第二单元 第2讲 数学思想方法解方程(组)-【学海风暴·PK中考】2026江西中考数学备考讲练本

第2讲 数学思想方法解方程（组） 课题1一元化：解二元一次方程组 中考考点讲解 解二元一次方程组数学思想与基本步骤： 消元思想 代入消元法 加减消元法 选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用 将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数 第一步 含有一个未知数的代数式表示另一个未知数 的形式 将变形后的方程代入另一个方程中消去一个 将变形后的两个方程相加或相减消去一个未知数， 第二步 未知数，得到一个一元一次方程 得到一个一元一次方程 第三步 解这个一元一次方程，求出未知数的值 第四步 将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值 第五步 联立两个未知数的值，就是方程组的解 第六步 将两个未知数的值代入其中的一个方程，检脸结果的正确性 江西真题体验 命题点解一次方程（组）(10年2考) 满分九练 -y=2, 1.(2016江西)解方程组 2x十y=4, 2.方程组 的解是 () x-y=y+1. x-y=-1 答题模板 x=1, x=-3, A B. 解法一（代入消元法） 解法二（加减消元法】 y=2 y=-2 x-y=2,① x-y=2,① x=2, x=3, 解：令 解：令 C. D. x-y=y+1,② x-y=y+1,② y=0 y=-1 将①变形为 ,③①-②，得 x=2, 是二元一次方程a.x一3y=0的 将③代入②，得 ,③ 3已知{=- ,解得 ,将y 解得 ,将y= 解，则点(a,3一a)所在的象限是 () 代入①，解得x= 代入①，解得x A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 “原方程组的解为∴.原方程组的解为 4.已知关于x,y的二元一次方程组 3.x-y=4m+1, 的解满足x一y=4,则m x+y=2m-5 【解题技巧】(1)当方程组中一个方程的常数项 的值为 () 为0或某一个未知数的系数为1或一1时，用代 A.0 B.1 C.2 D.3 入消元法比较简便；(2)当方程组中同一个未知 2x+3y=2, 5.若x,y满足方程组 则x十y= 数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，用加 3x+2y=3, 减消元法比较简便 14 2026江西数学 x=1, (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 6.已知 是方程ax十by=3的解，则代数 y=2 ,其中第一步的依据是 式2a十4b-5的值为 7.下面是海海同学解二元一次方程组的过程， 请认真阅读并完成相应的任务。 (2)第 步开始出现错误 2x-3y=-4,① (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正 解方程组： 4x-5y=-20.② 确的解题过程， 解：①×2，得4x-6y=-8,③ 第一步 ②-③，得一y=-12,第二步 .y=12. 第三步 将y=12代入①，解得x=16, 第四步 x=16, ∴原方程组的解为 第五步 y=12. 课题2 一次化：解一元二次方程 中考考点讲解 [只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式ax2十bx十c=0(a≠0)，其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 直接开平方法：适用于形如x2=p或(x十n)2=p(p≥0)的方程.当方程的形式为 x2=p时，方程的解为x=土√D:当方程的形式为(x十n)2=p 时，方程的解为x=士√p一n. 一元二次 配方法：适用于容易变形为a(x十h)2=k(a≠0且ak≥0)形式的方程.方程的解 方程的概念 及其解法 解法 公式法：适用于所有一元二次方程.方程的形式为ax2+br+c=0(a≠0，b2-4ac ≥0)，方程的解为x=一b土V-4a 2a 因式分解法：适用于容易变形为(x一a)(x一b)=0形式的方程.方程的解为x1= a,x:=b. 元 概念：一般地，式子b2一4ac叫做一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的根的判别式.通常用 次 一元二次 希腊字母“△”表示，即△=b2一4ac. 程 方程的 根的判 一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)b2一4ac>0曰方程有两个不相等的实数根： 别式 (2)b2一4ac=0曰方程有两个相等的实数根： (3)b2一4ac<0曰方程无实数根 一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个实数根分别为 那么有十=-名-日 2022版课标新变化：根与系数的关系由选学内容调整为考查内容. 中考考点整合 15 江西真题体验 命题点① 解一元二次方程(10年3考) 3.(2017江西)已知一元二次方程2x2-5x+1 满分心练 =0的两个根为x1,x2,则下列结论正确的是 () 1.按下列要求解方程：x2一8x十15=0. 5 (1)用配方法， A.x1十x2=- 2 B.x1·x2=1 C.x1,x2都是有理数D.x1,x2都是正数 4.(2021江西)已知x1,x2是一元二次方程x 一4x十3=0的两根，则x1十x2一x1x2= (2)用公式法. 5.(2019江西)设x1,x2是一元二次方程x2-x一1 =0的两个根，则x1十x2十xx2= 6.(2020江西)若关于x的一元二次方程x2一 kx一2=0的一个根为x=1,则这个一元二次 (3)用因式分解法 方程的另一个根为 7.(2018江西)已知一元二次方程x2-4x十2= 0的两个根为x1,x2,则x子一4x1十2x1x2的 值为 命题点2 一元二次方程的根与系数的关系 命题点3 一元二次方程的根的判别式(10年 (10年6考) 1考) 2.(2016江西)设a,3是一元二次方程x2十2x 8.(2022江西)已知关于x的方程x2+2x十k= 一1=0的两个根，则a3的值为 ( 0有两个相等的实数根，则k的值是 A.2 B.1 C.-2 D.-1 中考热身训练 1.(2024-2025宜春期未)若x=-1是方程x2 5.已知关于x的一元二次方程x2一2x十1一k +m.x十5=0的一个根，则m的值是( =0有实数根。 A.3 B.4 C.-5 D.6 (1)求实数k的取值范围。 2.(2025江西样卷二)若关于x的一元二次方程 (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若 x2一4x十c=0有两个相等的实数根，则c的 2x1x2=x1十x2,求k的值. 值为 3.(2024-一2025乐平期末)若m,n是一元二次 方程x2一5x十2=0的两个实数根，则m十(n 一2)2的值为 4.(2025新余一模)若一元二次方程x2十2x 2025=0的两个根分别为m,n,则代数式m2 +3m十n的值为 16 2026江西数学 课题3整式化：解分式方程 中考考点讲解 概念：分母中含有杰知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的一般步骤： 最简公分母为0x=a是分式方程的 分式去分整式解垫式方= 检脸代入最简 增根，分式方程无解 分式方程方程豪装萄公专母方程 公分母 最简公分母不为0x=a是分式方程 的解 温馨提示分式方程无解与增根为两个概念.分式方程无解有两种情况：(1)分式方程化为整式 方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解：(2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解， 但所求的解使最简公分母为零，则所求的解为原分式方程的增根，原分式方程无解， 重点难点突破 重难点 解分式方程 (1)若a=3,则该方程的解为 (2)若该方程的解为1，则a的值为 典例 二题多变已知分式方程二3 x-2 -1 3 ，请回答下列问题： (3)若该方程有增根，则a的值为 2-x (4)若该方程无解，则a的值为 中考热身训练 1已知关于x的方程a”-号的解是x=1, 1 5.中考新方向纠错题(2025抚州一模)以下是小 则a的值为 张同学解分式方程二=名十1的过程。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 请认真阅读并完成相应的任务。 2x+3十2=0的解为 1,1 2.方 解号名+1 3.中考新方向新定义题定义一种新运算：对于 1-x=-2十1，第一步 任意的非零实数a.6,有a®b=+云若 1一x=一1，第二步 x=2.第三步 +1)8x=2红+1，则x的值为 经检验，x=2是原方程的根.第四步 4.(2024-2025南昌期末)解分式方程：—2 x+1 任务一：(1)以上解方程的过程中，第 步开始出现错误 3x 任务二：(2)请你帮他写出正确的解答过程， 2-x 中考考点整合 17第2讲数学思想方法解方程（组） 课题1一元化：解二元一次方程组 ○江西真题体验 1 答题模板 解法一（代入消元法） 解法二（加减消元法） 解：令 x-y=2,① 解：令 r-y=2,① x-y=y+1,② x-y=y+1,② 将①变形为x=y+2,③①-②，得0=2-(y士 将③代入②，得y+2-y1).③ =y+1,解得y=1将y解得y=1, =1代入①，解得x 将y=1代入①，解得x =3, =3 “原方程组的解 x=3, “原方程组的解为 x=3, y=1 ly=1 2.A3.B4.B5.16.1 7.解：(1)加减消元法 等式两边同时乘同一个数（或除 以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 (2)二 (3)②-③，得y=-12. 将y=一12代入①，解得x=-20. |x=-20. ∴.原方程组的解为 y=-12. 课题2一次化：解一元二次方程 ○江西真题体验 1.解：(1)x2-8.x+16-16+15=0 ∴.(x-4)2=1,x-4=±1，x1=3,x:=5. (2)."x-8x+15=0.∴.a=1,b=-8,c=15, ∴.2-4ac=(-8)2-4×1×15=4>0. x=-b±-4ac_-8± 2a 2 ,x1=3,x=5 (3)x2-8x+15=0,∴(x-3)(x-5)=0, .x-3=0或x-5=0.∴x1=3.x:=5. 2.D3.D4.15.06.x=-27.28.1 ⊙中考热身训练 1.D2.4 3.7【解析】：m,n是一元二次方程x-5x十2=0的 两个实数根， ∴.n2-5n+2=0,m+n=- =5 则n2=5n-2. ∴.m+(n-2) =m十n2-4n十4 =m+5n-2-4n十4 =m+n+2 =5+2=7. 4.2023【解析】：一元二次方程x2+2x一2025=0的 两根分别为mn, 六m十m=-么=-2.m+2m-2025=0.即m5+2m a =2025, ∴.m2+3m+n=m2+2m+m+n=2025-2=2023. 5.解：(1)根据题意，得△=(-2)2-4(1-k)≥0， 解得k≥0， .实数k的取值范围为k≥0. (2)根据根与系数的关系，得x1十x:=2,x1x:=1一k 2x1x:=x1十x: 2(1-k)=2, 解得k=0. 课题3整式化：解分式方程 ○重点难点突破 典例 (1)x=-1(2)-1(3)0(4)1或0 ⊙中考热身训练 1.C2.x=-1 =2x+1 3.-之【解析】根据题意，得力十 1 x 去分母，得x+x+1=(2x+1)(x+1), 解得=-子，=0， 经检验x=一2是原方程的解， x=0是原方程的增根， 六原方程的解为x=一2，即x的值为2 4.解：去分母，得x+1一x十2=一3x, 解得x=一1. 检验：把x=一1代入x一2，得x一2=一3≠0. 故原分式方程的解为x=一1. 5.解：(1)一 2号=名+1. 去分母，得1一x=一2十x一3， 解得x=3. 经检验，x=3是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解。 第3讲方程（组）、不等式的实际应用 ○江西真题体验 5x+2y=10 1.2x+5y=8 2.解：(1)设第一次实验使用了x公斤粮食糟酪和y公 斤芋头槽酪，则 0.3x+0.2y=16, 10.3×2x+0.2×3y=36, 解得/=40， 1y=20. 答：第一次实验使用了40公斤粮食糖酪和20公斤芋 头糟酪。 (2)设需要大米m公斤，则 1 m÷×30%×80%=30%X3×40, 参考答案 3