第三单元 第4讲 函数的综合-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

第4讲 函数的综合 江西真题体验 命题点1 函数与几何图形综合(10年1考) 1.(2023江西)综合与实践 【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=√2，动点P以每 秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为 边作正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系， 【初步感知】 (1)如图①，当点P由点C运动到点B时 ①若t=1,则S= ②S关于t的函数解析式为 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于1的二次函数，并绘制成如图②所示的图 象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长。 【延伸探究】 (3)若存在3个时刻t1,t2,ts(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等. ①t1十t2= ②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积. 18. 图① 图② 中考考点整合 37 命题点2函数与新定义综合10年4考) 2.(2021江西)二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A. 【感知特例】 (1)当m=1时，如图①，抛物线L:y=x2一2x上的点B,O,C,A,D关于点A中心对称的点分别 为B',O,C,A',D',如下表： B(-1,3) O(0,0) C(1,-1) A( D(3,3) B'(5,-3) 0(4,0》 C'(3,1) A'(2,0) D(1,-3) ①补全表格： ②在图①中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L' 【形成概念】 我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔 像抛物线”.例如，当m=一2时，图②中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”， 图① 图② 【探究问题】 (2)①当m=一1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x 的取值范围为 ②在同一平面直角坐标系中，当m取不同的值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y= x2一2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 (填“y=ax2+bx十c”或“y=a.x2+bx”或“y=ax2十c”或“y=a.x2”,其中abc≠0)： ③若二次函数y=x2一2.x的图象及它的孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，求m的值. 38 2026江西数学 命题点3函数与动点综合(10年1考) 3.(2020江西)已知抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对 应值如下表： -2 -1 0 0 -3 n -3 … (1)根据以上信息可知，抛物线开口向 ,对称轴为 (2)求抛物线的表达式及m,n的值. (3)请在图中画出所求的抛物线.设P为抛物线上的动点，OP的中点为P',描出相应的点P',再 把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线。 (4)设直线y=m(m>一2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次 为A1,A2,A3,A4.请根据图象直接写出线段A1A2,A3A,之间的数量关系. 各用因 中考考点整合 39 命题点4函数与新函数综合(10年1考) 4.(2019江西)数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究： 如图①，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌 面上，图②是示意图 活动一 如图③，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时，铅笔AB 的中点C与点O重合， 0 图① 图② 图③ (I)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm. ①用含x的代数式表示：AD的长是 cm,BD的长是 cm; ②y与x之间的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 活动二 (2)①列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格： x/cm 6 5 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y/cm 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 ②描点：根据表中数值，在图④中继续描出①中剩余的两个点(x,y): ③连线：在图④中，请用平滑的曲线画出该函数的图象。 (3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质， 3 .0 em 图④ 40 2026江西数学 命题点5函数与图形规律综合(10年3考) 5.(2016江西)设抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1,2): 过点B,(分，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A…过点B.(分)一，0)（为正整数）作工轴 的垂线，交抛物线于点A.,连接AB.+1,得R1△ABB.+1 (1)求a的值 (2)直接写出线段A.B.,BB.+1的长（用含n的式子表示）. (3)在系列R1△A.BB.+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△ABB.+1是等腰直角三角形？ ②设1≤k<m≤n(k,m均为正整数)，问：是否存在Rt△A:B.B.+1与Rt△AnB.Bm+1相似？若 存在，求出其相似比；若不存在，请说明理由。 中考考点整合 41 命题点6函数与图形变换综合(10年2考) 命题点7抛物线型问题探究(10年？考) 6.(2017江西，有改动)已知抛物线C1:y=a.x2 7.(2024江西，有改动)如下图，一小球从斜坡的 -4ax-5(a>0) 点O处以一定的方向弹出，球的飞行路线可 (1)当a=1时，求抛物线C1与x轴的交点坐 以用二次函数y=a.x2+bx(a<0)的图象刻 标及对称轴。 画，斜坡可以用一次函数y=x的图象刻 (2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定 经过两个定点，并求出这两个定点的坐标： 画，小球飞行的水平距离x(单位：m)与小球 ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折， 飞行的高度y(单位：m)的变化规律如下表： 得到抛物线C2,直接写出C,的表达式。 (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离 15 15 8 为2，求a的值. (1)①m= ②小球的落点是A,求点A的坐标， (2)小球飞行高度y与飞行时间t(单位：s)满 足关系：y=一5t2十t, ①小球飞行的最大高度为 m; ②求v的值. y/m ○小球钟坡 x/m 42 2026江西数学不等式2x+6>兰的解集为-2<：<0或>L (3)当b=4时，y=2x+4. 令2z十4=冬，整理，得2x+4x-k=0. x 两个函数图象有两个交点，∴△=42一4×2（一k)> 0.解得k>-2. k的取值范围为k>一2且k≠0. 3.解：(1)x1=0,x:=4 (2)不等式ax2十bu十c≤0的解集为0≤x≤4， (3)由题意，得抛物线y=ax2十bx十c十p与x轴的其 中一个交点为（号。），且对称轴为直线=2 ∴.抛物线y=ax2+x十c十p与x轴的另一个交点为 (2o) 设抛物线y=ax+bx十c十q与x轴的两个交点为 (x1,0),(x,0),x1<x :抛物线y=ax2+x+c与x轴的交点为(0,0)和 (4.0),且0<q<p, 0<<号<<4. 即方程ax2十bx十c十q=0的两个根x1,x:的取值范 35 围为0<x1<22<x<4 4-<m<- 【解析】(4)：抛物线的对称轴为直线x=一石 b 一2X灯=2b=-4y=x-4x+c 将(4,0)代人，得0=16一16十c,解得c=0,∴.抛物线 的解析式为y=x一4x=(x一2)2一4， ∴.翻折后的部分曲线的解析式为y=一(x一2)一4. 当直线y=一x十m与抛物线y=一(x一2)2一4有一 个交点时，令-x十m=一(x-2)2-4, 整理，得x-5x十m十8=0， .4=(-5)2-4(m+8)=0, 解得加一子 当直线y=-x十m与y=(x-2)产-4有一个交点 时，令-x十m=(x一2)2-4， 整理，得x-3x一m=0, 4=(-3)-4(-m)=0,解得m=一了 9 放当-？<m<一子时，新图象G与直线y=-十m 有三个交点. 第4讲函数的综合 ○江西真题体验 1.解：(1)①3②S=1*+2 (2)由图②可知，当点P运动到点B时，S=6 将S=6代入S=t2+2,得6=1+2，解得t1=2,1:= 一2（不合题意，舍去）. 图②中函数图象的顶点坐标为(4,2) ∴当点P由点B运动到点A时，可设S关于1的函数 解析式为S=a(t-4)2+2. 将(2.6)代入，得6=a(2-4)*+2,解得a=1,∴.S=(t -4)2+2. 故S关于t的函数解析式为S -9c2icn 由图②可知，当点P运动到点A时，S=18. 令18=(1-4)°+2， 解得13=8，t4=0(不合题意，舍去)， ,∴.AB=(8-2)×1=6. (3)①4 ②如图，根据二次函数图象的对称性可18 知，t:十t,=8. 由(3)①可知，11十t:=4, 12-11=4. 又：t,=41: 4 ∴.411一t1=4,解得11= 3 可4女4 故此时正方形DPEF的面积S=;+2=34 1t2+2(0≤1<2)， 【解析】(3)①由(1)(2)可知，S= 1(1-4)+2(2≤≤8). 补全0≤1<2的图象如图. 根据图象可知，当0≤1≤2时的函数图象与当2≤1≤4 时的函数图象关于直线x=2对称， ∴.1+12=4. 2.解：(1)①(2.0) ②所画图象如图所示. (2)①-3≤x≤-1@y=ax ③y=x一2mx=(x一m)2一m,顶点坐标为(m, 一m),其“孔像抛物线”为y=一(x一3m)2+m2,顶 点坐标为(3m,m),该抛物线与其“孔像抛物线”的公 共点为(2m,0), ∴.二次函数y=x2一2mx的图象及它的“孔像抛物 线”与直线y=m有且只有三个交点时，有以下三种 情况： a.直线y=m经过(m,一m), ∴.m=一m, 解得m,=一1，m,=0(不合题意，名去)： 参考答案 9 b.直线y=m经过(3m,m) .m=m2, 解得m,=1,m2=0(不合题意，舍去)： c.直线y=m经过(2m,0) ∴m=0(不合题意，舍去) 综上所述，m的值为士1. 【解析】(2)①当m=一1时，抛物线L:y=x2+2x= (x十1)一1，其顶点为(-1，一1)，点A的坐标为 (一2,0)，对称轴为直线x=一1，开口向上，当x≤一1 时，L的函数值随者x的增大而减小， 抛物线L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心 对称。 ∴抛物线L'的顶点坐标为（一3,1）. 设抛物线L'的解析式为y=a(x十3)+1. 将A(-2.0)代入，得0=a(-2+3)2+1,解得a= -1, ∴.