第四单元 第6讲 锐角三角函数及其应用-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

第6讲 锐角三角函数及其应用 中考考点讲解 如下图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)正弦：sinA= ∠A的对边-a 斜边 锐角三角函数的定义 (2)余弦：c0sA= ∠A的邻边=b 针边 c (3)正切：tanA= ∠A的对边_a ∠A的邻边b 锐角三角函数 a的度数 30° 45 60° sing 2 2 2 特殊角的三角函数值 cosa 2 2 tana 1 5 定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形. 依据：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有①边角关系：sinA 角三角 解直角三角形 -osA=名，nA=号：@三边关系a+=c,@三角关系：∠A+∠B=ZC 1 1 面积公式：S△u=2ab=2ch(a,b为直角边的长，c为斜边的长，h为斜边上的高】 数及其应 tanB=5 锐角三角函数间的关系：sinA=cosB=2,cosA=sinB=么，tanA=2,t b a 仰角和俯角：如图①，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视钱在水平 线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角， ,视线 不仰角 水平线 义俯角 视线 B 图① 图② 图③ 坡度（坡比）和坡角：如图②，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度！之比叫 h 解直角三角形的实际应用 做坡度或坡比，用字母i表示，即i=坡面与水平面 h 的夹角叫微坡角，记作a,所以i=气=ana。 方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋 转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表示为北（南）偏东 (西)多少度，方向角的角度值是0°~90°.如图③，点A,B,C关于点O 的方向角分别是北偏东30°，南偏东60°，北偏西45（也称西北方向）. 名师点拔精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精 确到哪一位.如2.1415926猜确到0.01是2.14，精确到0.1是2.1，精确到整 数位是2. 74 2026江西数学 江西真题体验 命题点1 解直角三角形(10年4考) (2)求雕塑的高（点E到直线BC的距离）. 1.(2022江西)图①是某长征主题公园的雕塑， 将其抽象成图②所示的示意图.已知AB∥CD FG,A,D,H,G四点在同一直线上，测得 ∠FEC=∠A=72.9°，AD=1.6m,EF=6.2m (结果保留小数点后一位，参考数据：si72.9°≈ 0.96,cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25). 命题点2 生活中解直角三角形的而用(10年 图① 图② 7考) (1)求证：四边形DEFG为平行四边形. 3.(2024江西，有改动)图①是世界第一“大 (2)求雕塑的高（点G到AB的距离）. 碗”一景德镇昌南里文化艺术中心主体建 筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗， 寓意“万瓷之母”，如图②，“大碗”的主视图由 “大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成， 已知AD∥EF,AM,DN是太阳光线，AM MN,DN⊥MN,点M,E,F,N在同一条直 线上.经测量ME=FN=20.0m.EF=40.0m, BE=2.4m,∠ABE=152°（结果精确到 0.1m,参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈ 0.47,tan62°≈1.88). 2.(2023江西)图①是某红色文化主题公园内的 太阳光线 雕塑，将其抽象成图②所示的示意图.已知点 B,A,D,E均在同一直线上，AB=AC= AD,测得∠B=55°，BC=1.8m,DE=2m (结果保留小数点后一位，参考数据：sin55°≈ 图① 图② (1)求“大碗”的口径AD的长 0.82,cos55°≈0.57，tan55°≈1.43). (1)连接CD,求证： CD⊥BC 图① 图② 中考考点整合 75 (2)求“大碗”的高度AM的长 5.(2020江西)图①是一种手机平板支架，由托 板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 ②是其侧面结构示意图.量得托板长AB= 120mm,支撑板长CD=80mm,底座长DE =90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C 处，且CB=40mm,托板AB可绕点C转动， 支撑板CD可绕点D转动（结果保留小数点 后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈ 4.