指数的定义与运算、对数的定义与运算、指对幂函数的实际应用复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：指数的定义与运算、对数的定义与运算、指对幂函数的实际应用复习讲义 函数与导数：指数的定义与运算、对数的定义与运算、指对幂函数的实际应用 复习讲义 考点目录 指数的定义与运算 对数的定义与运算 指对幂函数的实际应用 考点一 指数的定义与运算 【知识点解析】 1．分数指数幂 （1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定． （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 【例题分析】 1．（25-26高三上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【详解】由，得. 故选：D 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 3．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，，，显然B正确. 故选：B 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若，则（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 【答案】D 【详解】设，则， 所以，则， 所以， 所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 6．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7．（24-25高一上·广东汕尾·期末·多选）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 9．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，即， 因为，所以， 因为， 所以. 故答案为：. 10．（25-26高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由，则. 故答案为：. 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 【答案】 【详解】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 13．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 考点二 对数的定义与运算 【知识点解析】 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3.两个对数定值 （1）. （2）. 4.指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5.对数运算法则：如若，则 （1）. （2）. （3）换底公式：. （4），特殊的，，. （5）. 【例题分析】 1．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】， 故选：A 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】由可得，由可得， 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）若，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设，由换底公式可得， 所以，解得或， 由于题干中a、b地位等价，不妨设 ， 则，代入可得， 由于a在对数的底数上，所以且， 由单调可得，解得， 则， 故选：C. 5．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得， 故. 故选：B 6．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试·多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 8．（2025·陕西宝鸡·模拟预测·多选）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 9．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）设正数，满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 10．（22-23高一下·北京延庆·开学考试）计算：= ． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 11．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 【答案】1 【详解】. 故答案为：1. 12．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）求值： ． 【答案】/ 【详解】 . 故答案为： 13．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 14．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知，． (1)分别求P和Q； (2)若，且，求m． 【答案】(1)，． (2)． 【详解】（1）易知， ． （2）因为，所以，， 由换底公式得，，则， 则， 解得． 15．（25-26高三上·陕西·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)10. 【详解】（1）原式； （2）原式. 考点三 指对幂函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 3.指数方程的求解 对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得，化简可得方程得解.（核心是将指数转化为对数，进一步利用对数的运算法则进行求解） 4.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.（核心是将对数转化为指数，进一步利用指数的运算法则进行求解） ※注意单位统一 【例题分析】 1．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 【答案】D 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 【答案】D 【详解】由题意有，所以， 即， 所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为次， 故选：D. 4．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 故选：D 5．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 6．（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 7．（24-25高三上·山东泰安·开学考试·多选）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（    ）个小时会“药物失效”．（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】CD 【详解】依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为， 设至少经过个小时才会“药物失效”， 根据题意可得，两边取对数得， 可得， 所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D. 故选：CD. 8．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习·多选）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可知：，，， 对于A，，而在定义域内单调递增，且， 所以，即，所以，又， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，， 因为，所以，即，所以，故C正确； 对于D，，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，故D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习·多选）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设，则当时，. 可得， 则， 显然在上是减函数，在上是增函数， 则，且, 则有，解得， 又，故调节参数应控制在内， 结合选项可知：AB正确，CD错误； 故选：AB. 10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 12．（24-25高一上·四川南充·期末）通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为 ℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 13．（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 【答案】16 【详解】设两人的“年提升值”为，经过年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 则经过年小王的“聪慧值”为，小李的“聪慧值”为， 由题意，即； 取对数可得， ， 所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 故答案为：16 14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 【答案】10 【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率 已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量. 已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：， 可得：，即，可得：， 两边同时取自然对数可得： 可得：，则. 步骤二：求出记忆38个单词所需的时间 当，，时，代入函数中，可得： 可得：，即， 可得：，两边同时取自然对数可得： 可得： 因为，所以，可得：，解得. 故该学生记忆38个单词大约需要10min. 故答案为：10. 15．（24-25高一上·北京·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 【答案】10 【详解】由题意温度降到50℃时， 温度降到35℃时，， 所以，所以， , 故答案为：10. 