精品解析：湖南省长沙市一中双语实验学校2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

25年九上第一次测试数学 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图象，故不符合题意； 故选：A． 2. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 【详解】解：无论为何值，这组数据的中位数均为，不受影响， 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为； 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为． 故选： 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项：字母和字母指数不变，系数相加、完全平方公式：、幂的运算，，，对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由合并同类项法则得：，故A不符合题意； B、由完全平方公式得：，故B不符合题意； C、由同底数幂乘法法则得：，故C符合题意； D、由幂的乘方和积的乘方法则得：，故D不符合题意. 故选：C． 4. 已知是完全平方式，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．根据是完全平方式可得，再计算完全平方式，由此即可得． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式． 由题意可知，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6. 我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：将0.000075用科学记数法表示为：． 故选：C． 7. 已知抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 形状与相同 C. 顶点是 D. 函数最大值为4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线形状与相同，此选项正确； C、抛物线顶点坐标是，此选项错误； D、抛物线抛物线开口向下，顶点坐标是，函数有最大值为4，此选项正确． 故选：C． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 9. 下列说法正确的有（ ） （1）同一条弦所对的两条弧一定是等弧； （2）平分一条弦的直径必然垂直这条弦； （3）任意一个三角形有且只有一个外接圆； （4）在圆中直角所对的弦是直径． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题的关键是掌握圆的相关性质．根据等弧的定义、垂径定理、三角形的外接圆、圆周角定理等知识一一判断即可． 【详解】解：（1）同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径，故原说法错误； （2）当这条弦是直径时，平分这条弦的另一条直径不一定垂直于它，故原说法错误； （3）任意一个三角形有且只有一个外接圆，故原说法正确； （4）在圆中90度的圆周角所对的弦是直径，故原说法错误； 本题说法正确的有个， 故选：A． 10. 如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：连接、， ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确，共4个， 故选：D． 二、填空题 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 12. 若分式方程无解，则的值为___________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解与方程增根的关系是解题的关键．先解分式方程得，再由方程无解可知，解出m即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 移项，得， 合并同类项，得， ∵方程无解， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，A、B、C 是上三点，，则＝_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．在优弧上取点D，连结，设，则，利用四边形内角和为列方程计算即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连结，设， 则， ∵，且四边形内角和为 解得：， ． 故答案为：． 14. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征：横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求出x与y的值，从而求解． 【详解】解：∵点P关于原点对称的点的坐标为， ∴， 解得：， 则为， 故答案为：． 15. 一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．先根据当时，有可得随的增大而减小，则可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵一次函数图象上有两点、，当时，有， ∴对于这个一次函数，随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接．证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质、取绝对值符号，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质，绝对值的意义分别化简，再进行加减运算即可得出答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中a是从，0，2，4中选取的一个适当的数． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再根据分式有意义的条件可得，然后把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 根据题意得：且且， ∴a不能取4和0和2， ∴， 当时，原式． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请你画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点即为所求． 由图可知，点的坐标为． 故答案为：． 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的视力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 4.8 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取的学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； 【答案】（1）60， 补全条形统计图如图： （2），，144 （3）估计九年级学生视力正常的人数为135人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的意义以及统计图，样本估计总体： （1）根据表格条形统计图可得B组人数，再根据扇形统计图可得B组占比，再根据D组占比得出D组人数，补全条形统计图即可； （2）从条形统计图可得中位数和众数，先求出C组占比，再求出C组对应的圆心角即可； （3）用样本估计即可； 【小问1详解】 解：根据表格条形统计图可得B组人数为12人，再根据扇形统计图可得B组占比为， 被抽取的学生共有（人）， D组人数为（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得A组、B组、D组的人数是15、12，9， 被抽取的学生视力为的人数，最多有16人；众数为； 被抽取的学生视力由大到小排列，第30和31个数据都是4.8和4.7，故中位数为； C组占比为， C组对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校九年级540名学生中视力正常的大约有135人． 21. 