(2017江西)如图①，研究发现，科学使用电脑 0.766,tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6 时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°， ≈0.894，tan26.6°≈0.500，√5≈1.732) 而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”3 约为100°.图②是其侧面简化示意图，其中视 线AB水平，且与屏幕BC垂直（结果精确到 14 个位，参考数据：sin69°≈ 14 15,cos21°≈ 5 图① 图② 图③ (1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到 tan20°≈ tan43°≈ 直线DE的距离. (2)为了观看舒适，在(1)的条件下，把AB绕 点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时 针旋转，使点B落在直线DE上（如图③）.求 CD旋转的角度. 图① 图② (1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑 时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长， (2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm, 上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘 上，其到地面的距离FH=72cm.请判断此时 B是否符合科学要求的100°，并说明理由 76 2026江西数学 6.(2021江西)图①是疫情期间测温员用“额温7.(2019江西)图①是一台实物投影仪，图②是它 枪”对小红测温时的实景图，图②是其侧面示 的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO 意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直 垂直水平桌面OE于点O,B为旋转点，BC可 线上，枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊 转动.当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头 MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身 CD始终垂直于水平桌面OE.经测量：AO= 端点A之间的水平宽度(MP的长度)为 6.8 cm.CD=8 cm.AB=30 cm,BC=35 cm( 25.3cm,枪身BA=8.5cm(结果保留小数点 果精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos20° 后一位，参考数据：in66.4°≈0.92，cos66.4 ≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60) ≈0.40，sin23.6°≈0.40,2≈1.414) 70 额温枪 测 图① 图② (1)如图②，∠ABC=70°，BC∥OE ①填空：∠BAO= 图① 图② (1)求∠ABC的度数. ②求投影探头的端点D到桌面OE的距离. (2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影 探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时， 求∠ABC的大小. (2)测温时规定枪身端点A与额头之间的距离 范围为3cm~5cm.在图②中，若测得∠BMN =68.6°，小红与测温员之间的距离为50cm,请 问此时枪身端点A与小红额头之间的距离是 否在规定范围内？请说明理由。 中考考点整合 77 中考热身训练 1.下图所示的是某中学一标志牌的示意图.已 知底座为矩形MNPQ,MN=20cm,DC与 底座所成锐角的度数为82°，∠A=60°，∠D =100°，AD=160cm,点D到底座上面MQ 的距离为200cm(结果精确到小数点后一位， 图① 图② 参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951， (1)若点G到AD的垂直距离为75.0cm, tan18°≈0.325). ∠DCG=60°，求示范者的腿的长度. (1)求AB与底座所成的锐角∠ABM的 (2)若(1)中条件不变，手臂的长度为30√2cm, 度数 点F到点C的竖直距离为21.3cm,∠FBC (2)求标志牌的高度（点A到NP的距离）. =45°.求军帽AE的长度. B C 2.(2025上饶模拟)七年级新生在入学时都将进 行习惯养成课，其中踢正步是孩子们的一门 必修课.图①是踢正步的姿势示范，图②是它 的平面示意图.若示范者的身高为174.0cm, 他的军帽(AE)的长为AB长的，BF为他 的左臂（不含手掌），CD,CG分别为他的左腿 和右腿，且AD⊥AE(结果精确到0.1，参考数 据：√2≈141，√5≈1.73) 78 2026江西数学4.证明：如图，连接CE. AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB. AD⊥EC, ∴.BD=CD,BE=CE, ∴.∠EBC=∠ECB, ∴·∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB, 即∠ABE=∠ACE CG∥AB, ∴∠G=∠ABE=∠ACE, △B0CO△BcF,器-. .EC=EF,EG,BE=EF·EG. 5.C【解析】：D,E为边AB的三等分点，.AD=DE =EB,∴.AB=3BE,AE=2AD.:EF∥AC, ·△BEF∽△BAC,∴EF:AC=BE:BA.AC= 12,AB=3BE,.EF:12=BE:3BE,.EF=4. DG∥EF,.