余弦定理、正弦定理的综合应用 专项训练 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

余弦定理、正弦定理的综合应用 专项训练 1.(多选题)(2024江苏南京师大附中期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列条件能推出A=的是(　　) A.acos C=b+ B.bsin =asin B C.||=||=1,且= D.m=-2,n=+,且m在n上的投影向量为- 2.(2024安徽黄山段考)如图1,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内,其平面图形如图2所示.已知∠ABM=30°,∠BAN=45°,∠MAN=60°,∠MBN=90°,AB=2,则MN=(　　) 　　 A.5(-1)　　B.5　　 C.5(+1)　　D.10 3.(2024湖北武汉期中)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且(b2-c2)·sin B=2S,若a=kc,则k的取值范围是(　　) A.(1,3)　　B.(0,1)　　C.(1,2)　　D.(0,2) 4.(2024湖南三湘名校教育联盟期中)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=2,A=,则△ABC的内切圆半径的最大值为(　　) A.　　B.　　C.　　D.1 5.(2024北京顺义第二中学月考)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,c=4,给出下列四个结论: ①若a=2,则△ABC有两解; ②△ABC周长的最大值为12; ③的取值范围为(-∞,-2)∪-,+∞; ④·的最大值为8+. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  6.(2024湖南师范大学附属中学期中)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-2c=0. (1)求A; (2)若角A的平分线交BC于点D,且AD的长为1,b+c=6,求sin Bsin C的值. 答案 1.BC　对于A,由余弦定理的推论得a·=b+,化简得a2-b2-c2=bc,所以cos A==-,又A∈(0,π),所以A=,故A不符合题意; 对于B,由正弦定理得sin Bcos =sin Asin B, 又sin B>0,所以cos =2sin cos ,又∈,所以sin =,所以=,故A=,故B符合题意; 对于C,由=,得|-|=|+|,两边平方得3(-2·+)=+2·+,即8·=4,所以·=, 所以cos A==, 又A∈(0,π),所以A=,故C符合题意; 对于D,因为m在n上的投影向量为·=-,所以=-,又m=-2,n=+,所以=-,化简得=,无法推出A=,故D不符合题意. 2.C　在△ABM中,由∠BAM=∠BAN+∠MAN=105°,∠ABM=30°,得∠AMB=45°, 由正弦定理得=,则AM===, 在△ABN中,由∠ABN=∠ABM+∠MBN=120°,∠BAN=45°,得∠ANB=15°,则sin∠ANB=sin 15°=sin(45°-30°)=×-×=, 由正弦定理得=,则AN===3+, 在△AMN中,由余弦定理得MN= = ==5(+1). 3.C　因为S=acsin B,所以(b2-c2)·sin B=2S=acsin B,因为sin B≠0,所以b2=ac+c2, 又b2=a2+c2-2accos B,所以ac+c2=a2+c2-2accos B,即ac=a2-2accos B, 因为a>0,所以c=a-2ccos B,由正弦定理得sin C=sin A-2sin Ccos B, 因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin C=sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C), 因为△ABC为锐角三角形,所以C=B-C,即B=2C, 由解得B∈, 因为a=kc,c=a-2ccos B,所以cos B==k-∈,解得k∈(1,2). 4.B　设△ABC的内切圆半径为r,由bcos C+ccos B=2, 得b·+c·=+=a=2, 因为S△ABC=bcsin A=(a+b+c)r,所以r=·, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时等号成立, 由4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,得b+c=, 故r=·=·,其中0<bc≤4, 令=t(2<t≤4), 则r=·=(t-2)∈. 故△ABC的内切圆半径的最大值为. 5.答案　②③④ 解析　对于①,由正弦定理得sin A===<1, 因为a=2<4=c,所以A<C=,所以角A为锐角,故△ABC有一解,故①错误; 对于②,由余弦定理的推论得cos C===, 则(a+b)2-16=3ab≤=(a+b)2,所以a+b≤8,当且仅当a=b=4时取等号, 所以a+b+c≤8+4=12,所以△ABC周长的最大值为12,故②正确; 对于③,===-+tan A, 因为A∈,且A≠,所以tan A的取值范围为(-∞,-)∪(0,+∞), 所以的取值范围为(-∞,-2)∪,故③正确; 对于④,由正弦定理得==, 则b=sin B, 故·=bccos A=4bcos A=4×sin Bcos A=sin Bcos A, 因为B=-A,所以·=cos Asin =cos Acos A+sin A =16cos2A+sin Acos A=8(1+cos 2A)+sin 2A =sin 2A+8cos 2A+8=+8 =sin+8, 因为0<A<,所以0<2A<,所以<2A+<, 所以当2A+=,即A=时,·取得最大值,为8+,故④正确. 6.解析　(1)∵acos C+asin C-b-2c=0, ∴由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-2sin C=0, 即sin Acos C+sin Asin C=sin B+2sin C=sin(A+C)+2sin C=sin Acos C+cos Asin C+2sin C, 即sin Asin C=cos Asin C+2sin C=sin C(cos A+2). 又sin C>0,∴sin A=cos A+2,即sin A-cos A=2, 即2sin=2,即sin=1. ∵A∈(0,π),∴A-∈, ∴A-=,∴A=. (2)由(1)知∠BAC=. ∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=, ∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=bsin +csin =bcsin , ∴bc=b+c=6. 在△ABC中,由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(b+c)2-2bc-2bccos =(b+c)2-bc=36-6=30, ∴a=. 由正弦定理可知sin B=,sin C=, ∴sin Bsin C=×===. 7 学科网（北京）股份有限公司 $