专题4 幂、指数、对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习 2026高考数学一轮复习 专题4幂函数、指数函数、对数函数 【知识归纳】 (一)幂函数 1、定义:形如的函数叫做幂函数. 2、图像: A、幂函数的图象: B、幂函数(,为最简分式)的图像: (3) 幂函数的图像和性质 A、几个常用幂函数的性质: 定义域 R R R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 奇 偶 非奇非偶 在第 象限的增减性 在第 象限单调递增 在第 象限单调递增 在第 象限单调递增 在第 象限单调递增 在第 象限单调递增 在第 象限单调递减 在第 象限单调递减 在第 象限单调递减 B、幂函数的性质: 当时,幂函数有下列性质: (1)图象都通过点; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内,时,图象是向上的竖直抛物线;时,图象是横卧抛物线型. 当时,幂函数有下列性质: (1)图象都通过点; (2)在第一象限内都是减函数,图象是双曲线型. 注:无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限.越大,幂函数上升或下降的越快. (二)指数函数 1.指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,且,那么叫做的次方根. 当是奇数时,的次方根用符号表示; 当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示, 负的次方根用符号表示; 0的次方根是0;负数没有次方根. ②式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数.当为奇数时,为任意实数;当为偶数时,. ③根式的性质:;当为奇数时,; 当为偶数时, . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:且.0的正分数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是:且.0的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ① ② ③ 2.指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图 象 ( 0 1 ) ( 0 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点,即当时,. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,越大图象越低. 对称 的图像与的图像关于y轴对称 各指数函数底数的大小关系:d>c>1>b>a (三)对数函数 1.对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:. (2)几个重要的对数恒等式 ,,. (3)常用对数与自然对数 常用对数:,即;自然对数:,即(其中…). (4)对数的运算性质 如果,那么 ①加法: ②减法: ③数乘: ④ ⑤ ⑥换底公式: (5)指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1)af(x)=b f(x)=logab;logaf(x)=b f(x)=ab(定义法) (2)af(x)=ag(x) f(x)=g(x);logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(同底法) (3)af(x)=bg(x) f(x)logma=g(x)logmb;(两边取对数法) (4)logaf(x)=logbg(x) logaf(x)= logbg(x);(换底法) (5)A+Blogax+C=0(A(ax)2+Bax+C=0)(设t=logax或t=ax)(换元法) 2.对数函数的图像与性质 函数名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图 象 ( 0 1 ) ( 0 1 ) 定义域 值域 过定点 图象过定点,即当时,. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内,越大图象越靠低;在第四象限内,越大图象越靠高. 对称 的图像与的图像关于x轴对称 各对数函数底数的大小关系:b>a>1>d>c 3.对数函数与指数函数的关系 ①对数函数是指数函数的反函数 (因为是的解,所以说对数运算是指数运算的一种逆运算) ②指数函数的图像与其同底对数函数的图像关于直线对称, 指数函数(原函数)过点,则对数函数(反函数)过点,反之亦然. 【题型归纳】 题型1 指数幂的运算、指数幂的化简、求值 1.(24-25高三上 上海 阶段练习)已知,将化为有理数指数幂形式,则 . 【答案】 【详解】. 2.(2024 上海宝山 二模)将(其中)化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】 3.