△ADH∽△AEF,.DH:EF= AD AE..EF=4.AE=2AD...DH 4=AD: 2AD,.DH=2. 6A【折1：AB=2AE,AC=2AD,把=告 又：∠A=∠A△MDEO△MCB,0-器 e=8号-0S.DE= 7.解：(1)证明：：∠A=60°，∠ADE=50°， ∴.∠AED=180°-60°-50°=70° ∠B=70°.∠AED=∠B. ∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB. (2)由(1)知△ADE∽△ACB, 记怎段服= E是AC的中点，∴.AC=2AE=2x, AD=8,AB=102-后 解得x,=2√0，x:=-2√10（舍去）. 经检验，x=2√0是原分式方程的解， ∴.AE=2/I0 8.29.122 10.证明：(1)：AB=AC,∠B=∠C ∠BDE=180°-∠B-∠DEB. ∠CEF=18O°-∠DEF-∠DEB, ∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF 又：∠B=∠C,.△BDE∽△CEF (@南d阳△BDEACE,÷票- ,E是BC的中点， 陇=E等-器是-保 又：∠DEF=∠C,∴.△DEF∽△ECF ∠DFE=∠EFC,即FE平分∠DFC 11.解：(1)①③ 示例：选择①. 证明如下： :∠BAD=∠CAE ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC. 即∠BAC=∠DAE. :∠ACB=∠AED, △ABC∽△ADE. (2)能.示例：△ABD∽△ACE. 证明如下： :△ABC∽△ADE, 治怨 :∠BAD=∠CAE .△ABD∽△ACE. 12.解：(1)证明：：四边形ABCD和四边形AEFG均为 矩形， ∴∠BAD=∠EAG=90°，即∠BAE+∠DAE= ∠DAG+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠DAG. 又：品=怎△ABEn△Ac.∠AE =∠ADG. (2)四边形ABCD为矩形， ∴.AD∥BC,∠ABC=∠ABE+∠CBD=90°， ∴∠ADB=∠CBD. :∠ABE=∠ADG, .∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠CBD=90°，即 ∠EDG=90°. 在Rt△ABD中，AB=5,AD=15 ∴.BD=√AB+AD=√W3)+(√5)F=32. ∴BE=3BD=E.∴DE=BD-BE=2VE. 由D用，△ABBO△AG语-器 后瓷Dc=而 在Rt△DEG中， EG=DG+DE=√（√10）+(22)=32. 第6讲锐角三角函数及其应用 ○江西真题体验 1.解：(1)证明：：AB∥CDFG,∴∠CDG=∠A. :∠FEC=∠A, ∴.∠FEC=∠CDG,∴.EFDG. .FG//CD. .四边形DEFG为平行四边形. (2)如图，过点G作GP⊥AB于点P. 参考答案 23 :四边形DEFG为平行四边形， ∴.DG=EF=6.2m. AD=1.6m, ∴.AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8 (m). PG 在Rt△APG中，inA=AG .PG≈7.8×0.96=7.488≈7.5(m). 故雕塑的高约为7.5m. 2.解：(1)证明：：AB=AC,∠B=∠ACB. AC=AD,∴.∠ADC=∠ACD. ÷LBCD=∠ACB+∠ACD=2(∠ACB+∠B+ ∠ACD+LADC)=2×I80=90. .CD⊥BC (2)如图，过点E作EF⊥BC,垂足为F. BC 在Rt△BCD中，cosB -BD.BC=1.8m. ..BD= BC1.8 cosB0s55≈3.16(m), ∴.BE=BD+DE=3.16+2=5.16(m). EF 在Rt△EBF中，sinB=BE】 ∴.EF=BE·sinB=5.16Xsin55°≈4.2(m). 故雕塑的高约为4.2m. 3.解：(1)AM⊥MN,DN⊥MN, ∴.∠AMN=∠DNM=90 AD∥MN, ∴.∠DAM=180°-∠AMN=90°. .四边形AMND是矩形. ∴.AD=MN=ME+EF+FN=20.0+40.0+20.0 =80.0(m), ∴.“大碗”的口径AD的长为80.0m (2)延长CB交AM于点G,如图. 太阳光线 由题意，得BE=GM=2.4m,BG= ME=20.0m,BG⊥AM,∠EBG =90. :∠ABE=152°， .∠ABG=∠ABE-∠EBG=62 在Rt△ABG中，AG=BG·tan62°≈20.0×1.88= 37.6(m) ∴.AM=AG+MG=37.6+2.4=40.0(m), ∴.“大碗”的高度AM的长约为40.0m. 4.解：(1)在Rt△ABC中， AB= BC 2020 tana tan20≈- =55(cm). 公 故眼睛与屏幕的最短距离AB的长约为55cm (2)此时3不符合科学要求的100°，理由如下： 如图，延长FE交DG于点P 由题意，得∠DPE=90°，DP=DG一FH=100-72= 24 4己026江西数学 28(cm). D DP 28 又：DE=30cm,∴.sin∠DEP= DE 30 _14 .∠DEP≈69°， ∴3=180°-69°=111°≠100°， .此时B不符合科学要求的100° 5.