5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(word版练习)-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步基础巩固练（人教A版）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 A组　教材夯基础 限时15分钟 1.(填一填,记一记) 周期函数 (1)周期函数 设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个　　　　常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数,　　　　叫做这个函数的周期.  (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个　　　　的正数就叫做f(x)的最小正周期.  注意点: (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一,任何最小正周期的非零整数倍都是函数的周期. 正弦函数、余弦函数的性质 函数 y=sin x y=cos x 图象(x∈[0,2π]) 定义域 　 　　  周期性 最小正周期:T=　　 　  值域 　　 　  最值 x=　　　 　　　,k∈Z时,ymax=1;  x=　　 　　　　,k∈Z时,ymin=-1  x=　　　　 　　,k∈Z时,ymax=1;  x=　　　　 　　,k∈Z时,ymin=-1  奇偶性 　　　　　　函数  　　　　　　函数  图象的对称中心 点(kπ,0),k∈Z 点,k∈Z 图象的对称轴 直线　 　　　,k∈Z  直线　 　　　,k∈Z  单调性 在　　　 　　　,k∈Z上单调递增;  在　　　 　　　,k∈Z上单调递减  在　　　 　　　,k∈Z上单调递增;  在　　 　　　　,k∈Z上单调递减  2.(判对错) (1)因为cos=cos,所以是y=cos x的1个周期.(　　) (2)关于x的方程2sin2x+1=4有无数个实数解.　(　　) (3)y=sin x与y=cos x在上都单调递增.(　　) (4)y=sin x的图象只有一个对称中心,即原点(0,0).(　　) (5)y=cos x的图象的对称轴之间的距离是其最小正周期的非零整数倍.(　　) 3.函数f(x)=sin(-x)(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 4.下列函数中,周期为的是(　　) A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos(-4x) 5.函数y=-cos x在区间上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 6.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值分别为(　　) A.3, B.1,+2kπ(k∈Z) C.3,-+2kπ(k∈Z) D.3,+2kπ(k∈Z) 7.已知f(x)为奇函数,且周期为,若f =-1,则f =　　　　.  8.函数f(x)=·cos的单调递减区间是　　　　.  B组　单一知识点 限时20分钟 知识点1　正弦(型)函数,余弦(型)函数的周期性 9.函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.4π 10.已知函数f(x)=sin（ωx+ (ω>0)的最小正周期为π,则f 等于(　　) A.1 B. C.-1 D.- 11.函数y=的最小正周期是　　　　.  知识点2　正弦(型)函数,余弦(型)函数的奇偶性(对称性) 12.函数f(x)=sin为R上的奇函数,则φ的值可以是　(　　) A.0 B.- C. D.π 13.函数f(x)=7sin图象的对称轴是直线(　　) A.x= B.x= C.x= D.x= 14.若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是点,则ω的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 知识点3　正弦(型)函数,余弦(型)函数的单调性 15.下列命题中正确的是(　　) A.y=cos x在第一象限和第四象限内单调递减 B.y=sin x在第一象限和第三象限内单调递增 C.y=cos x在上单调递减 D.y=sin x在上单调递增 16.已知函数y=sin x与y=cos x,则在下列区间能使两函数同时单调递增的是(　　) A. B. C. D. 17.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A.sin>sin B.cos 400°>cos(-50°) C.sin 3>sin 2 D.sin>cos 知识点4　正弦(型)函数,余弦(型)函数的值域(最值) 18.y=2sin的值域是(　　) A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.[-1,1] 19.已知函数f(x)=sin在x0处取得最大值,则x0可能是(　　) A. B. C. D. C组　综合知识点 限时25分钟 20.下列函数中周期为π,且为奇函数的是(　　) A.y=|cos x| B.y=sin 2x C.y=sin D.y=cosx 21.函数y=f(x)=xsin x的部分图象是(　　) A B C D 22.(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法,正确的是(　　) A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数 B.存在φ,使f(x)是奇函数 C.对任意的φ,f(x)都不是偶函数 D.不存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数 23.“0<x<”是“sin x<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 24.如果函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为(　　) A.3 B.6 C.12 D.24 25.