(23-24高三上 上海浦东新 期中)已知,则的最小值为 【答案】32 【详解】因为, 所以. 4.(23-24高三上 上海浦东新 阶段练习)若,则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】有意义,有, 由得到,即,所以,解得; 5.(22-23高三上 上海嘉定 期中)已知,,则 . 【答案】 【详解】,. 6.(22-23高三上 上海虹口 阶段练习)若、为方程的两个实数解,则 . 【答案】 【详解】因为,且,所以,,即, , 由题意可知,、为方程的两根,由韦达定理可得. 7.(22-23高三下 上海宝山 阶段练习)若实数满足,则的最小值为 . 【答案】 【详解】,当且仅当, 即时取到等号. 8.(2021 上海青浦 模拟预测)已知常数,函数的图象经过点、,若 ,则 【答案】; 【详解】由条件可知,得 ① ,得 ② ①②得, ,又,得. 9.(2020高三 上海 专题练习)若,,且,则 . 【答案】 【详解】因为,则, 当,时,, 故. 10.(2024 上海 模拟预测)已知正实数满足,,则 . 【答案】/ 【详解】令,则, 由,得, 所以,解得或, 所以或, 所以或, 当时,则, 由,得,所以, 由,又,解得, 所以; 当时,由,得,所以, 由,又,解得, 所以, 综上所述,. 11.(2024 上海闵行 三模)早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算术中项,几何中项以及调和中项,毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中算术中项,几何中项的定义与今天大致相同.若,则的最小值为 . 【答案】 【详解】不妨设,,则,, 所以,当且仅当时取等号, 即,当且仅当时取等号, 所以 ,() 所以当时,取得最小值. 故答案为: 题型2 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 12.(24-25高三下 上海虹口 阶段练习)已知幂函数的图象经过点,则 . 【答案】 【详解】,,,. 13.(2025 上海浦东新 三模)已知幂函数在上严格增,则实数 【答案】 【详解】由题设,可得. 14.(2025 上海徐汇 二模)已知幂函数的图像过点,则该幂函数的值域是 . 【答案】 【详解】设幂函数, 代入点可得,即, 可得, 因为,可得,所以该幂函数的值域是. 15.(24-25高三下 上海 阶段练习)幂函数在上是严格增函数,且经过,则a的值可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为幂函数在上是严格增函数,所以,故A错误. 对于B,若,则,当时,,不经过,故B错误. 对于C ,若,则,当时,,经过,故C正确. 对于D,若,则,定义域为,不符合题意,故D错误. 16.(2024 上海长宁 一模)已知函数的大致图像如图所示,则 . 【答案】 【详解】因为图像关于轴对称,所以函数是偶函数; 又因为图像与坐标轴无交点,所以指数为负数.综上所述,. 17.(24-25高三上 上海 期中)设与是两个不同的幂函数,记,则中的元素个数的可能是( ). A.0、1、2、 B.1、2、3 C.1、2、3、4 D.0、1、2、3 【答案】B 【详解】设,, 由幂函数图像可知,,故至少存在一个解; ②若,在0处都有定义,则,故可能存在解, ③若,同为奇函数或者偶函数,由对称性可知,或,故可能存在解, 综上所述:中的元素个数的可能是:1,2,3. 18.(24-25高一上 四川内江 期中)已知幂函数过点,若,则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可设,因为函数过点, 所以,所以函数, 所以函数是定义在上的增函数, 所以若,则, 所以实数的取值范围是. 19.(24-25高三上 上海 期中)已知幂函数是偶函数,且在区间上为严格减函数,,则 . 【答案】 【详解】由于幂函数在区间上为严格减函数, 所以,解得, 所以, 由于幂函数是偶函数,所以是偶数, 所以是奇数,所以, 此时函数为,符合题意. 20.(24-25高三上 上海 期中)幂函数中,的取值集合是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合 . 【答案】 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则集合. 故答案为:. 21.(2023•长宁区二模)当x∈[a,+∞)时,幂函数y=x2的图像总在的图像上方,则a的取值范围为 (1,+∞) . 22.(2020 上海宝山 三模)若,且函数与的图象恰有两个交点,则满足条件的不同集合有 个 【答案】4 【详解】图象与、、、的图象有1个、1个,2个、2个交点; 图象与、、的图象有1个、1个,1个交点; 图象与、的图象有2个、2个交点; 图象与的图象有3个交点, 综上可得,满足函数与的图象恰有两个交点的集合有4个: , 题型3 指数函数的运算、图像、性质 23.(2025 上海 高考真题)设.下列各项中,能推出的一项是( ) A.,且 B.,且 C.,且 D.,且 【答案】D 【详解】∵,∴, 当时,定义域上严格单调递减, 此时若,则一定有成立,故D正确,C错误; 当时,定义域上严格单调递增,要满足,需,即A、B错误. 24.