2.1 等式性质与不等式性质(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

2.1　等式性质与不等式性质 A组　教材夯基础 限时10分钟 1.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 2.(填一填,记一记) (1)实数大小比较的基本事实:a>b⇔　 ; a=b⇔　　 　 　;a<b⇔　　 　　.  (2)重要不等式:∀a,b∈R,有a2+b2　　　　2ab,当且仅当a=b时,等号成立.  (3)不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b　 　a  传递性 a>b,b>c⇒a>c 可加性 a>b⇔a+c　 　b+c  可乘性 ⇒ac　　bc  c的符号 ⇒ac　　bc  同向可加性 ⇒a+c　　b+d 同向  同向同正可乘性  ⇒ac　　bd 同向，同正 可乘方性 a>b>0⇒an　　bn  (n∈N*,n≥2) 同正 3.(判对错) (1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　) (2)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3.(　　) (3)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　) 4.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客. 右图是根据会标抽象成的图形,则下列命题能通过该图形证明的是(　　) A.如果a>b>0,那么> B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 D.对任意正实数a和b,有a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立 5.设M=2a2+5a+4,N=(a+1)(a+3),则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 6.若x∈R,y∈R,则(　　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 7.已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是(　　) A.{3a-b|-13≤3a-b≤1} B.{3a-b|-1≤3a-b≤8} C.{3a-b|-1≤3a-b≤13} D.{3a-b|1≤3a-b≤13} B组　单一知识点 限时15分钟 知识点1　利用不等式(组)表示不等关系 8.公司运输一批木材,总重600吨,车队有两种货车,A型货车载重量为30吨,B型货车载重量为24吨,设派出A型货车x辆,B型货车y辆,则运输方案应满足的关系式是(　　) A.5x+4y<100 B.5x+4y≥100 C.5x+4y>100 D.5x+4y≤100 9.体育课是体育教学的基本组织形式,主要使学生掌握体育与保健基础知识,基本技术、技能,实现学生的思想品德教育,提高其运动技术水平.新学期开学之际,某校计划用不超过1 500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8个篮球,且至少购买2个足球,则不同的选购方式有(　　) A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 知识点2　利用不等式的性质比较数(式)的大小 10.(多选)若a,b,c,d∈R,则给出下列命题中,错误的是(　　) A.若a>b,c>d,则a+c>b+d B.若a>b,c>d,则b-c>a-d C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b,c>0,则ac>bc 11.(多选)下列结论正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b>0,则< C.若ac2>bc2,则a>b D.若a<b<0,则a2>b2 12.已知x,y,z为实数,则下列结论中正确的是(　　) A.若xz2>yz2,则x<y B.若x>y,则xz2>yz2 C.若x>y>0,z<0,则> D.若z>y>x,则> 知识点3　比较法比较数(式)的大小 13.已知M=(a+2)(a-3),N=2a(a-1),a∈R,则M,N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 14.已知a=+,b=4,c=+,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a 15.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定,假设第一周,第二周的白菜价格分别为a元/千克,b元/千克(a≠b),王大妈每周购买10元的白菜,李阿姨每周购买8千克白菜,王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为m1,m2(单位:元),则m1与m2的大小关系为(　　) A.m1=m2 B.m1>m2 C.m1<m2 D.无法确定 16.已知a,b为正实数,试比较+与+的大小. 