第四单元 第3讲 等腰三角形与直角三角形-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

设射线EG平移过程中与函数y=2x2的图象的交点 坐标为(x,f), .1≤f≤2. 设射线EG经过点C(1,1),点1(1,2)时与抛物线的交 点坐标分别为(x1,1),(x:,2),分别代人y=2x,得 乞（负值已舍去），x:=1(负值已合去). 交点坐标为竖)12。 x>0时，二次函数y=ax2的y值随x值的增大而 增大， 横坐标的取值范围为号<<1 第四单元三角形 第1讲几何初步及相交线、平行线 ○江西真题体验 1.C2.2 3.证明：AB∥CD, .∠1=∠ACD. :∠1=∠2. ∴.∠ACD=∠2. ∴.AE∥DF. 4.证明：由折叠的性质可知，△ADE2△CDE, ·∠AED=∠CED. :翻折后点A与点C重合，.∠AED=∠CED =90°， 又：∠ACB=90° ∴∠CED+∠ACB=180°，.DE∥BC. ○重点难点突破 典例 1.(1)ABCD(2)HP∥GQ (3)①59°②40°③28 2.(1)C(2)D 第2讲三角形的有关概念 江西真题体验 1.C2.20° 3.证明：：BE平分∠ABC,∠ABC=80°， ÷∠BA=∠ABC=7X80=40. 又：∠A=40°，∠EBA=∠A,.AE=BE. 又：ED⊥AB,∴AD=BD ○重点难点突破 典例 解：(1)0==>②2®74 (2)①=>@54°81° ③43：2 (3)①40°②22 (4)①28°②2 ③，∠BAC=90°，∠ADC=90°， 14 。己026江西数学 ∴.∠DAC+∠C=90°，∠B+∠C=90°， ∴∠DAC=∠B, ∴.△ADC∽△BAC. .CD AC CA=BC. 设CD的长为x. AC=5,BD=2, 清 解得x,=1x:=一3（不符合题意，合去） ∴CD=1,∴AD=√AC-CD=√2， ∴AB=√AD+BD=√6. 第3讲等腰三角形与直角三角形 课题1等腰三角形 ○江西真题体验 1.75°2.52或45或53.1 4.50°【解析】如图，连接CE.AB=AC, AD是边BC上的高，∠BAC=40°.·BD =CD,∠ABC=z180°-∠BAC)=70, 1 ∠BAE=2∠BAC=20,AD为BC的 垂直平分线.：点E在AD上，∴BE=CE.又：线段 AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,∴AE =CE,.AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=20°， ∴.∠EBD=∠ABC-∠ABE=50°. ⊙重点难点突破 典例 1.解：(1)70°等边(2)15或75°(3)93 (4)①：AB=AC.∠ABC=∠ACB. :∠A=36°，BD,CE分别平分∠ABC∠ACB, .∠ABE=∠CBE=∠BCE=∠DCE=36°， ∴∠DEC=∠BDC=72°，BE=CE, CE=CD,∴BE=CD=5. ②'∠DCE=∠DBC,∠CDE=∠BDC, ÷△CDEABDC.品- :∠A=∠ABE=36, ∴.BD=AD=5+1. 设CD=x,则BE=,=5+1-z 5+1x 解得x=2(负值已合去)，即BE=2. 2.解：(1)70° (2)AD⊥CE3 (3)证明：：△ABC为等边三角形，BD是AC边上的 中线， ÷∠ACB=60,∠CBD=2∠ABC=30 CE=CD.∠CDE=∠E=∠ACB=0, ∴∠CBD=∠E=30°.∴.DB=DE (4)30 (5)如图，线段CF即为所求 课题2直角三角形 ⊙江西真题体验 1.90°或270°或180°【解析】由题 P 意可知，点P在以点A为圆心， P AB长为半径的圆上运动. 如图，连接AC交⊙A于点P, 延长CA交⊙A于点P:,延长 BA与⊙A交于点P,连接P,D,P:D,P,C,P,D. BC=2AB=P,B,∠B=60° ∴△P,BC为等边三角形， .AC⊥AB. 在▣ABCD中，ABCD,AB=CD, .CD⊥AC..∠ACD=90°， AB旋转至AP,AP:的位置上时，符合题意， a1=90°，a:=270°. AP://CD.AP,=AB=CD. .四边形ACDP,为平行四边形. ∴∠P,DC=∠P.AC=90°， AB旋转至AP,的位置上时，符合题意， …a,=180° 设CD的中点为G,以点G为圆心，GC长为半径作 ⊙G,连接AG. ,AG=√AC+CG=√BC-AB+CG= √2cD-cD+(分CD)= 2 CD>AP CD. ∴.⊙A与⊙G相离，∴.∠DPC<90 故旋转角a的度数为90°或270或180°. 