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)= 则f 的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.- 26.已知函数f(x)=sin ωx在上恰有4个零点,则正整数ω的值为(　　) A.2或3 B.3或4 C.4或5 D.5或6 27.若f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在上单调递减,则ω的值为(　　) A.2 B. C. D. 28.对于函数f(x)=下列说法中正确的是(　　) A.该函数的值域是[-1,1] B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1 C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1 D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0 29.已知函数f(x)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=　　　　.  30.从①函数f为奇函数;②当x=时, f(x)=;③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0,0<φ<）, f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,　　　　　.  (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. D组　高考怎么考 限时5分钟 31.(全国新高考Ⅱ改编)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点对称,则(　　) A.f(x)在区间上单调递减 B.f(x)在区间内有一个零点 C.f(x)在区间上的最小值是- D.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 32.(全国新高考Ⅰ)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 1.(1)非零　f(x+T)=f(x)　非零常数T　(2)最小　最小 R　2π　[-1,1]　2kπ+　2kπ+　2kπ　2kπ+π　奇　偶　x=kπ+　x=kπ　2kπ-,2kπ+　2kπ+,2kπ+ 　[2kπ-π,2kπ]　[2kπ,2kπ+π] 2.(1)✕　(2)✕　(3)√　(4)✕　(5)✕ 3.A　 4.D　 5.C　 6.C　 7.答案　1 解题思路　∵f(x)的周期为,f(x)为奇函数, ∴f =f =f =-f =-(-1)=1. 8.答案　(k∈Z) 解题思路　令2kπ≤2x-≤π+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 即f(x)=cos的单调递减区间是(k∈Z). 9.D　由题意得最小正周期T==4π. 方法总结　求三角函数周期的方法 (1)定义法:利用周期函数的定义求解. (2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,最小正周期T=. (3)图象法:画出函数图象,通过图象直接观察即可. 10.A　∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,解得ω=2,即f(x)=sin, ∴f =sin=sin=sin=1. 11.答案　2π 解题思路　易知y=sin 的最小正周期为=4π,而y=的图象是把y=sin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,x轴及其上方的部分不变, ∴y=的最小正周期为2π. 12.B　要使函数f(x)=sin为R上的奇函数,需+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.故选B. 方法总结　三角函数奇偶性的判断方法 判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(A≠0,ω>0)或y=Acos ωx(A≠0,ω>0)中的一个.提醒:研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 13.B　令x-=kπ+,k∈Z,则对称轴方程为x=kπ+,k∈Z, 显然k=0时,对称轴为直线x=,不存在k∈Z使得对称轴为直线x=或x=或x=.故选B. 14.B　当x=时,y=0,即cos =0,∴+=+kπ(k∈Z),解得ω=6k+2,k∈Z,又ω∈N*, ∴当k=0时,ω取最小值,为2. 15.D　正、余弦函数的单调性只针对区间,不能针对象限,故A,B错误; 对于y=cos x,该函数的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ],k∈Z,故C错误; 对于y=sin x,该函数的单调递增区间为,k∈Z,故D正确. 16.D　易知y=sin x的单调递增区间为,k∈Z, y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z, 结合选项,可知当k=1时,为正弦函数与余弦函数的单调递增区间的交集, 故能使函数y=sin x与函数y=cos x同时单调递增的区间是. 17.BD　易知y=sin x在上单调递增,又-<-<-<0, ∴sin<sin,故A不成立; cos 400°=cos 40°,cos 50°=cos(-50°),易知当0°≤x≤90°时,y=cos x单调递减,又0°<40°<50°<90°,∴cos 40°>cos 50°, ∴cos 400°>cos(-50°), 故B成立; 易知y=sin x在上单调递减,又<2<3<π,∴sin 2>sin 3,故C不成立; sin=-sin,cos=-cos=-sin=-sin, ∵0<<<,且y=sin x在上单调递增,∴sin<sin,∴sin>cos,故D成立.故选BD. 方法总结　比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 18.A　易知sin∈[-1,1],所以y∈[-2,2]. 