16．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午点的城市活力度为，是工作日内活力度的最高值；点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值． (1)分别求、的值； (2)求该工作日内，市活力度不大于的总时长． 【答案】(1)， (2)小时 【详解】（1）由正午点的城市活力度为，知， 代入数据得，解得， 点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值， 故，代入数据得，解得． （2）由（1）知， 当时，令，解得， 当时，令，则， ，，可得，解得， 故一日内只有当时，活力度大于， 即该工作日内有个小时活力度不大于． 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 18．（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 课后提升训练 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误     对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知，则（   ） A．64 B．8 C．6 D．12 【答案】B 【详解】 故选：B. 3．（25-26高三上·云南保山·开学考试）尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家经过探究，已经对地震有所了解．地震时释放出的能量E与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则该地震释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（    ）（注：） A． B．8 C．32 D．64 【答案】C 【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为， 则，， 两式相减得，又，所以，所以， 即日本东北部海域地震释放出的能量是汶川地震释放出的能量的倍. 故选：C 4．（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由题意知：，即， 也即， 由题意有：，以及， 可得：，所以， 故选：A. 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 7．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然且，且， 设，代入，可得：， 即，解得：或． 若，则，即，又因为，所以，则， 解得：，，所以； 若，则，即，又因为，所以，则， 故，解得，故，故. 故选： 8．（25-26高三上·北京·开学考试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（   ） （精确到0.1，参考数据：，） A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．1.1 【答案】A 【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，得到， 两边同时取自然对数得， ， 则， 则给氧时间至少还需要小时. 故选：A 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习·多选）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：，所以，A错误． 选项B：，根据对数性质，则，B正确． 选项C：根据指数运算法则（时，运算有意义），C正确． 选项D：成立的前提是，题目未保证的正负，D错误． 故选：BC． 10．（24-25高三上·山东泰安·开学考试·多选）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（    ）个小时会“药物失效”．（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】CD 【详解】依题意药物实验中，血液中药物含量为，即药物含量为， 设至少经过个小时才会“药物失效”， 根据题意可得，两边取对数得， 可得， 所以至少经过个小时才会“药物失效”，故符合题意的有C、D. 故选：CD. 11．（2025·四川广安·模拟预测·多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD 12．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】且，则， . 故答案为： 13．（24-25高一上·河南周口·期末）已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是 ． 【答案】64 【详解】由该食品在时的保鲜时间是，得，所以， 由在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，得， 所以，所以该食品在时的保鲜时间是． 故答案为：64. 14．（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型 .（用含有、、的式子表示） 【答案】 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案：. 15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）化简与求值： (1)计算： ①；②． (2)已知，若，求下列各式的值： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）① ． ② ． （2）①， ∴； ②，且， ∴． 16．（25-26高三上·北京·阶段练习）（1）解下列不等式： ①；② （2）计算： 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】（1）①因为为增函数， ，所以，即的解集为. ②因为为减函数， ， 所以，解得，即的解集为. （2） . 17．（24-25高二上·云南曲靖·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. (1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； (2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； (3)业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 【答案】(1)3.82（分钟／千米），. (2). (3)3.11分钟／千米. 【详解】（1）由题意，黄雪梅的平均配速为（分钟／千米） 时速为千米／时，配速. （2）因为， 代入数值可得， 解得. （3）由（2）得. 令，则有， 可得， 所以.因此， 即配速的最小值为3.11分钟／千米. 18．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)，定义域为； (2)第9年 【详解】（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元）， 则，其定义域为； （2）由（1）得，即， 所以，即， 所以，又， 故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元. 19．（24-25高一上·安徽亳州·期末）新能源汽车续航能力备受客户的关注．某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验，每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为，设，随里程数（一个里程数等于30公里）的变化数据如下： 里程数 0 1 2 3 4 5 6 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①； ②； ③． (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出的解析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为时，就应该开始寻找充电站，避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了多少公里． 参考数据：． 【答案】(1)选③， (2)（公里） 【详解】（1）由表中数据可知，为单调减函数，则②不符合题意， 当自变量增加量为1时，的减少量越来越小，则①不符合题意，故选③． 由表中数据得，，解得，故． （2）由题意可知，，则， 两边取对数得，， 所以本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了（公里）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：指数的定义与运算、对数的定义与运算、指对幂函数的实际应用复习讲义 函数与导数：指数的定义与运算、对数的定义与运算、指对幂函数的实际应用 复习讲义 考点目录 指数的定义与运算 对数的定义与运算 指对幂函数的实际应用 考点一 指数的定义与运算 【知识点解析】 1．分数指数幂 （1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定． （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 【例题分析】 1．（25-26高三上·广西·开学考试）若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）若，则（   ） A．6 B．12 C．20 D．30 5．（25-26高一上·上海宝山·开学考试）如果为实数，且，那么一定有（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 7．（24-25高一上·广东汕尾·期末·多选）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则 . 10．（25-26高一上·湖南·开学考试）若，，用含的代数式表示，则 ． 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若，则的值为 ． 12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 13．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习） （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 考点二 对数的定义与运算 【知识点解析】 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 （1）以为底的对数叫做常用对数，记作. （2）以为底的对数叫做自然对数，记作. 3.