2.A ○重点难点突破 典例 1D1(22(3 2 w 3 (5)5 【解析】(4)方法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC =2,AC=2√2，.由勾股定理，得AB=√BC+AC =√22+(22)2=25.：E是AB的中点，AE= CE=5.设DE=x,由勾股定理，得AD产=（尽）2 =(2E-5+x,解得x= 3∴AD=26 3 方法二：5Ar=2BC·AC=号×2X2万=2E 1 E是AB的中点：Sam=名S6m=反，：在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=22,∴.由勾 股定理，得AB=√BC+AC=√2+(22)= 25.E-F.m-ADCE.AD=FX 2÷=26 3 (5)如图，过点C作CD⊥AB于点D, 则∠DCE=∠CEF,∴.sin∠DCE m∠cEF-号瓷-子设E E D B 3x,则CE=5x.:∠BCA=90°，CE是斜边AB上的 中线，.AE=BE=CE=5x,.BD=2x.由勾股定 理，得CB-BD=CE-DE,即4-(2x)2=(5x) 3x解得x=等（负值已含去），心AE=5 25,AB=4V5,∴.AC=√AB-BC=8,∴.S△Aa 6,易证△MEFn△ACB (能)= ∴.S△gR=5. ⊙冲考热身训练 1.A 2.B【解析】如图，过点C作CE⊥AB 于点E. :AC=BC=2,∠ACB=90°，.AB B =√EAC=2√E,∠A=∠CBA=45, .CD=AB=2√瓦，△ACE是等腰直角三角形， BE-AF-CE-AB-F. 在Rt△CED中，ED=√CD-CE=√8-2=√6， BD=6-√E. 3.6或2【解标1在R△ABC中，nA=%-号 六BC=z×8=4AC=√8-T=45. 当点D在CB左侧时，如图①. .D ∠ACB=90°，∠A=30°， .∠ABC=60°. 又：∠BCD=30°. ∴.∠BDC=60°-30°=30°， 图① ∴.BD=BC=4,∴.AD=8+4=12. 当点D在CB右侧时，如图②. :∠ABC=60°，∠BCD=30°， ∠CDA=90°. 在AACD中omA-把-. AD=2x45= 综上所述，AD的长为6或12. 参考答案 15 4.解：如图①，过点M作MH⊥ AB于点H,易得MN=3cm, D MA ∠CNM=∠AMH=30°，则CM -MN=Cm.CA -TAB 3 =4.3cm,∴.AM=2.8cm, DE-MH-FAM 5 cm 已题多解法 如图@，过点C作CQ⊥ AB于点Q,交MN于点 D MA P.由题意可知，MN=5-2 EA Q =3(cm).:GD∥EF, 图② ∠ACB=90°，∠ABC=30°，CQ⊥AB,∴.∠CNM =30°，∠BAC=60°，CP⊥MN,∴.∠ACQ=30°， CM=分MN=2cmPM=2CM=子cm, 3 G=6PM=39m同理cQ=4 20 -cm. ∴PQ=435-337 -(cm). 20 5 75 故直尺的宽DE为 cm. 第4讲全等三角形 ○江西真题体验 1.82 2.证明：：AC平分∠BAD,∠BAC=∠DAC (AB=AD. 在△ABC和△ADC中，不∠BAC=∠DAC, AC=AC. ∴.△ABC2△ADC(SAS). ⊙重点难点突破 典例 解：(1)证明：：△ABC是等腰三角形，∠BAC=90° ∴.∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC. △ADE是等腰直角三角形， ∴.AE=AD,∠EAD=∠BAC=90°， ∴.∠EAB=∠DAC (AB=AC. 在△EAB和△DAC中，3∠EAB=∠DAC, AE=AD. ∴.△EAB2△DAC(SAS). (2)证明：由(1)得△EAB2△DAC,△ADE是等腰直 角三角形， ∠E=∠ADC=∠ADE=45°.BE=CD, ∴∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°， ∴.BD+CD2=BC 又：在Rt△ABC中，BC=AB2+AC=2AB2, ..BD:+BE:=2AB*. (3)由(1)得△EAB2△DAC, 16 4己026江西数学 .∠E=∠ADC=45° 又：△ADE为等腰直角三角形， .∠ADE=45°， .∠BDC=∠ADE+∠ADC=90°. :∠BCD=15° .∠CBD=90°-15°=75° :∠ABC=45, .∠ABD=45°+75°=120°， ∴∠BAD=180°-120°-45=15 (4)证明：由(1)得△EAB2△DAC ∴BE=CD. .AE=BE.AE=AD. ..AD=CD. :∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+∠CBD,∠CFD =∠ADB+∠CBD=45°+∠CBD, ∴∠ABD=∠CFD. 在△ABD和△CFD中， (∠ABD=∠CFD. ∠ADB=∠CDF, AD=CD. .△ABD2△CFD(AAS), .AB=CF,..CF=AC. CG⊥AD. .G为AF的中点， ∴.AG=FG. 技巧专题二构造全等三角形的方法 1.证明：如图，在AB上截取AF=AC,连接EF :AE,BE分别平分∠CAB 和∠DBA, .∠CAE=∠FAE,∠EBF =∠EBD. :ACBD.∴.∠C+∠D=180° 在△ACE和△AFE中， (AC=AF. ∠CAE=∠FAE, AE=AE. .△ACE2△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE,CE=EF ∠AFE+∠EFB=180°，∠C+∠D=180°， .∠EFB=∠D (∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∠EBF=∠EBD, BE=BE. .△BEF≌△BED(AAS), ∴.EF=ED,∴.CE=DE. 2.解：如图，在AB上取一点E,使BE =BC. 'BD平分∠ABC, ∴∠DBE=∠DBC BD=BD,∴.△BDE2△BDC(SAS) ∴，∠CDB=∠EDB,∠C=∠BED=2∠CDB,第3讲 等腰三角形与直角三角形 课题1等腰三角形 中考考点讲解 名称 等腰三角形 等边三角形 A 图示 概念 有两边相等的三角形 三条边都相等的三角形 角 两底角相等 每个角都等于60 边 两腰相等 三边相等 性质 边角关系 等边对等角，等角对等边 等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，对 对称性 称轴是辰边上的高孩（或项角的平分孩或震 称轴是每一个角的平分孩（或多一条边上的中 边上的中钱)所在的直俄 线或毒一条边上的高线)所在的直线 面积 5-Tuh 1有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）： 1.三边都相等的三角形是等边三角形（定义）： 判定 2.有两角相等的三角形是等腰三角形（简记 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 为“等角对等边”) 江西真题体验 命题点等腰三角形的性质与判定(0年5考) 满分沙练 1.(2017江西)图①是一把园林剪刀，把它抽象 3.如图，在△ABC中，∠A=∠ABE,CD平分 为图②，其中OA=OB.若剪刀张开的角为 ∠BCE,且CD⊥BE于点D,AC=5,BC=3, 30°，则∠A= 则DE的长为 300 图① 图② 第1题图 2.(2016江西)如图所示的是一张 D 长方形纸片ABCD.已知AB= 第3题图 第4题图 8,AD=7,E是边AB上一点， 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°， E AE=5.现要剪下一张等腰三角第2短 AD是边BC上的高.线段AC的垂直平分线 形纸片（△AEP),使点P落在长方形ABCD 交AD于点E,交AC于点F,连接BE,则 的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长 ∠EBD的度数为 是 中考考点整合 53 重点难点突破 重难点等腰三角形的性质与判定 典例2一图多变(1)如图①，在△ABC中，AB 典例①中考新方向北师八下第4页第3题变式 =AC,D为边AC上一点，且AD=BD.若 已知在△ABC中，AB=AC,请回答下列问题： ∠DBC=30°，则∠C的度数为 (1)若∠A=40°，则∠B= ;若∠A= 60°，则△APC是 三角形（按边分类）. (2)若∠B=70°，以点C为圆心，CA的长为半 因① 图② 图③ 径作弧，交直线BC于点P,连接AP,则∠BAP (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,延长BC至 的度数为 点D,使CD=AC,CE平分∠ACD交AD于点 (3)如图①，过点A作AD⊥BC于点D.若BC= E.若AB=5,AD=8,则AD与CE的位置关系 6,∠BAD=30°，则△ABC的面积为 为 ,CE的长为 (3)如图③，△ABC是等边三角形，BD是AC 边上的中线，延长BC至点E,使CE=CD.求 证：DB=DE (4)如图④，在△ABC中，AB=AC,过CA的延 图① 图② 长线上一点D作DE⊥BC,垂足为E,交边AB (4)如图②，∠A=36°，BD,CE分别平分 于点F.若AD=13,BE=5,F为AB的中点， ∠ABC,∠ACB. 则△BEF的面积为 ①当CD=5时，求BE的长： ②当AD=√5+1时，求BE的长， 【解题技巧】1.等腰三角形中求角度：当已知等 腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还 是底角，分情况进行讨论.2.等腰三角形中求 图④ 图⑤ 边：当已知等腰三角形两边时，除了要确定哪条 (5)如图⑤，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的 边作为腰或底外，还要考虑三角形的三边关系 中点，BE⊥AC于点E.请仅用无刻度的直尺过点 这个前提条件 C作△ABC的高（保留作图痕迹，不写作法）】 【我的解答】 【我的解答】 54 2026江西数学 课题2直角三角形 中考考点讲解 名称 图示 性质 判定 1.两锐角之和为90°： 1.有一个角为90°的三角形是直角三 2.斜边上的中线等于斜边的一摩： 角形； 直角三角形 3.两直角边互相垂直； 2.有两个角互余的三角形是直角三 4.勾股定理：若直角三角形的两条直 角形： 角边长分别为a,b,斜边长为c,则a 3.勾股定理的逆定理：若a+b2=c2,则 +b2=c2 以a,b,c为边长的三角形是直角三角形 含30 1.满足直角三角形所有的性质： 角的直 2.30°角所对的直角边等于斜边的 角三 D 角形 特 1.顶角为直角（或90°）的等腰三角形是 正角三 等腰直角三角形： 含 45 2.有两个角为45°的三角形是等腰直角 形 1.满足直角三角形所有的性质： 角的直 三角形： 2.两直角边相等； 角三 3.有一个角为45°的直角三角形是等腰 3.两锐角相等且都等于45 角形 直角三角形： 4.两直角边相等的直角三角形是等腰 直角三角形 江西真题体验 命题点直角三角形的性质与判定(10年5考) 满分迎练 1.(2023江西)如图，在口ABCD中，∠B= 2.如图，在△ABC中，AB=5,BC=4,AC=3,I 60°，BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转 为△ABC各内角平分线的交点，过点I作 角a(0°<a<360°)得到AP,连接PC, AB的垂线，垂足为H,则IH的长为() PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角a A.1 g. 的度数为 C.2 D.2 第2题图 第1题因 重点难点突破 重难点与直角三角形有关的计算 (1)如图①，若∠A=30°，AB=4, 典例在R1△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的 CD⊥AB于点D,则DE的长为 E D 中点 图① 中考考点整合 55 (2)如图②，若∠A=30°，过点E作AB边的垂 (5)如图⑤，过点E作EF⊥AB交AC于点F. 线交AC于点D,连接BD,CD=1,则AD的长 3 若BC=4,sin∠CEF=亏，则△AEF的面积为 为 【解题技巧】解与直角三角形有关的计算题的常 用思路： 图② 图③ 1.当出现30°角时，要想到30°角所对的直角边 (3)如图③，若∠A=30°，D是AC边的中点，连 接DE,BD,EF是△ADE中AD边上的中线， 是斜边的一半。 2.当出现斜边上的中线时，要想到直角三角形 BC=2,则EF的长为 中斜边上的中线等于斜边的一半， (4)如图④，过点A作AD⊥CE,垂足为D.若BC 3.作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或 三角函数求线段长或角度。 =2,AC=2√2，则AD的长为 4.已知直角三角形的三边求斜边上的高时，用 面积法求解。 5.已知三角形为直角三角形，但没有明确直角 顶点，则需要分类讨论 中考热身训练 1.如图，在Rt△ABC中，D是AC边的中点，4.一题多解法如右图，一把直 ∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是( 尺DEFG的一边EF与含 EA A.3 B.6 C.3 D.3√5 30°角的直角三角尺ABC 的斜边AB重合，另一边DG分别交AC,BC 于点M,N.若点M,N在直尺上的读数分别 为2cm,5cm,且AB=8.6cm,∠ACB=90°， ∠ABC=30°，求直尺的宽DE. 第1题图 第2题图 2.如图，在R1△ABC中，AC=BC=2,点D在 AB的延长线上，且CD=AB,则BD的长是 A.10-√2 B.√6-2 C.22-2 D.22-√6 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=B 90°，∠A=30°，AB=8.若点D 在直线AB上（不与点A,B重C 第3题图 合)，且∠BCD=30°，则AD的 长为 56 2026江西数学