方法总结　三角函数的值域(最值)的求解方法 (1)形如y=Asin x(或y=Acos x),A≠0的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对A正、负的讨论,进而求出值域(最值). (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b),A≠0,ω≠0的函数,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值). 19.C　当x+=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取最大值.故结合选项可知,符合题意的x0是.故选C. 20.B　A中,作出y=|cos x|的图象(图略),由图知,y=|cos x|是周期为π的偶函数,所以A不正确; B中,y=sin 2x是周期为π的奇函数,所以B正确; C中,y=sin=cos 2x的最小正周期为π,且为偶函数,所以C不正确; D中,y=cosx的最小正周期为4π,所以D不正确.故选B. 21.A　易知f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称, ∴函数f(x)是偶函数,排除B,D; 当x取趋近于0的正数时,f(x)>0,排除C,故选A. 22.BD　当φ=π时,f(x)=sin(x+π)=-sin x,是奇函数,当φ=时,f(x)=sin=cos x,是偶函数,故A,C中的说法错误,B中的说法正确; 无论φ为何值,f(x)不可能恒为0,故不存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数,故D中的说法正确.故选BD. 23.A　当0<x<时,有sin x<,所以充分性成立; 若sin x<,取sin x=-,则x=-+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z),都不在内,故必要性不成立. 所以“0<x<”是“sin x<”的充分不必要条件. 24.B　设f(x)的最小正周期为T, 因为函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×=,由=,解得ω=6. 25.B　f =f =f =sin=. 26.C　因为函数f(x)=sin ωx在上恰有4个零点,ω>0,所以×≤<2×, 解得4≤ω<,所以正整数ω的值为4或5. 27.D　由题意知,当x=时,函数f(x)取得最大值, 则sin=1,所以=2kπ+(k∈Z),所以ω=6k+(k∈Z),又ω>0,所以结合选项可知ω=符合题意. 28.D　画出函数f(x)的图象,如图中实线部分所示,由图容易看出该函数的值域是,A,C错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1,B错误;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0,D正确. 29.答案　-1 解题思路　易知f(1)=cos=,f(2)=cos=-,f(3)=cos π=-1,f(4)=cos=-,f(5)=cos=,f(6)=cos 2π=1, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,易知f(x)的周期为6, 故每连续六项的和均为0. 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=f(2 023)+f(2 024)+f(2 025)=f(1)+f(2)+f(3)=cos+cos+cos π=-1. 30.解题思路　∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π(ω>0), ∴其最小正周期T==2π,又ω>0,∴ω=1,∴f(x)=2sin(x+φ). (1)选条件①. ∵f=2sin为奇函数, ∴φ-=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z. 又∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=2sin. 选条件②. 由题意得f=2sin=, ∴sin=, ∴+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=2kπ或φ=+2kπ,k∈Z. 又∵0<φ<,∴φ=, ∴f(x)=2sin. 选条件③. ∵是函数f(x)的一个零点, ∴f=2sin=0, ∴+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z. 又∵0<φ<,∴φ=, ∴f(x)=2sin. (2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z, ∴令k=0,得-≤x≤, 令k=1,得≤x≤. ∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,. 31.A　由题意得f =sin=0, ∴+φ=kπ,k∈Z,∴φ=-+kπ,k∈Z, 又∵0<φ<π,∴φ=,故f(x)=sin, 当x∈时,2x+∈,故f(x)在区间上单调递减,故A正确. 当x∈时,2x+∈, 故f(x)在区间内有两个零点,故B错误. 当x∈时,2x+∈, 此时f(x)min=f=-,故C错误. f =0≠1,故D错误. 32.A　 f(x)=7sin,令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z, 令k=0,得-≤x≤,又⫋,所以选A. 方法总结　形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的函数的单调区间的求法: (1)当A>0时,把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调增区间,利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调减区间. (2)当A<0时,把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调减区间,利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调增区间. 注意:若ω为负数,则先把ω化为正数再求解. 学科网（北京）股份有限公司 $