抛物线L':y=一(x十3)产+1，对称轴为直线x= 一3，开口向下，当x≥一3时，L的函数值随着x的增 大而减小， .当一3≤x≤一1时抛物线L与它的“孔像抛物线” L的函数值都随着x的增大而减小. 3.解：(1)上直线x=1 (2)把(-1,0)，(0，一3)，(2，-3)代入y=ax+bx +c, {a-b+c=0, a=1, 得c=-3, 解得b=-2. 4a+2b+c=-3, c=-3. ∴抛物线的表达式为y=x一2x一3. 当x=-2时，m=4十4-3=5： 当x=1时，n=1-2-3=-4. (3)如图①. 周① 该曲线是抛物线： (4)如图②. 图2 10 4己0己6江西数学 A.A,-A1A:=1. 4.解：(1)①(6+x)(6-x) 36-6虹0≤x≤6 ②y=6+x (2)①填表如下： x/cm 6 543.532.52 10.50 y/m00.551.21.5822.4734.295.086 ②如图所示。 ③如图所示. 4 3 0.且.3.王.4.5.6/m (3)示例：性质可从图象位置、增减性、最值三个角度 人手 ①从位置角度：当0≤x≤6时，该函数图象在第一 象限； 当0≤x≤6时，图象与坐标轴有两个交点： ②从增减性角度：当0≤x≤6时，y随x的增大而 减小： ③从最值角度：当x=6时，y取最小值0：当x=0时， y取最大值6.（写出任意两条即可） 【解析】(1)②：BG⊥OF,∴.BGAE BG BD ÷△BGDn△AOD,AO-AD 依题意，得AO=AC=6, -异= 36-6x 此时自变量x的取值范围是0≤x≤6。 5.解：(1)：点A,(1,2)在抛物线y=ax上， .a=2. (2A.B,=(),BBn=(号广 (3)①由Rt△A.B.B.+1是等腰直角三角形，得A.B. =B,B1则（分）=（分） ∴，2n一3=n,解得n=3, ∴.当n=3时，Rt△A.B.B.+1是等腰直角三角形. ②存在.依题意，得∠A.B,B+1=∠ABB+1=90 分以下两种情况讨论： 当Rt△A.B,B+1∽Rt△ABB+1时. AB,=B,B出，即 A.B.B.B. ()于 …() () ∴k=m(不合题意，舍去)： 当Rt△A,B,B+1∽Rt△B+1BA时 A.B. B,B1,即 B.+1B B.A ()…-(》… ∴k十m=6. 1≤k<m≤n(使，m均为正整数)， 1, k=2, 或 m=5m=4. 当k=1,m=5时，Rt△A,B,B:Rt△B。B,A,, A:B: 相似比为B,B, 2 =64 1) (2 当k=2,m=4时，Rt△A:B:B,Rt△B,B,A4 A:B: 相似比为B,B, 2 故存在Rt△A.B.B+1与Rt△A.BB+1相似，其相 似比为64：1或8：1. 6.解：(1)当a=1时.抛物线C1:y=x-4x-5. 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x,=一1，x2=5, .抛物线C,与x轴的交点坐标为（一1,0），(5,0)， 对称轴为直线x=2. (2)①由抛物线C1:y=a.x-4ax-5(a>0)可得， 4a=2. 对称轴为直线x=一2a 令x=0,则y=-5, 抛物线C,过定点(0，一5). 由抛物线的对称性可知，(0，一5)关于直线x=2的对 称点为(4，-5)， ∴无论为何值，抛物线C,一定经过两个定点 (0,一5)和(4，-5) ②y=-ax+4ax-5C或y=-a(x-2)2+4a-5). (3)当x=2时，y=-a.x+4ax-5=4a-5, ∴.抛物线C:的顶点坐标为(2,4a一5)， 当顶点到x轴的距离为2时，|4a一5引=2， 7 3 解得a,=不a:=4 73 故a的值为或4 7.解：(1)①36 ②由题意可得，抛物线的顶点坐标为(4,8) 设y=a(x-4)2+8,将(2,6)代人，得a(2-4)+8= 6,解得a=一21 1 ∴.y=- 2(x-4)产+8，即y=- 2x2+4x y- 2x2+4x, 联立解析式，得 15 解得 x1=0. x:= y,=0. y:= 15 ∴点A的坐标是（停，》， (2)①8 @y=-n+=-5-广+ 则号-8，解得=4v而（负值已合去）。 第5讲函数的实际应用 ○江西真题体验 1.解：(1)700y关于x的函数解析式为y=-0.5x +75(0≤x≤150). (2)根据题意，得+y=120. 解得 x=90, y=-0.5x+75, y=30 .此时单层部分的长度为90cm. (3)1=x+y=0.5x+75. 0≤x≤150.∴.75≤1≤150. 2.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=x十b(使≠0). 将(10,200)，(15,150)分别代人y=kx+b中，得 10k+b=200 fk=-10 15k+b=150 解得6=300： ∴y关于x的函数解析式为y=-10x+300(8≤x≤ 30). (2)设每天销售获得的利润为元。 根据题意，得=(x-8)y=(x一8)（一10x十300）= -10(x-19)2+1210. 8≤x≤30，∴.当x=19时，0有最大值，最大值 为1210， ∴.当该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得 的利润最大，最大利润为1210元. (3)不能销售完这批蜜柚. 理由：由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千 克，则每天的销售量为-10×19+300=110(kg). :保质期为40天， .销售总量为40×110=4400(kg). :4400kg<4800kg,.不能销售完这批蜜柚. ⊙重点难点突破 典例 1.解：(1)56 (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠0) 将(70,60)和(71.58)分别代人· 得/60=70k+6 l58=71k+b, 解得=一2， 1b=200. y与x之间的函数关系式为y=-2x+200. (3)y与x之间的函数关系式为y=一2x十200，一2 <0, y随x的增大而减小. 由题意，得x≥60， 参考答案 11