两个对数定值 （1）. （2）. 4.指数式和对数式的互化. （1）由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； （2）由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5.对数运算法则：如若，则 （1）. （2）. （3）换底公式：. （4），特殊的，，. （5）. 【例题分析】 1．（2025高二下·湖南·学业考试）（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·四川广安·开学考试）已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）若，，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 5．（25-26高一上·新疆·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试·多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西宝鸡·模拟预测·多选）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·江苏南通·开学考试·多选）设正数，满足，，则（　　） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·北京延庆·开学考试）计算：= ． 11．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）计算： ． 12．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）求值： ． 13．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3). 14．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知，． (1)分别求P和Q； (2)若，且，求m． 15．（25-26高三上·陕西·阶段练习）求值： (1)； (2)． 考点三 指对幂函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 3.指数方程的求解 对于指数方程，则左右两边同时取的对数，得，化简可得方程得解.（核心是将指数转化为对数，进一步利用对数的运算法则进行求解） 4.对数方程的求解 对于对数方程，则左右两边同时取的指数，得，化简可得方程得解.（核心是将对数转化为指数，进一步利用指数的运算法则进行求解） ※注意单位统一 【例题分析】 1．（2025·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 3．（24-25高二下·福建福州·期末）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 4．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高三上·山东泰安·开学考试·多选）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（    ）个小时会“药物失效”．（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习·多选）当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习·多选）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 12．（24-25高一上·四川南充·期末）通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为 ℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 13．（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 15．（24-25高一上·北京·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 16．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午点的城市活力度为，是工作日内活力度的最高值；点到次日早上点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值． (1)分别求、的值； (2)求该工作日内，市活力度不大于的总时长． 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 18．（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 课后提升训练 1．（24-25高二下·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知，则（   ） A．64 B．8 C．6 D．12 3．（25-26高三上·云南保山·开学考试）尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家经过探究，已经对地震有所了解．地震时释放出的能量E与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则该地震释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（    ）（注：） A． B．8 C．32 D．64 4．（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）B-S模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种B-S模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期.已知，，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·开学考试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（   ） （精确到0.1，参考数据：，） A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．1.1 9．（24-25高二下·浙江·阶段练习·多选）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·山东泰安·开学考试·多选）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么可能经过（    ）个小时会“药物失效”．（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（2025·四川广安·模拟预测·多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知，则 ． 13．（24-25高一上·河南周口·期末）已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：）满足的关系式为，若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是在时保鲜时间的2倍，则该食品在时的保鲜时间是 ． 14．（24-25高三下·上海虹口·期中）1798年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数是随着时间连续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量与成正比，进而建立了人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假设②，并添加了1条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率，使，且仅与和有关；③存在最大人口数，当人口数达到时，.那么在这些假设下建立的人口增长模型 .（用含有、、的式子表示） 15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）化简与求值： (1)计算： ①；②． (2)已知，若，求下列各式的值： ①；②． 16．（25-26高三上·北京·阶段练习）（1）解下列不等式： ①；② （2）计算： 17．（24-25高二上·云南曲靖·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时. 长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以分钟／千米来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5分钟，换算后相应的时速为（千米／时），配速越小速度越快. (1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为千米／时对应的配速分钟／千米的解析式； (2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速（分钟／千米）与血氧饱和度有如下关系：，（，为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为，求和的值； (3)业余长跑者在血氧饱和度低于时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字） （参考数值：，） 18．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%． (1)写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？ （参考数据：，，，，） 19．（24-25高一上·安徽亳州·期末）新能源汽车续航能力备受客户的关注．某科研所对一新款新能源汽车的续航能力进行实验，每行驶30公里，测量一次蓄电池的电量，得到蓄电池的剩余电量占满电量的百分比为，设，随里程数（一个里程数等于30公里）的变化数据如下： 里程数 0 1 2 3 4 5 6 100 90.5 81.95 74.255 67.330 61.097 55.487 现有三种函数模型： ①； ②； ③． (1)请根据表中数据，选择符合实际情况的函数模型，并利用前三组数据求出的解析式； (2)经验表明，为了确保行车安全，当蓄电池的剩余电量为时，就应该开始寻找充电站，避免车辆电量过低导致无法行驶，求本次实验该新能源汽车剩余电量为时大约行驶了多少公里． 参考数据：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $