第四单元 第5讲 相似三角形-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

第5讲 相似三角形 中考考点讲解 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边 的比叫做相似比 (1)性质1：相似三角形的对应角相等，对应边成此例： 相似三角 形的性质 (2)性质2：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角年今线的比都等于相似比： (3)性质3：相似三角形周长的比等于相比，相似三角形面积的比等于相似比的平方， (1)两角对应相等，两个三角形相似： 相 一般三角形(2)两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似； 角 相似三角形的判定 (3)三边对应成此例，两个三角形相似。 (1)一组锐角对应相等，两直角三角形相似： 直角三角形 (2)两组边对应成比例，两直角三角形相似. (1)有平行截线一用平行线的性质，找等角， 夹角相等： {另一对等角： (2)有一对等角，找 (3)有两边对应成比例，找第三边也对应成比例： 判定三角形 该角的两边对应成比例」 相似的思路 一对直角 项角相等： 一对锐角相等； (4)直角三角形，找 (5)等腰三角形，找 对底角相等： 两组边对应成比例 底和腰对应成比例 江西真题体验 命题点相似三角形的判定与性质(10年8考) 1.(2023江西，有改动)《周 髀算经》中记载了“偃矩 以望高”的方法.“矩”在 古代指两条边呈直角的 第1题图 3.(2018江西)如右图，在△ABC 曲尺（图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是 中，AB=8,BC=4,AC=6,CD∥ 把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点 AB,BD是∠ABC的平分线，BD A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP 交AC于点E.求AE的长 均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB= 40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高PQ m. 2.(2017江西)如右图，在正方形 ABCD中，点E,F,G分别在 AB,BC,CD上，且∠EFG= 90°.求证：△EBF∽△FCG 68 2026江西数学 4.（2022江西)如右图，四边形 (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长， ABCD为菱形，点E在AC的 延长线上，∠ACD=∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB. 重点难点突破 重难点口 相似三角形的判定与性质 典例个一图多设问下图为两个全等的等腰直角 三角形ABC和三角形ADE.已知∠BAC= ∠AED=90°，AD,AE分别交BC边于点F,G, BC=52. (1)求证：AG2=BG·FG. (2)求证：△ABGC∽△FCA. (3)求BG·CF的值. D (4)若BF=CG,求FG的长。 重难点日 与相似有关的计算 【我的解答】 典例2如图，在△ABC中，AD,BE是△ABC 的高 (1)如图①，连接DE,AD与BE相交于点F, ①求证：△ACDC△BCE: ②若D是BC的中点，CE=6,BE=8,求AB的 长和△ABF的面积. (2)如图②，∠BAC为钝角，AB=AC,EF垂直 于BC,交AB于点G,交BC于点F,G是EF的 中点 ①求证：BG=2AG: ②若AD=√5，求CE的长. 图① 图② 中考考点整合 69 【我的解答】 中考热身训练 1.一题多解法如图，正方形ABCD的边长为3， 理的示意图.根据图中标注的尺寸，如果物体 E是CD上一点，连接BE交AC于点F.若 AB的高度为27cm,那么它在暗盒中所成的 CE 像CD的高度为 cm. 3.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=2, B ∠BAC=120°.将△ABC沿其底边中线AD 2 向下平移，使点A的对应点A'满足AA'= c D③ AD,则平移前后两个三角形重叠部分（阴影 3 45 cm 部分)的面积是 20 cm 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2025江西样卷九)如图所示的是小孔成像原 70 2026江西数学:∠AFE=∠BFD, ·.∠BFD=∠CAG, ∴.∠G=∠CAG. ∴.CG=AC ·BF=AC 第5讲相似三角形 ⊙江西真题体验 1.6 2.证明：，四边形ABCD为正方形， ∠B=∠C=90. :∠EFG=90°， ∴.∠EFB+∠CFG=90°. 又：∠BEF+∠EFB=9O°， ∴.∠BEF=∠CFG,∴△EBF∽△FCG. 3.解：BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠DBC. AB∥CD,.∠D=∠ABD. ∠DBC=∠D,∴BC=CD=4. 又：∠AEB=∠CED,∴.△AEB∽△CED. 罡-品-=2GE=4E AC=AE+CE=6. ∴AE+ZAE=6∴AE=4. 4.