第四单元 技巧专题二 构造全等三角形的方法-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

技巧专题二构造全等三角形的方法 方法1 截长补短法 2.如右图，在△ABC中，BD平分 ∠ABC,∠C=2∠CDB.若 如下图，在△ABC中，∠ACB=2∠B, AB=12,CD=3,求△ABC的 ∠BAD=∠CAD 周长 (1)可在AB上裁取AE=AC,连接DE.可 用结论有①△ADE≌△ADC:②DE=DC =BE:③AB=AC+CD (2)可延长AC至点F,使AF=AB,连接 DF.可用结论有①△ADB≌△ADF:②CD =CF:③AB=AC+CD 1.如右图，AC∥BD,AE, 3.如下图，在等腰直角三角形ABC中，AB= BE分别平分∠CAB和 BC,CD平分∠ACB交AB于点D,BE⊥CD ∠DBA,CD经过点E. 于点F,交AC于点E.求证：CD=2DF 求证：CE=DE. 十BE. 中考考点整合 59 方法2 倍长中线法 如右图，在△ABC中，AD是 BC边上的中线 (1)可延长AD至点E,使ED= AD,连接BE,CE.可用结论有 ①△ABD≌△ECD:②△ADC≌△EDB. (2)可过，点C作CM⊥AD于点M,在DE上 裁取DN=DM,连接BN.可用结论有 ①△CDM≌△BDN:②BN⊥DE. 4.如右图，已知在△ABC中，AB= AC,点D在AB上，点E在AC的 方法3对角互补法 延长线上，连接DE交BC于点F, 如右图，在四边形ABCD中， 且DF=EF.求证：BD=CE. ∠BAD=∠C=90°，AB =AD. (1)可分别过点A作BC,CD 的垂线，垂足分别为F,G.可用结论有 ①∠B=∠ADG:②△ABF≌△ADG (2)可延长CD至点H,使DH=BE. 可用结论有△ABE≌△ADH 6.如右图，∠AOB=90°，OC平分A ∠AOB,以点C为顶点作∠DCE =90°，交OA于点D,交OB于o回 点E.求证：CD=CE. 5.如右图，在△ABC中，AB= AC,D为BC延长线上一点，且 DB=DA,BE⊥AD,垂足为 E,F为BE的中点.若∠BAC=∠DAF,求 证：2AF=AD. 60 2026江西数学 7.如右图，在四边形ABCD中，对 8.如右图，在五边形ABCDE 角线AC平分∠BAD,已知A 中，已知AB=AE,BC+DE ∠BAD=120°，∠ABC+ =CD,∠ABC+∠AED= ∠ADC=180°.猜想AB,AD,AC三条线段 180°，连接AD.求证：DA平分∠CDE. 的数量关系，并说明理由 9.如右图，在等腰直角三角形ABCB 中，∠BAC=90°，AB=AC,点M, N在边BC上，且∠MAN=45°.若 BM=1,CN=3,求MN的长. 方法4旋转法 如右图，在△ABC中，AB= AC,P是△ABC内一点，连接 AP,BP,CP. (1)可将△ACP旋转至△ABP'的位置，使 AC与AB重合，连接PP'.可用结论有 ①△ACP≌△ABP'②∠PAP'=∠BAC: ③△PAP'为等腰三角形. (2)可将△ABP旋转至△ACP”的位置，使 AB与AC重合，连接PP”.可用结论有 ①△ABP≌△ACP":②∠PAP"=∠BAC: ③△PAP"为等腰三角形. 中考考点整合 614.解：如图①，过点M作MH⊥ AB于点H,易得MN=3cm, D MA ∠CNM=∠AMH=30°，则CM -MN=Cm.CA -TAB 3 =4.3cm,∴.AM=2.8cm, DE-MH-FAM 5 cm 已题多解法 如图@，过点C作CQ⊥ AB于点Q,交MN于点 D MA P.由题意可知，MN=5-2 EA Q =3(cm).:GD∥EF, 图② ∠ACB=90°，∠ABC=30°，CQ⊥AB,∴.∠CNM =30°，∠BAC=60°，CP⊥MN,∴.∠ACQ=30°， CM=分MN=2cmPM=2CM=子cm, 3 G=6PM=39m同理cQ=4 20 -cm. ∴PQ=435-337 -(cm). 20 5 75 故直尺的宽DE为 cm. 第4讲全等三角形 ○江西真题体验 1.82 2.证明：：AC平分∠BAD,∠BAC=∠DAC (AB=AD. 在△ABC和△ADC中，不∠BAC=∠DAC, AC=AC. ∴.△ABC2△ADC(SAS). ⊙重点难点突破 典例 解：(1)证明：：△ABC是等腰三角形，∠BAC=90° ∴.∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC. △ADE是等腰直角三角形， ∴.AE=AD,∠EAD=∠BAC=90°， ∴.∠EAB=∠DAC (AB=AC. 在△EAB和△DAC中，3∠EAB=∠DAC, AE=AD. ∴.△EAB2△DAC(SAS). (2)证明：由(1)得△EAB2△DAC,△ADE是等腰直 角三角形， ∠E=∠ADC=∠ADE=45°.BE=CD, ∴∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°， ∴.BD+CD2=BC 又：在Rt△ABC中，BC=AB2+AC=2AB2, ..BD:+BE:=2AB*. (3)由(1)得△EAB2△DAC, 16 4己026江西数学 .∠E=∠ADC=45° 又：△ADE为等腰直角三角形， .∠ADE=45°， .∠BDC=∠ADE+∠ADC=90°. :∠BCD=15° .∠CBD=90°-15°=75° :∠ABC=45, .∠ABD=45°+75°=120°， ∴∠BAD=180°-120°-45=15 (4)证明：由(1)得△EAB2△DAC ∴BE=CD. .AE=BE.AE=AD. ..AD=CD. :∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+∠CBD,∠CFD =∠ADB+∠CBD=45°+∠CBD, ∴∠ABD=∠CFD. 在△ABD和△CFD中， (∠ABD=∠CFD. ∠ADB=∠CDF, AD=CD. .△ABD2△CFD(AAS), .AB=CF,..CF=AC. CG⊥AD. .G为AF的中点， ∴.AG=FG. 技巧专题二构造全等三角形的方法 1.证明：如图，在AB上截取AF=AC,连接EF :AE,BE分别平分∠CAB 和∠DBA, .∠CAE=∠FAE,∠EBF =∠EBD. :ACBD.∴.∠C+∠D=180° 在△ACE和△AFE中， (AC=AF. ∠CAE=∠FAE, AE=AE. .△ACE2△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE,CE=EF ∠AFE+∠EFB=180°，∠C+∠D=180°， .∠EFB=∠D (∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∠EBF=∠EBD, BE=BE. .△BEF≌△BED(AAS), ∴.EF=ED,∴.CE=DE. 2.解：如图，在AB上取一点E,使BE =BC. 'BD平分∠ABC, ∴∠DBE=∠DBC BD=BD,∴.△BDE2△BDC(SAS) ∴，∠CDB=∠EDB,∠C=∠BED=2∠CDB, .∠CDE=∠BED,.∠ADE=∠AED. ..AD=AE.:.AD+BC=AE+BE=AB. ∴.C△MC=AB+AD+BC+CD=AB+AB+CD=12 +12+3=27. 3.证明：如图，在CD上取一点G,使CG=BE,连接BG. BE⊥CD, ∴.∠CFB=90°，∠DCB+∠FBC =90°. :∠ABC=90°，∴.∠ABE+∠FBC =90°， .∠GCB=∠EBA. AB=BC,BE=CG,∴△ABE2△BCG(SAS), .∠A=∠CBG=45°，∠ABG=45 CD平分∠ACB,∴.∠BCG=22.5°， ∴.∠ABE=∠BCG=22.5°， .∠FBG=∠ABG-∠ABE=45°-22.5°=22.5， ∴∠FBG=∠ABE=22.5. :∠BFD=∠BFG=90°，BF=BF, ∴.△BFD2△BFG(ASA)..DF=GF, ..CD=DF+FG+CG=2DF+BE. 4.证明：如图，延长BC至点G,使FG=FB,连接EG 在△BDF和△GEF中， (FB=FG. ∠BFD=∠GFE, DF=EF. .△BDF2△GEF(SAS) ∴.BD=GE,∠B=∠G AB=AC,·∠B=∠ACB=∠ECG, ∠G=∠ECG,∴.CE=GE,∴.BD=CE 5.证明：如图，延长AF至点G,使FG=AF,连接BG :F为BE的中点 ∴BF=EF. 在△BFG和△EFA中， (BF=EF, ∠BFG=∠EFA. FG=FA. .△BFG2△EFA(SAS). ∴∠G=∠EAF,∴.AE∥BG .∠DAB+∠ABG=180. AB=AC,DB=DA,.∠ABD=∠ACB =∠DAB. ∴∠ACB+∠ABG=180° :∠ACB+∠ACD=180°，·∠ABG=∠ACD. '∠BAC=∠DAF, .∠BAC-∠FAC=∠DAF-∠FAC, 即∠BAG=∠CAD. {∠BAG=∠CAD, 在△BAG和△CAD中，AB=AC ∠ABG=∠ACD, .△BAG2△CAD(ASA). .AG=AD=2AF,∴.2AF=AD 6.证明：如图，过点C作CG⊥OA于点G, CH⊥OB于点H, ∴∠CGD=∠CHE=90°. :OC平分∠AOB, H EB ∴CG=CH. :∠AOB=90°.∠DCE=90 ∴.∠CDO+∠CE0=180. :∠CDG+∠CDO=180, ∴∠CDG=∠CEO. ∴.△CDG2△CEH(AAS), ∴.CD=CE 7.解：AD+AB=AC 理由：如图，过点C分别作CE⊥AD交 AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F, 则∠AEC=∠AFC=∠CFB=90. :AC平分∠BAD,∠BAD=120° .CF=CE,∠EAC=∠FAC=60° ∴∠ACE=∠ACF=30, AE=号ACAF=AC ∴.AE+AF=AC. '∠ABC+∠ADC=180°，∠EDC+∠ADC=180°， ∴.∠FBC=∠EDC. 又：∠CFB=∠CED=90°，CF=CE, ∴.△CFB≌△CED(AAS), :.FB=ED. ..AD+AB=AD+AF+FB=AD+AF+DE=AE +AF=AC. ∴.AD+AB=AC 8.证明：如图，连接AC,将△ABC绕点A逆时针旋转一 定角度得到△AEF. :AB=AE,∠ABC+∠AED =180°. ∴.∠AEF+∠AED=180°， ∴D,E,F三点共线，点C落在 点F处，且AF=AC,EF=BC, ..FD=DE+EF=DE+BC=CD. 在△ACD与△AFD中， (AC=AF. CD=FD. AD=AD. ∴.△ACD2△AFD(SSS), ∠ADC=∠ADF,即DA平分∠CDE 9.解：如图，将△ABM绕点A逆时针B 旋转90°，使AB与AC重合，点MM 落在点P处，连接PN. 由旋转，得AM=AP,∠B= ∠ACP,∠BAM=∠CAP. :∠BAC=90°，∠MAN=45° .∠BAM+∠NAC=90°-∠MAN=45°， ∴.∠PAN=∠NAC+∠CAP=45=∠MAN. 参考答案 17 (AM=AP. 在△MAN和△PAN中，{∠MAN=∠PAN, AN=AN. .△MAN2△PAN(SAS),∴.MN=PN. ∠B=∠ACB=45°， ∴.∠NCP=∠ACB+∠ACP=90°. BM=CP=1.CN=3. 在Rt△NCP中，PN=√CN+CP=√o, :.MN=10. 技巧专题三与角平分线有关的辅助线的作法 1.522 3.证明：如图，过点D分别作DE⊥AB 于点E,DF⊥AC,交AC的延长线 于点F, :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF A ⊥AC. .DE=DF,∠DEB=∠DFC=90° :∠B+∠ACD=180°∠ACD+∠DCF=180°， ∴.∠B=∠DCF. (∠B=∠DCF, 在△BDE和△CDF中，〈∠DEB=∠DFC, DE=DF. .△BDE≌△CDF(AAS),.CD=BD. 4.解：如图，过点D作DG⊥AB于点G :BD平分∠ABE,DF⊥CE,DG ⊥AB, ∴.∠DBF=∠DBG,DF=DG. 在△DBF和△DBG中， (∠DBF=∠DBG, ∠DFB=∠DGB=90°， DF=DG. ∴.△DBF2△DBG(AAS),∴.BF=BG. (CD=AD. 在Rt△DFC和Rt△DGA中， DF=DG. .Rt△DFC2Rt△DGA(HL), ∴.CF=AG,∴.BC+BF=AB-BG 即6+BF=8-BF,解得BF=1. 5.证明：如图，延长AC至点E,使AE=AB,连接DE. ∠1=∠2，AD=AD, .△ABD2△AED(SAS), ∠B=∠E. ∠ACB=2∠B, .∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E, ∴∠CDE=∠E,∴.CD=CE, .AB=AE=AC+CE=AC+CD. 6.解法一（截长法）：如图①，在AD上A 截取AE=AB,连接CE AC平分∠BAD, .∠BAC=∠EAC 18 4己026江西数学 .AB=AE.AC=AC. △BAC2△EAC(SAS), ∴∠B=∠AEC,BC=EC 1 ·∠D=Z∠ABC, ∠D=Z∠AEC. :∠D+∠ECD=∠AEC. ∴.∠D=∠ECD, ..CE=DE. ∴.BC=DE, ..AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6. 解法二（补短法）：如图②，延长ABA 至点F,使得AF=AD,连接CF :AC平分∠BAD. ∴∠FAC=∠DAC. 又：AF=AD,AC=AC, ∴.△AFC2△ADC(SAS). ∴∠F=∠D ZD=2∠ABC ÷∠F=Z∠ABC, :∠ABC=∠F+∠BCF, ∴∠F=∠BCF, ∴.BF=BC=2, ..AD=AF=AB+BF=4+2=6 7.2 8.证明：CB⊥AB,CE⊥AE,CE=CB, .AC平分∠EAB,∴∠DAC=∠CAB. AB∥CD,.∠DCA=∠CAB. .∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD. 9.解：：DE是△ABC的中位线，BC=10, DE/BC,DE=号BC=5. EF=2, .DF=3. :BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠FBC. :DE∥BC, ∴.∠DFB=∠FBC=∠ABF, ..BD=FD=3. ∴.AB=2DB=6. 10.证明：如图，延长AD,BE交于点F. :AD∥BC,BE平分∠ABC, ∠AFB=∠FBC=∠ABF, ..AB=AF. :AE平分∠BAD,∴BE=EF :∠DEF=∠CEB, △DEF2△CEB(ASA), DE=CE,∴E是线段CD的中点.