解：(1)如图，过点A作AM⊥DE,交ED的延长线于 点M,过点C作CF⊥AM,垂足为F,过点C作CN⊥ DE,垂足为N. 由题意可知，AB=120mm,CB= 40mm,CD=80mm,∠DCB=80°， ∠CDE=60°， .∴.AC=AB-CB=80mm. 在Rt△CDN中，CN=CD·sin∠CDE= 80x5=403(mm).∠DCN=90°-60'=302 2 又：∠DCB=80°，∴∠BCN=80°-30°=50. :AM⊥DE,CN⊥DE,.AMCN, ∴∠A=∠BCN=50°， ∴∠ACF=90°-50°=40° 在Rt△AFC中，AF=AC·sin40°≈80X0.643= 51.44(mm), ..AM=AF +FM=AF +CN=51.44+40 120.7(mm). 故点A到直线DE的距离约为120.7mm. (2)根据题意可知，∠DCB=80°+10°=90 在Rt△BCD中，CD=80mm,BC=40mm, BC 40 tanD=C元=0=0.5∠D≈26.69 故CD旋转的角度约为60°一26.6°=33.4. 6.解：(1)如图，过点B作BH⊥MP于点H. 由题意可知，四边形ABHP是矩形， ..BA=HP=8.5 cm. ,MP=25.3cm, ∴.MH=MP-HP=25.3-8.5=16.8(cm). MH_16.8=0.4. 在R△BMH中，in∠MBH=BN=12 .∠MBH≈23.6°， B AID 颜温枪 .∠ABC=23.6°+90°=113.6°. N (2)在规定范围内.理由如下： 如图，延长MP交DE于点K,延长 温 PM交FG于点I,则∠NIM= ∠IKE=90°. ∠MBH=23.6,∴.∠BMH=90°-23.6°=66.4°. 又：∠BMN=68.6°， ∴∠NM1=180°-∠BMN-∠BMH=180°-68.6 -66.4°=45° :在R△MIN中，MN=28cm,cos∠NMI=M六· MI 六MI=28Xcos45=28x5=142≈19.796(em. 2 .'KI=50 cm, ∴.PK=KI-MI-MP=50-19.796-25.3≈4.9 (cm),即枪身端点A与小红额头之间的距离约 为4.9cm. 3<4.9<5,∴此时枪身端点A与小红额头之间的 距离在规定范围内 7.解：(1)①160 ②如图①，延长OA交BC于点F. 'AO⊥OE,∴.∠AOE=90 :BCOE,∴.∠AOE=∠BFO=90°， ∴.AF=AB·sinB≈30X0.94=28.2(cm), 投影探头的端点D到桌面OE的距离约为AF+ A0-CD=28.2+6.8-8=27.0(cm). 0 0 H E 图① 图2 (2)如图②，过点B作BM⊥CD.与DC的延长线相交 于点M,延长CD交OE于点H,延长OA交BM于点 F,则∠MBA=70°. .'AF =28.2 cm.AO=6.8 cm.DH 6 cm.BC= 35 cm.CD=8cm. .∴.CM=AF+A0-DH-CD=28.2+6.8-6-8=21 (cm). ∠NnC=-器=a,6∠Mc368 ∴.∠ABC=∠MBA-∠MBC=70°-36.8=33.2. ⊙中考热身训练 1.解：(1)根据题意，得∠DCB=180°-82°=98. :∠A=60°，∠D=100 ∴.∠ABC=360°-∠A-∠D-∠DCB=360°-60°- 100°-98°=102°， ∴.∠ABM=180°-∠ABC=78°. (2)如图，过点A作AE⊥MQ,垂足为E,过点D作 DF⊥AE,垂足为F,过点D作DG⊥MQ,垂足为G, .四边形DGEF为矩形， ∴.EF=DG,DF∥EG,.∠FDC= ∠DCG=82 .'DG=200 cm. ∴.EF=DG=200cm. :∠ADC=100°，∠FDC=82 ∴.∠ADF=100°-82=18 .'AD=160cm, .AF=AD·sinl8°≈160X0.309=49.44(cm). ∴.AE=AF+EF=49.44+200=249.44≈249.4 (cm). .MN=20.cm, .标志牌的高度约为249.4+20=269.4(cm). 2.解：(1)如图①，过点G作GH⊥AD于点H, A pE H…G ① 则GH=75.0cm. :∠DCG=60°， GH ∴.CG= 75.0=75.0=505≈50×1.73 in∠DCG=sin6o°= 5 2 =86.5(cm) ∴.示范者的腿的长度为86.5cm. (2)如图②，过点F作FK⊥BC于点K, A pE D 图② 则BF=30√2cm,CK=21.3cm,∠FBC=45°， ÷BK=BF·cos∠FBC=30EX 2=30(cm). ∴.AB=AD-CD-CK-BK=174.0-86.5-21.3 -30=36.2(cm), AE=2AB=2X36.2=18.1(m. 故军帽AE的长度为18.1cm. 第五单元四边形 第1讲平行四边形 ○江西真题体验 1.50°2.4a+2b 3.解：（答案不唯一）(1)ABCD (2)证明：，BE⊥AC,DF⊥AC ∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=9O° AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF I∠BEA=∠DFC, 在△BAE和△IDCF中，∠BAE=∠DCF, AB=CD. ∴.△BAE2△DCF(AAS),∴.BE=DF 又：BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形. ○重点难点突破 典例 1.解：(1)①4@70 (2)①55 ②如图，连接BD. ,AF∥BC,∠CBE=90° ∴.∠BFD=90. 在Rt△BDF中，由勾股定理， 参考答案 25