解：(1)证明：，四边形ABCD为菱形， .CD∥AB,AB=BC, .∠ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB. ∠ACD=∠ABE, ∴∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB, .△ABC∽△AEB AB AC (2):△ABCn△AEB.AE=AB 即是-合解得AE=, 故AE的长为9. ○重点难点突破 典例 1.解：(1)证明：由题意可知，∠FAG=∠ABG=45. :∠AGF=∠BGA, △ABG∽△FAG. 治-器 .AG=BG·FG. (2)证明：由题意可知，∠FAG=∠FCA=45°，∠C ∠B=45. :∠AGB=∠C+∠CAG=45°+∠CAG,∠CAF ∠CAG+∠FAG=∠CAG+45°， ∠AGB=∠CAF. :∠B=∠C ∴.△ABG∽△FCA (32)得△ABGO△FCA瓷-积 .AB·CA=BG·FC :△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC,∠B=45 :BC=5√E, AB=BC·osB=5EX2=3 .AC=5. .BG·FC=5X5=25. 故BG·CF的值为25. (4)设BF=CG=x,则CF=BG=52-x,FG=5V2 -2x. 由(3)得BG·CF=25, ∴(5√2-x)2=25, 解得x1=52-5,x,=5√2+5>5√2（含去） ∴.FG=52-2×(5√2-5)=10-5√2. 故FG的长为10-5√2. 2.解：(1)①证明：AD,BE是△ABC的高， .∠ADC=∠BEC=90° :∠C=∠C..△ACD∽△BCE. ②：D是BC的中点，AD⊥BC,AB=AC 在Rt△BEC中，CE=6,BE=8, .BC=√CE+BE=√+8=10. .CD=C5 △ACD∽△BCE, .AD_CD 'BECE.AD=8X5_20 6 3 AC=D+D=√+- :AB=AC=号 5 :∠BDF=∠BEC=9O°，∠DBF=∠EBC. ∴.△BDF∽△BEC. )-()-器 56m=2BE·CE=2×8X6=24, 5aw=×2-号 :D是BC的中点， 1 1.1 5075175 ∴SaBp=S△AD-Sao=3一8=2 (2)①证明：：∠BEC=∠BFE=∠EFC=∠ADC= 90°，AB=AC ∠GBF=∠C.BD=CD=7BC. △BPGACFE.- 参考答案 21 BF GF 1 yG是EF的中点CF=E示=2 设BF=a,则CF=2a, 六BC=BF+CF=3a,∴DF=BD-BF= 2a. ∠BFE=∠BDA=90°，EF∥AD. .BF_BG=a=2.:'.BG=2AG. 2 @BG=2AG.BG=号AB, EF∥AD,.△BFG∽△BDA, .GF_BG2 AD-BA-3 万分G= :GE2 3EF=2Gr=4 3 :∠BEF+∠CEF=∠BEF+∠EBF=9O°， ∴∠CEF=∠EBF,∴△EBF∽△CEF, 膘器 1 45 2CF... 3 又：BF= 45 解得CF= 3 .在Rt△CEF中，CE=WEF+CF=4. ○中考热身训练 1.A【解折设CE=…则器-学 由题意得ABCD, ACEFOAABF,是-器-号小=-得 AF 1 9 AB·BC=2 21 3 经检验，m =号是原分式方程的解一需-需-之 已题多解法 如图，过点F作FG⊥BC于点G.D 3 :S△m=之，正方形ABCD的边长 为32×3G=2FG=1 1 3 易得CG=FG=1,∴.GB=2.依题意，得CE∥G ∥AB,ACEFAABF,g-%恶 CF,CE CE CF CG 1 AFCD-AB-AF-BG=2 22 。4己0己6江西数学 2.12 【解析】如图，延长AD 交B'C于点G.设A'B',A‘B C'分别交BC于点E,F. 等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°， ∴∠ABC=30°.：AD为△ABC的中线，∴.AD⊥ BC.BD=CD..AD-TAB=1.BD-AD- √5，∴BC=25.:将△ABC沿其底边中线AD向下 平移，.B'C∥BC,B'C'=BC=2√尽，A'G=AD=1. △E球n△rBC,∴-怨：AMr- 子AD.DMr-号An=号AG=号…5-光- 导小-号8r--即0=号 1 31 9 技巧专题五相似三角形的基本模型 1.D【解析】：G是CD的一个三等分点（靠近点D), DG=3CD,CG=2DG.四边形ABCD为平行四 边形.AB=CD.AB/CD.AD/BCDG=子AB, △ABFc∽△GDF,△ADGC∽△ECG.由△ABFC∽ △GDF.利品-品即8-号AF=6AG=8 由△AGO△BG.科瓷-瓷即 8 =G= 16.∴.AE=AG+EG=8+16=24. 2.解：：四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD..∠ABE=∠G. 又：∠AEB=∠CEG,∴△ABE∽△CGE. 设FD=m,则AF=2m,.AD=3m. AD∥BC,BC=AD=3m, .∠EAF=∠ECB,∠AFE=∠CBE, ∴△AEFD△CEB, 指-福-子 又：△ABE∽△CGE. 器-瓷-号器的值为号 3.解：(1)证明：：AB=AC,∠B=∠C. :∠APD=∠B, ∴.∠APD=∠C. 又：∠PAD=∠CAP, ∴.△APD∽△ACP. (2)由(1)知，△APDc∽△ACP 是品 .AP=AC·AD=3X5=15.