200（元）： 方案二：180×5+1440=2340（元）. 因为2200<2340. 所以按方案一购买合算 15.B 16.解：(1)n十1 (2)长方形①的周长为2×(1十2)： 长方形②的周长为2×(2+3)： 长方形③的周长为2×(3十5)： 长方形④的周长为2×(5十8)： 444华果 长方形@的宽为前一个长方形的长，长方形⑧的长为前一 个长方形长与宽的和， 做长方形⑤的周长为2×(8十13)，长方形⑥的周长为2× (13+21)=68. 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 第1课时认识线段、射线、直线 1.C2.B3.D4.D5.两点确定一条直线 6.解：如图. 7.1或4或68.B9.C10.一211.6 12.解：(1)数轴在原点0左边部分（包括原点）是一条射线，表 示为射线OB. (2)射线OB上的点表示非正数： (3)数轴上表示不大于3且不小于一1的数的部分是一条线 段，表示为线段BA 13.解：(1)以点A为左端点的线段有线段AC线段AD、线段 AB:以点C为左端点的线段有线段CD,线段CB:以点D 为左端点的线段有线段DB.放图中共有3十2十1=6（条） 线段 (2)该条线段上共有之x(m一1)条不同的线段.说明如下： 设该条线段上共有x条不同的线段，则x=(n一1)+(n 2)+(m-3)++3+2+1, 所以倒序排列有x=1十2十3十…十(n一3)十(m一2)十(n -1), 所以2x=十n十w十…十方=元(n一1)， 所以x-2a-1. 故该条线段上共有之(m一1)条不同的线段。 (3)转化：把45名同学看作直线上的45个点，每两人之间 的1次握手看作1条线段，直线上45个点所构成的线段条 数就等于搔手的次数， 郁决问题：一共要握号×45×(45-1D=90(次)手。 第2课时比较线段的长短 1.C2.B3.C 4.解：如图，线段AB即为所求， …们节…b…方 04…a…A干 M 5.D6.10cm 7.解：(1)因为D是线段AB的中点， 1 所以BD=zAB=名×30=15. 因为AC:BC-3:2,所以BC-子AB-12, 所以CD=BD-BC=15-12=3. (2②)因为AC:BC=312,所以AC=AB. 因为E为AC的中点， 所以AE-AC-AB, 因为D为AB的中点，所以AD=2AB, 所以ED=AD-AE=号AB, 因为ED=4,所以AB=5ED=20. 8.C9.C 10.解：分以下两种情况讨论： ①如图①，当点C在线段AB上时， N M C B 图D 因为M,N分别是AB,AC的中点 所以MA-2AB-5G,NA-2AC-4cm, 所以MN=MA-NA=1cm: ②如图②，当点C在线段AB外时， c A M B 思② 同理可得MA=5cm,NA=4cm, 所以N=9m, 综上所述，线段N的长为1cm成9cm. 11.解：(1)①如图①，点C即为所求 ②如图①，点D即为所求。 A 因① (2)如图②，因为AB=8cm,BC=a=6cm,AD=b= 10cm,所以CD=AD+AB+BC=10+8+6=24(cm).因 为E为CD的中点，所以DE=CD=12em,所以AE= 上册参考答案 175