(2024 四川成都 三模)已知函数,则的值为 【答案】/ 【详解】由函数,因为,所以. 25.(24-25高三上 上海 期中)设,若实数,满足,且函数的图像可以无限接近直线但又永远不相交,则不等式的解集为 . 【答案】或 【详解】解:因为趋近时,趋近于0, 所以趋近时,趋近于,所以,所以, 所以,所以不等式可化为, 又因为是减函数,所以,解得或. 26.(24-25高三上 上海 期中)已知常数,函数经过一个定点,则该定点坐标为 . 【答案】 【详解】对函数解析式变形,得到, 令,解.代入解析式,得到,经过一个定点. 27.(23-24高三上 上海闵行 阶段练习)已知函数与函数的图象交于点M、N、P,此三点中最远的两点间距离为,则实数 . 【答案】 【详解】不妨记,, 函数,与是奇函数且关于坐标原点对称, 所以两个函数均是以点为对称中心的函数, 所以三个交点其中一个必是点,另外两个点关于点对称, 不妨记,设, 所以,即,解得或,. 28.(22-23高一上 湖南邵阳 期末)若,则有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】∵函数在上是减函数,又, ∴. 29.(2023 上海金山 一模)若时,指数函数的值总大于1,则实数的取值范围是 . 【答案】或 【详解】由已知可得,且. 又时,, 即 , 所以有,即, 解得或. 30.(2005 福建 高考真题)函数的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由图象可知,函数为减函数, 从而有; 法一:由图象,函数与轴的交点纵坐标, 令,得, 由,即,解得 . 法二:函数图象可看作是由向左平移得到的, 则,即. 31.(2022 全国 模拟预测)已知,若存在,使得,则的取值范围为 . 【答案】 【详解】①当时,则,, 又由,得, 所以,则; ②当时,因为,, 所以不存在,使得; ③当时,则,, 又由,得, 则,, 令,则在上单调递增, 所以,则; 综上所述,的取值范围为. 32.(2025 上海金山 二模)已知定义在上的函数,满足以下两个条件:(1)对任意恒成立,且;(2)对任意都有,则下列关于函数的表述中正确的个数为( ) ①;②;③函数有最小值. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【详解】由任意,都有, 令,可得,因为,解得,故①正确; 令,,可得, 整理得,又,得,故②正确; 对于③举反例,如, 满足条件(1),又,, 则,满足条件(2), 而没有最小值,故③错误. 所以正确的有2个. 33.(22-23高三上 上海宝山 开学考试)设,是以为周期的函数,,若函数,的值域为,则函数,的值域为 . 【答案】 【详解】设,则, ,所以,, 故函数在上的值域为,同理,在上的值域为, 在上的值域为,在上的值域为. 因此,函数,的值域为. 34.(24-25高三下 上海 阶段练习)已知函数,则 . 【答案】 【详解】因为,所以. 35.(2024 上海奉贤 一模)设若,则 . 【答案】1 【详解】当时,,解得:,满足; 当时,,方程无解,所以, 36.(24-25高三上 上海 阶段练习)已知,关于方程的解 . 【答案】或 【详解】当时,方程即方程,解得; 当时,方程即方程,解得; 综上,方程的解或. 37.(2023 上海宝山 一模)设为常数,若,则函数的图象必定不经过第 象限 【答案】二 【详解】已知, 则指数函数单调递增,过定点,且, 函数的图象是由函数函数向下平移个单位, 作出函数的图象,可知图象必定不经过第二象限. 38.(2023 上海 模拟预测)已知函数,则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为,所以等价于, 在同一直角坐标系中作出和的图像如图: 两函数图像的交点坐标为, 由图可知:当或时,成立, 所以不等式的解集为:. 39.(20-21高一上 山东青岛 期中)已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a,b的值. (2)判断函数的单调性,并用定义证明. (3)当时,恒成立,求实数k的取值范围. 【答案】(1),. 【详解】(1)因为在定义域为R上是奇函数,所以,即, ∴,又∵,即,∴. 则,由, 则当,原函数为奇函数. (2)由(1)知, 任取,设,则, 因为函数在R上是增函数,,∴.又, ∴,即,∴在上为减涵数. (3)因是奇函数,从而不等式:, 等价于, 因为减函数,由上式推得:. 即对一切有:恒成立,设, 令,则有, ∴, ∴,即k的取值范围为. 题型4 对数的运算性质 40.(2024 上海 三模)若正实数、满足,则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得,可得, 由对数性质可知,根据基本不等式可知,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为4. 41.(2025 浙江绍兴 模拟预测)若成等比数列,则实数 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可知,, , 得. 42.(24-25高三下 上海静安 期中)已知,则 .(请用含的代数式表达) 【答案】 【详解】由题意得,. 43.(24-25高三上 上海 阶段练习)若,,试用a,b表示 . 【答案】 【详解】, 因为,所以,所以. 44.(2024 上海宝山 一模)若,且,则 . 【答案】6 【详解】由可得, 故, 由于,故 45.(24-25高三上 上海 阶段练习)若,,则 (用,表示). 【答案】 【详解】由题设,, 所以,, 所以,,而, 所以. 46.(24-25高三上 重庆 阶段练习)若,,且,则 . 【答案】1 【详解】令,则,,, 故. 47.(2024 上海奉贤 三模)若,则 .(结果用的代数式表示) 【答案】/ 【详解】. 48.(2024 全国甲卷 高考真题)已知且,则 . 【答案】64 【详解】由题,整理得, 或,又, 所以,故 49.(23-24高三上 上海虹口 期中)方程的解为 . 【答案】/ 【详解】由题,. 50.(24-25高三上 北京 阶段练习)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为, 又因为在上单调递增,又,所以, 所以. 51.(2023•静安区二模)若10x﹣10y=10,其中x,y∈R,则2x﹣y的最小值为 1+2lg2 . 【解答】解:∵10x﹣10y=10, ∴10x=10y+10=2,当且仅当10y=10,即y=1时,等号成立, 两边平方得:102x≥4 10y+1, ∴≥4,即102x﹣y﹣1≥4, ∴2x﹣y﹣1≥lg4, ∴2x﹣y≥1+lg4=1+2lg2,当且仅当y=1,x=1+lg2时,等号成立, 即2x﹣y的最小值为1+2lg2. 52.(2023•青浦区校级模拟)若实数b>a>1,且logab+logba=,则3lna﹣lnb= 0 . 【解答】解:∵b>a>1,∴logab>1,设logab=t, ∵logab+logba=,∴t+=,即3t2﹣10t+3=0, ∵t>1,∴t=3,∴logab=3,∴b=a3,∴3lna﹣lnb=3lna﹣lna3=3lna﹣3lna=0 题型5 对数函数的图象与性质 53.(2025 上海 模拟预测),则 的解集为 . 【答案】 【详解】由题意可得函数定义域为, 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数,且, 所以,即, 54.(2025 上海浦东新 三模)已知(且). (1)若,解方程,求的值; (2)若,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)当时,则,因为, 所以,化简可得, 即,化简得, 所以,所以, 解得或,即或; (2)当时,函数在上单调递减,若, 则,解得; 当,函数在上单调递增,若, 则,解得, 综上所述:的取值范围为. 55.(24-25高三下 上海 阶段练习)设(且,).若对任意,均成立,则当时,的取值范围为 . 【详解】由均成立,可得恒成立, 即, 则,因为,所以,解得, 所以, 由,则, 故答案为: 56.(2025 上海宝山 二模)已知函数且)的图像经过定点,则点的坐标为 【答案】 【详解】令,可得. 所以定点的坐标为. 57.(24-25高三下 上海 阶段练习)已知,若,则的最大值为 . 【答案】1 【详解】因为,, 所以,故, 又, 当且仅当或时等号成立; 所以的最大值为. 58.(2023 上海嘉定 三模)函数满足,当时,,则 . 【答案】1 【详解】由得函数的最小正周期为2. 由周期性可得,, 当时,,则. 所以. 59.(2024 上海虹口 一模)设且,则函数的图像恒过的定点坐标为 . 【答案】 【详解】令,可得恒成立, 所以函数的图象恒过定点. 60.(2024 上海普陀 模拟预测)函数,且的图像恒过定点A,若点A在直线上,其中,,则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为,所以函数且的图象恒过定点, 即, 又点A在直线上,故, 又,所以, 当且仅当即时等号成立, 所以的最小值为2. 61.(24-25高三上 上海 期中)已知函数的值域是,则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令,则,要使得的值域为,则函数的值域满足, 当时,即函数开口向上,且最小值小于等于0, ∴,∴, 当时,满足题意, 综上所述:. 62.(24-25高三上 上海 阶段练习)若函数在上是严格减函数,则实数的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为在定义域上单调递减, 要使函数在上是严格减函数, 则在上单调递增且大于恒成立, 所以,解得, 即实数的取值范围. 63.(24-25高三上 上海 阶段练习)已知,,若,则满足条件的x的取值范围是 . 【答案】或 【详解】∵, ∴, ∴或,∴或 64.(24-25高三上 广西贵港 开学考试)已知函数,且的图象不经过第一象限,则函数的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】当时,函数单调递增,图象经过第一象限,不合题意; 当时,函数单调递减,图象不经过第一象限,合题意; 显然此时,则函数为单调递增,又恒过点, 因此函数的图象不过第四象限. 