如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当边、满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是菱形；理由如下： ，是边的中点， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质； （1）由已知条件，据证得：； （2）由，是边的中点，可知，所以、互相垂直平分，根据菱形的判定定理，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． 【小问2详解】 ①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②略 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． （1）若E点为对角线的中点，则 ； （2）求证：矩形是正方形； （3）求的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：如图，作于M，于， 四边形是正方形， ， 于M，于N， ， ∵， 四边形是矩形， ， ∴， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）若E点为对角线的中点，根据正方形的性质得出，进而解答即可； （2）如图，作于M，于，只要证明即可解决问题； （3）证明，可得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：若E点为对角线的中点， 四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∴． 24. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： （1）推理论证：请补全材料中的证明过程； （2）类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， 点是半圆的圆心， ， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ； （2） 如图，线段即为所求； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质以及勾股定理的应用以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式和矩形和正方形的性质的运用． （1）由题意连接，先求出和，再利用勾股定理求出，进而根据正方形和矩形的面积即可证明； （2）根据题意在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求；然后连接，先求出，的长，再利用勾股定理求出，从而可得为边的正方形的面积，然后根据等腰三角形的三线合一可得的长，利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可证明； （3）由题意连接，，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，进而即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在的延长线上截取，再作的垂直平分线，交于点，然后以点为圆心，长为直径作半圆，最后延长，交半圆于点，则线段即为所求； 证明：如图，连接， 设，，则， ∴， ∵点是半圆的圆心， ∴， ∴， ∴是边上的高， ∴， ∵在中，， ∴以为边的正方形的面积为， ∵在中，，是边上的高，， ∴， ∴的面积为， ∴以为边的正方形与的面积相等， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（1）已知：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，即， ， 解得或 (不符合题意，舍去)， 又， 或(不符合题意，舍去)， ， ． 故答案为：． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得直线的函数解析式为，设与直线平行的直线的函数解析式为，由题意，当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点．联立方程组得，由根的判别式列方程求得，进而求得方程的解即可； （3）将点代入直线解析式，进而得出直线，联立抛物线与直线，利用一元二次方程根和系数的关系，得到，进而得到的中点的横坐标，从而得到点，同理可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得到直线必经过定点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数和直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等知识，题目较难，计算量大，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25年九上第一次测试数学 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是完全平方式，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 6. 我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 形状与相同 C. 顶点是 D. 函数最大值为4 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的有（ ） （1）同一条弦所对的两条弧一定是等弧； （2）平分一条弦的直径必然垂直这条弦； （3）任意一个三角形有且只有一个外接圆； （4）在圆中直角所对的弦是直径． A. B. C. D. 10. 如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12. 若分式方程无解，则的值为___________ 13. 如图，A、B、C 是上三点，，则＝_______． 14. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 15. 一次函数图象上有两点、，当时，有，那么的取值范围是_______． 16. 如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中a是从，0，2，4中选取的一个适当的数． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的； （2）请你画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，此时点P的坐标为______． 20. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的视力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 4.8 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取的学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； 21. 如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当边、满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 22. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 23. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点．连接，过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形． （1）若E点为对角线的中点，则 ； （2）求证：矩形是正方形； （3）求的值． 24. 阅读与思考 下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 构造等面积正方形 如图，在矩形中，，，延长至点使得，以为直径作半圆，圆心为点，延长交半圆于点，以为边作正方形（点在线段上），则正方形的面积等于矩形的面积． 证明：连接， ，， ．， ． 点是半圆的圆心， ． 任务： （1）推理论证：请补全材料中的证明过程； （2）类比应用：如图，在中，，是边上的高．请在图2中作线段，使点在射线上，且以为边的正方形与的面积相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）深入思考：如下图，按材料中的方法构造与矩形面积相等的正方形，若点恰好落在半圆上，则此时的值为________． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $