达标测试(五) 平面向量及其应用、复数-【创新教程】2026年山东省普通高中学业水平合格考数学模拟检测

山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（五） ) (平面向量及其应用、复数) 满分100分，考试限定用时90分钟 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共 5.下列有关正弦定理的叙述： 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 ①正弦定理只适用于锐角三角形； 合题目要求的) ②正弦定理不适用于直角三角形： 尔 1.下列五个命题： ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角 ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； 的正弦的比是定值； ④在△ABC中，若内角A,B,C所对的边分别 ②向量a≠b,则a与b的方向必不相同； 为a,b,c,则A:BC=a:b:c. ③a|>|bl,则a>b: 其中正确的个数是 ( ④向量a是单位向量，向量b也是单位向量， A.1 B.2 则向量a与向量b共线； 中 C.3 D.4 ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南 6.已知向量a=(-1,2),b=(1,1),则3a+b= 40°的向量一定是平行向量. 其中正确的是 A.(2,7) B.(-2,7) A.①⑤ B.③ C.(-2,-5) D.(2,-5) C.⑤ D.②④ 7.(2025·北京卷，2)已知复数之满足i·+2= 如 2.若复数2一bi(b∈R)的实部与虚部互为相反 2i,则||= () 数，则b的值为 阳 A.√2 B.2√2 A.-2 C.4 D.8 8.已知平面向量a=(1,2),b=(一1，)，若a⊥ C.-2 D.2 b,则实数入= 3.已知向量a=(5,2),b(-4,-3).若c满足3a A号 R一号 一2b+c=0,则c= ( C.-2 D.2 A.(-23,-12) B.(23,12) 9.已知平面向量a=(2,一1)，b=(1,1),c= C.(7,0) D.(-7,0) (一5,1).若(a+b)∥c,则实数k的值为() 4.在平行四边形ABCD中，AC-AD=( A.2 B司 A.AB B.BA C.CD D.DB c D.- 5-1 10.若非零不共线a,b满足|a十b=|b1,则( ) 17.已知△ABC的边BC上有一点D满足BD A.12al>12a+bl B.12al<12a+bl 3DC,则AD可表示为 ) C.|2b|>|a+2b1 D.1261<la+2b1 A.AD=-2AB+3 AC 11.在△ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)= B.AD-3AB+LAC 4 4 3bc,那么A等于 A.30° B.60° C.AD-1AB+3AC C.120° D.150° D.A-名AB+ 12.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且 c=入1a+入2b,则A1,入2的值分别为( 18.设e是实数，且什与+1生是实数，则a等于 A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 A号 B.1 13.(2024·新课标1卷，2)若：号=1十i,则 c号 D.2 A.-1-i B.-1+i 19.在△ABC中，oA=号，AB=2,BC=3,则 C.1-i D.1+i △ABC的面积为 14.如图，D、E、F分别是 A.1 B.2 △ABC的边AB、BC、 D C.22 D.3√2 CA的中点，则( 20.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, A.AD+BE+CF=0 b,c,若(a2+c2-2)tanB=3ac,则bsin A a B.BD-CF+DF=0 的值为 () C.AD+CE-CF=0 A.1 D.BD-BE-FC=0 15.已知平面向量a=(一1,1)，b=(2,0),则a C② 2 n 在b上的投影向量为 ( 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） A.(-1,0) B.(1,0) 21.(2024·天津卷，10)已知i是虚数单位，复数 C.(-√2,0) D.(√2,0) (√5+i)·(√5-2i)= 16.若复数之满足十i一3=3一i,则之等于() 22.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a= A.0 B.2i (x,1),b=(x-1,2.x),若a⊥(a-b),则|a C.6 D.6-2i 5-2 23.(2023·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简 27.(8分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 计的结果为 a,b,c,(26-c)cos A=acos C. (1)求A; 24.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足 (2)若△ABC的面积为√5，BC边上的高为 1,求△ABC的周长. 1a-b=√3，|a+b|=|2a-b|,则1b|= 25.在△ABC中，若A:B=1:2,且∠ACB的 平分线CD把△ABC分成面积比为5：3的 两部分，则cosA 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 26.(8分)已知之∈C且|x=1,求|x2-之+1|的 最值. 5-3 28.(9分)在△ABC中，设A、B、C的对边分别 (2)若b=4√2，且c=√2a,求△ABC的面积」 为a、b、c,向量m=(cosA,sinA),n=(√2- sinA,cosA),若|m十n|=2. (1)求角A的大小； 时 些 5-427.解：(1)f(x)=2W3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2 =23sin2x-(1-2sin xcos r)=3(1-cos 2x)+ sin2.x-1=sin2.x-√3·cos2x+V3-1= 2sin(2z-吾）十5-1，由2kx-受≤2x-吾≤2kx 十受(k∈Z,得k一音<<km+晋(k∈D, 所以fx)的单洞递增区间是[kx一音kx+] ∈z(支(x一是x+)∈） (2)由1)知f(x)=2sin(2x-号）+5-1，起y f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变，得到y=2sin(一吾）十5-1的图象， 再把得到的图象向左平移否个单位，得到y=2sinx +√3-1的图象，即g(x)=2sinx+√3-1. 所以g(答)=2in吾+5-1=. 28.解：(1)，指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)的图象 经过点（一3,27）， .a3=27,.a= 3…f)=(3） -D=(3) =3. (2):函数f(x)= (信)厂在R上单羽递减， “不等式等价于x-1<-x,解得x<,即x的取 值范图为(-∞，号) 山东省善通高中学业水平合格考试达标测试（五） 1.C温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错：a≠b, 但a与b的方向可以相同，②错：向量的长度可以比较 大小，但向量不能比较大小，③错：单位向量只要求长 度等于1个单位长度，但方向未确定，④错：作图易得 ⑤正确，故选C. 2.D复数2-bi(b∈R)的实部为2，虚部为一b,因为该复 数的实部与虚部互为相反数，则2十（一b)=0,所以b=2. 3.A,a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b十c =0, .c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6 -6)=(-23,-12). 4.A AC-AD=DC=AB. 5.A因正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；在 △AC中，由三孩定理，得品B品C-2R, 因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③ 正确：④显然不正确. 6.B由向量a=(-1,2),b=(1,1),可得3a十b=3× (-1,2)+(1,1)=(-2,7).故选B. 7.B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出.由i ·之+2=2i可得，2=二2+2=2+21 1 所以z=√22+22=2√2，故选：B. 8.A平面向量a=(1,2),b=(-1,),由a⊥b,得a·b =-1十2以=0，所以X=号 卷答 9.B由题意知，a十b=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1), 由(a+仙)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=号，故选B. 10.Ca+2b=|a+b+b|≤|a+b+|b|=2b|. 由于a,b是非零不共线向量，故a十b与b不共线， 故等号不成立 11.B由(a+b+c)(b+c-a)=3bc得[(b+c)+a][(b 十c)-a]=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,整理得b2+c2 一a2=bc,根据余弦定理得cosA=+c2-a2=1 2bc 2 因为A∈(0°，180)，所以A=60°.故选B. 12.D因为a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),c=入1a十 入2b,所以(3,4)=入1(1,2)+入2(2,3)=（入1+2λ2,2λ 十3入2)， 所以1十2=3；解得=-1，A2=2. (2入1+3入2=4， 13.C由题知之=(1+i)(-1),=1十i=1-i.故选 择：C. 14.AD、E、F分别是AB,BC,CA的中点. ..AD=FE,BE=DF,CF=ED, ∴.AD+BE+CF=FE+DF+ED -FE+ED+DF =FD+DF=0. 1反A0在b上的授影向毫为60=是(2,0) (-1,0). 16.D之=3-i-(i-3)=6-2i. 17.C如图所示，AD=AB十BD= +是成-A丽-是- A +花 18B“片岁0+岁1安+1 2 2 2 又“片十生∈R名2=0，解得a=1 19.C由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC ·cosA,可得3AC2-4AC-15=0,解得AC=3. 因为caA=子所以smA--w-2. 39 因光S△x=AB·AC·inA=2E,故选C 20.D由余弦定理a2+c2-b2=2 accos B,得2ac·sinB a,得snB=9由E孩定理、总 品A=B·得 A=snB=9,故选D 21.解析：(W5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7一√5i. 答案：7-√⑤i 22.解析：因为a-b=(x,1)-（x-1,2.x)=(1,1-2.x), 又a⊥(a-b) 所以a·(a-b)=x十1-2.x=1-x=0,解得x=1 所以a=√12+12=√2 答案：√2 -7 28解折：由题意可格-侣9别 (2+3i)(2-3i) 52+13i=4+i. 13 答案：4十i 24.解析：由a十b=2a-b,得a2=2a·b: 由a-bl=√3，得a2-2a·b+b2=3,即b2=3, |b=5. 答案：√3 25.解析：A:B=1:2,即B=2A,∴.B>A,.AC> BC. :∠ACB的平分线CD把三角形ABC的面积分成5 :3的两部分，∴.由角平分线定理得BC:AC=BD :AD=3:5,在△ABC中，由正弦定理得BC sin A 即品合号丝理得出清 sin A sin B' sin 2A 2sin A cos A 是则6osA=名 5. 答案： 26.解：因为x=1,所以之·之=1， 所以之2一之十1=之2-之十之之=x(心十之-1)， 所以|之2-之十1=之（之十之一1）川=之·|之十之-1 =x+之-1. 设之=x+yi(x,y∈R),那么之十之-1|=|2.x-1|, 又因为x=1,所以x2+y2=1. 所以一1x1,所以一32x一11， 则02x一13. 所以|之2一之十1的最小值为0，最大值为3. 27.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, Ep 2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2 sin Bcos A=sinB. 因为在△ABC中，sinB≠0，所以osA=子又周为 0<A<π，所以A=T 3 (2)因为△ABC的面积为，，所以7aX1=,得a =2√5. 由宁c血A=,即宁cX号-原，所以k= 、2 由余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A.即12=b2十 c2-bc,化简得(b+c)2=3bc+12, 所以(b+c)2=24,即b+c=2√，所以△ABC的周长 为a+b+c=2√6+2√5. 28.解：(1)m2=1,|n2=(√2-sinA)2+cos2A=3 2sin A m·n=cosA(√2-sinA)+sin Acos A=√2cosA ∴.m+n2=m2+2m·n+n2=4+2√2cosA 2√2sinA=4+2√2(cosA-sinA). ,m+n=2,∴.4+2√2(cosA-sinA)=4,∴.tanA =1.:0<A<,A=至 卷答 (2)由余弦定理， a2=P+2-2 heeos A,又由b=4E,c=2a,A=T 得a2=32+2a2-2×42×2a., 2 即a2-8√2a十32=0，解得a=4√2，.c=8, ∴SAAIC=2 -besin A=7×42X8 X sin=16. 山东省善通高中学业水平合格考试达标测试（六） 1.C结合图形可知选项C正确. B 2.C结合柱、锥、台、球的定义可知③是棱锥，④是棱 柱，故选C. 3.B将直观图ABCD还原后为Y 直角梯形A'BCD',其中A'B=A D 2AB=2,BC=1+号，AD AD=1. 所以平面图形的面积S=号X 2 (1+1+号)×2=2+9 B(O) 21 4.D结合长方体，易知a和c可以平行、相交或异面. 5.A设该圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个半圆 S=2x,所以22=2，则1=2，所以该半同的孤长为 2π.设该圆锥底面半径为R,则2πR=2π，R=1. 6.D由a∥a知a内必有直线l与a平行.又a⊥B, .l⊥3，∴.a⊥. 7.CR=√12+12=√2，S=4πR2=8π. 8.C本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系.A中，m∥a,nCa,m与n可能平行 或异面，故A错误；B中，m⊥a,m⊥3，则a∥B,故B错 误；D:mCa,a⊥B,则m不一定垂直于B,故D错误. 9.B设正方体的棱长为a,则球的直径为2R=√3a,所 以R=3 a,正方体的表面积为6a.球的表面积为 4πR2=4x· 5)2 =3πa2,所以它们的表面积之比 为6a2:3ra2=2:π. 10.B结合图形（图略）可知AA1∥平面BC1,AA1∥平 面DC1,AA1∥平面BB1D1D. 11.C如图①为直观图，图②为实际图形，取B'C'所在 直线为x'轴，过B'C中点O'与O'x'成45°的直线为 y轴，过点A'作A'N'∥Ox',交y轴于点N′，过点 A'作A'M∥Oy',交x轴交于点M', -8山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（五）》 (数学)答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 错误填涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 O 事 涂写要工整、清晰。 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 】0三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 正确填涂 在 1ABCD 6ABCD 11ABCD 16ABCD 2ABCD 7ABCD 12ABCD 17ABCD 的 3ABCD 8ABCD 13ABCD 18ABCD 题 4ABCD 9ABCD 14ABCD 19ABCD 内 5ABCD 10ABCD 15ABCD 20ABCD 出 的 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 案 21. 22. 23. 24. 25. 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（五）第1页（共2页) 25.874) 27..80 要2汉 c423) 煤出冷睬思斋总的·哦帝子茑冈嘛尽口阍户