65.(2024 全国 模拟预测)已知,则实数的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】令,其在R上单调递减, 又, 由零点存在性定理得, 则在上单调递减,画出与的函数图象, 可以得到, 又在R上单调递减,画出与的函数图象, 可以看出, 因为,故,故, 因为,故, 由得,. 综上,. 66.(22-23高一下 河南 阶段练习)已知函数在上单调递增,则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数在上单调递增, 依题意,,,且在上单调递增, 因此,解得, 所以a的取值范围是. 67.(21-22高三上 河南 阶段练习)已知函数,,若,,使得,则 . 【答案】78 【详解】时,, 时,, ∵,, 由题意可知,, ∴,,∴,∴﹒ 68.(22-23高一上 上海浦东新 期末)已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)当时,恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1); (2). 【详解】(1)当时,, 由 ,所以不等式的解集为; (2)令,因为,所以, ,因为, 所以由, 因为,所以,当且仅当时取等号,即时,取等号, 因此当时,恒成立, 只需,所以实数的取值范围为. 69.(2025 上海金山 二模)已知函数是定义在上的奇函数,当时,. (1)求的值; (2)若,求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)因为函数是定义在上的奇函数, 所以, 所以; (2), 令,问题等价于求的值域, 函数图象开口向上,对称轴为直线, , 函数的值域为. 70.(24-25高三上 上海 期中)已知函数,则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】根据可知定义域为, 且该函数为偶函数,在上单调递增, 因此即为; 即可得,解得且, 因此不等式的解集为. 71.(24-25高三上 上海 阶段练习)设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在上是单调函数;②在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”,下列结论错误的是( ) A.函数存在“和谐区间” B.函数不存在“和谐区间” C.函数存在“和谐区间” D.函数不存在“和谐区间” 【答案】B 【详解】A中,当时,在上是单调增函数,且在上的值域是,存在“和谐区间”,原命题正确; B中,当时,在上是单调增函数,且在上的值域是, 存在“和谐区间”,原命题错误; C中,,分子分母同时除以,得, 函数在是严格增函数,且在上的值域是存在“和谐区间”, 原命题正确; D中,当时,是单调增函数, 假设存在满足题意,则,且, 即,且,且,即,且; 由和的图象可知,方程无解,假设不成立,即函数不存在“和谐区间”, 原命题正确; 72.(21-22高一上 重庆 期末)已知函数的值域为,则实数的取值范围是 【答案】 【详解】函数,所以当时,, 所以时,得取遍所有大于1的数,故其指数得取遍所有大于0的数. 因为,, 当时,不成立; 当时,其开口向下,有最大值,无法去到正无穷,舍去; 当时,其开口向上,对称轴大于0,故需对称轴对应的值小于等于0,故有:且 ,综上所述,实数的取值范围是. 故答案为:. 73.(18-19高三 全国 阶段练习)已知函数. ( )当时,求函数在上的值域; ( )若函数在上单调递减,求实数的取值范围. 【答案】( )( ) 【详解】( )当时,, 此时函数的定义域为. 因为函数的最小值为. 最大值为,故函数在上的值域为; ( )因为函数在上单调递减, 故在上单调递增,则 解得,综上所述,实数的取值范围. 74.(19-20高一上 安徽滁州 期末)已知函数的最小值为. (1)求b的值; (2)若不等式对恒成立,求x的取值范围; (3)若函数的零点之积大于2,求m的取值范围. 【答案】(1);(2);(3) 【详解】(1)的最小值为.又. (2)不等式对恒成立, 不等式对恒成立. 设函数,则, 解得,即x的取值范围为. (3)令,得.则或, 解得,,,而的零点之积大于2. 则. 解得,故m的取值范围为. 75.(23-24高一下 河南洛阳 期末)已知函数,. (1)求函数的最大值; (2)设不等式的解集为,若对任意,存在,使得,求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【详解】(1) , ,, 当,即时,,当,即时,, 当时,的最大值为2. (2)由,得, 即,, 设,则当,,, , 设, 由题意,是当时,函数的值域的子集. ①当,即时,函数在上单调递增, 则解得. ②当,即时,函数在上单调递减, 则不等式组无解. ③当,即时,函数在上单调递减,上单调递增, 则函数的最大值是与的较大者. 令,得, 令,得,均不合题意. 综上所述,实数的值为. 第1页,共3页 第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$