知识点4　利用不等式求取值范围 17.已知-1<a<5,-3<b<1,则以下结论错误的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 18.若实数x,y满足-<x<y<,则x-y的取值范围为　　　　　.  19.已知2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9,求11x+3y的取值范围. C组　综合知识点 限时10分钟 20.若实数a,b满足>1>b>0,则下列结论正确的是(　　) A.ab>1 B.a2+b2>2 C.a+b<ab D.>2b 21.(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若>,则a>b B.若b>a>0,m<0,则> C.若a>b,c<d,则a-c>b-d D.若a2>b2,ab>0,则< 22.给出四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④<. 其中能成为x>y的充分条件的有(　　) A.① B.② C.③ D.④ 23.货车张师傅要给自己的货车分两次加同一品质的柴油,他在加油时可以采用两种不同的策略,第一种策略:每次加油量一定;第二种策略:每次加油时所花的钱数一定.若每次加油时油价不相同,则张师傅比较经济的加油策略为(　　) A.第一种 B.第二种 C.都一样 D.无法比较 24.已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则ab的最大值为(　　) A. B. C.3 D.4 25.已知命题α:-3≤x<7,命题β:k+1≤x≤2k-1,且α是β的必要条件,则实数k的取值范围为　　　　.  26.(1)已知1<a<6,3<b<4,求2a-b,的取值范围; (2)已知a,b,x,y>0,且>,x>y,试比较与的大小. 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 1.解题思路　原来糖占糖水的比例为,加入m克糖后,糖占糖水的比例为,则>. 证明:∵b>a>0,m>0, ∴-==>0, ∴>. 2.(1)a-b>0　 a-b=0　 a-b<0　(2)≥　(3)<　>　>　< >　>　> 3.(1)✕　(2)√　(3)✕ 4.C　通过观察,可以发现题图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,则整个大正方形的面积大于或等于这4个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×,即a2+b2≥2ab,当a=b时,整个大正方形与4个直角三角形重合;其他选项通过题图无法证明.故选C. 5.A　M-N=2a2+5a+4-(a+1)(a+3)=a2+a+1=+>0,所以M>N.故选A. 6.A 7.D　因为1≤a≤4,-1≤b≤2, 所以3≤3a≤12,-2≤-b≤1, 所以1≤3a-b≤13,故3a-b的取值范围是{3a-b|1≤3a-b≤13},故选D. 8.B　由已知可得30x+24y≥600,即5x+4y≥100.故选B. 9.D　设购买的篮球个数为x,足球个数为y,且x,y∈N*, 由题意得故符合题意的有序实数对(x,y)可以是(8,2),(8,3),(9,2),(9,3),(10,2),故不同的选购方式有5种.故选D. 10.BC　对于A,因为a>b,c>d,所以a+c>b+d,故A中命题正确; 对于B,因为c>d,所以-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故B中命题错误; 对于C,取a=-1,b=-2,c=1,d=-5,满足a>b,c>d,但是ac=-1<bd=10,故C中命题错误; 对于D,因为a>b,c>0,所以ac>bc,故D中命题正确.故选BC. 解后反思　利用不等式的性质比较数(式)的大小的策略 判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证这两种方法.对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便.注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 11.BCD　对于A,若a>b,c=0,则ac=bc=0,故A错误; 对于B,若a>b>0,则-=<0,即<,故B正确; 对于C,若ac2>bc2,则c2>0,a>b,故C正确; 对于D,若a<b<0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故D正确.故选BCD. 易错警示　在使用不等式的性质时,一定要注意不等式性质成立的前提条件,不可强化或弱化不等式成立的条件,如“同向不等式”才可以相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘. 12.C　当z2=0时,xz2=yz2=0,不满足条件xz2>yz2,所以z2>0,故xz2>yz2⇒x>y,故A错误; 当z2=0时,若x>y,则xz2=yz2=0,故B错误; 若x>y>0,则由不等式的性质得<,又z<0,所以>,故C正确; 当z=5,y=3,x=2时,满足z>y>x,=,=,故<,故D错误.故选C. 13.C　M-N=(a+2)(a-3)-2a(a-1)=-a2+a-6=-<0,所以M<N,故选C. 名师点睛　作差法比较数(式)的大小 作差法 依据 a-b>0⇔a>b; a-b<0⇔a<b; a-b=0⇔a=b 适用范围 数(式)的大小不明显,作差后差的符号易判断 步骤 ①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论 变形技巧 ①分解因式;②平方后再作差;③配方;④分子(分母)有理化 14.D　易知a,b,c均大于零,a2=(+)2=8+4,c2=(+)2=8+2,所以c2>a2,又c与a均大于零,所以c>a,易知b2-c2=16-(8+2)=8-2>0,所以b2>c2,又b与c均大于零,所以b>c,所以b>c>a,故选D. 15.C　由题意可得a>0,b>0,a≠b, m1==,m2==, ∴m1-m2=-==<0, ∴m1<m2.故选C. 16.解题思路　解法一:(作差法)+-(+)=-+-=+==, 又a,b为正实数,∴≥0, ∴+≥+. 解法二:(作商法)== ==1+≥1. ∵a>0,b>0,∴+>0,+>0, ∴+≥+. 17.D　对于A,由可得-15<ab<3, 由可得ab=0,由可得-1<ab<5. 综上,-15<ab<5,故A中结论正确. 对于B,因为-1<a<5,-3<b<1,所以-4<a+b<6,故B中结论正确. 对于C,因为-3<b<1,所以-1<-b<3,又-1<a<5, 所以-2<a-b<8,故C中结论正确. 对于D,当a=4,b=时,=8,故D中结论错误.故选D. 18.答案　{x-y|-1<x-y<0} 解题思路　由-<x<y<,得-<x<,-<y<,所以-<-y<,所以-1<x-y<1, 又x<y,所以-1<x-y<0,所以x-y的取值范围为{x-y|-1<x-y<0}. 名师点睛　在不等式中,没有“同向相减”“同向相除”,应把“相减”“相除”转化为“同向相加”“同向同正相乘”后再进行相关计算. 19.解题思路　设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),m,n∈R,则11x+3y=(2m+5n)x+(3m-6n)y, 所以解得故11x+3y=3(2x+3y)+5x-6y. 又2≤2x+3y≤6,-3≤5x-6y≤9, 所以3≤3(2x+3y)+5x-6y≤27,即3≤11x+3y≤27. 所以11x+3y的取值范围为{11x+3y|3≤11x+3y≤27}. 思路分析　利用待定系数法,设11x+3y=m(2x+3y)+n(5x-6y),m,n∈R,由相等关系列方程组求出m,n,再利用不等式的性质求解即可. 20.D　因为实数a,b满足>1>b>0,所以0<a<1,所以0<ab<1,故选项A错误; 当a=,b=时,满足>1>b>0,但是+=<2,不满足a2+b2>2,故选项B错误; 当a=,b=时,满足>1>b>0,但是+=1>×=,不满足a+b<ab,故选项C错误; =1+>1+1=2>2b,即>2b,故选项D正确.故选D. 21.AC　因为>,且c2>0,所以a>b,故A为真命题; -=,由于b>a>0,m<0,而b+m的符号不确定,故B为假命题; 由c<d,得-c>-d,又a>b,所以a-c>b-d,故C为真命题; 当a=-2,b=-1时,满足a2>b2,ab>0,但>,故D为假命题.故选AC. 知识拓展　已知a,b,m都是正数,且a>b. 1.真分数的性质:<<(b-m>0); 2.假分数的性质:<<(b-m>0). 22.A　对于①,因为xt2>yt2,所以t2>0,x>y,所以xt2>yt2能成为x>y的充分条件; 对于②,当t<0时,由xt>yt,得x<y,所以xt>yt不能成为x>y的充分条件; 对于③,当x=-2,y=1时,满足x2>y2,但x<y,所以x2>y2不能成为x>y的充分条件; 对于④,当x=-2,y=1时,满足<,但x<y,所以<不能成为x>y的充分条件.故选A. 23.B　按第一种策略,设第一次加油时油价为P1元/升,加n升,第二次加油时油价为P2元/升,加n升,按这种策略加油时两次的平均油价为=元/升; 按第二种策略,设第一次加油时花m元,加升,第二次加油时花m元,加升,按这种策略加油时两次的平均油价为==元/升, 又P1≠P2,所以-==>0, 所以第一种策略的平均油价高于第二种策略的平均油价,故第二种加油策略更经济,故选B. 24.A　易知4ab=(a+b)2-(a-b)2,由已知及不等式的性质得9≤(a+b)2≤16,1≤(a-b)2≤4,所以-4≤-(a-b)2≤-1,所以5≤(a+b)2-(a-b)2≤15,所以≤ab≤,故ab的最大值为.故选A. 25.答案　{k|k<4} 审题指导　根据α是β的必要条件,可以得到集合{x|-3≤x<7}与{x|k+1≤x≤2k-1}之间的包含关系,从而求出k的取值范围. 解题思路　设A={x|-3≤x<7},B={x|k+1≤x≤2k-1}, ∵α是β的必要条件,∴B⊆A. 当B=⌀时,k+1>2k-1⇒k<2; 当B≠⌀时,⇒⇒2≤k<4. 综上,实数k的取值范围为{k|k<4}. 26.解题思路　(1)∵1<a<6,3<b<4, ∴2<2a<12,<<,-4<-b<-3.∴-2<2a-b<9,<<2. (2)-=, ∵>且a,b>0, ∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay>0,(x+a)(y+b)>0, ∴->0,即>. 学科网（北京）股份有限公司 $