精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025年9月高二上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得，所以复数的虚部为. 故选：C. 2. 若复数满足，则的实部为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】先用除法运算得出复数，写出它的共轭复数即可找出的实部. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的实部为2， 故选：C. 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】， 法一：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 法二：，当且仅当时，上式等号成立， 又，可得时，的最小值为. 故选：A. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 5. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误. 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误； B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误； C，设原平均数为， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得， 由原数据不全相等，可得，矛盾， 所以平均数一定改变，C正确； D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误． 故选：C 6. 已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到可将四面体补体为棱长为2的正方体，两者的外接球的球心重合，是同一球. 【详解】以两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为：，球的半径为故球的面积为： 故答案为A. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得，整理可得， 则，且，所以. 由正弦定理可得， 且，则，所以. 故选：A. 8. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、极差、平均数、方差的性质判断即可； 【详解】解： 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误； 对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为， 新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确． 对于D，原样本数据的样本平均数为， 新样本数据的样本平均数为，故D错误； 对于C，原样本数据的标准差为：， 新样本数据的标准差为：，故C正确； 故选：BC． 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C. 数据的第70百分位数是23.5 D. 若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 【答案】AC 【解析】 【分析】A，用简单随机抽样的方法求解；B，根据对立事件的概念进行判断；C，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D，先得到，，，的方差，再通过计算的方差，进而得到其标准差，即可得答案． 【详解】对于A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本， 则个体被抽到的概率为，正确； 对于B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，有3个都是红球，1个红球2个白球， 2个红球1个白球，3个都是白球，共4种情况， 显然事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，为互斥事件而非对立事件，错误； 对于C．从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是23.5，C正确； 对于D．若样本数据，，，的标准差为1，则，，，的方差为1， 设，，，的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，D错误． 故选：AC． 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件证明与底面所成的角为，与底面所成的角为，与底面所成的角为，，，，对于A，先证明，由此证明，同理可得，由此判断A，对于B，根据线面垂直判定定理及线面垂直的定义证明，同理可证，，由此判断B，对于C，先证明，由此证明，同理可得，由此判断C，对于D，设棱的中点分别为，证明四边形为矩形，由此可证，同理可证，，由此判断D. 【详解】因为为在底面的射影， 所以平面， 所以与底面所成的角为，与底面所成的角为， 与底面所成的角为， 因为平面，平面， 所以，，， 所以都是直角三角形， 对于A，由已知可得，，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，A错误； 对于B，因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面， 所以， 同理可证，， 所以为的垂心，B 正确； 对于C，因为都是直角三角形，又，， 所以，所以， 同理可证，所以， 所以为的外心，C正确； 对于D，设棱的中点分别为， 则，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，又， 所以四边形为矩形，所以， 因为点为的中点，点为的中点，所以，又， 所以，同理可证，， 所以三棱锥三组相对的棱互相垂直，D正确， 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以8为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出 【详解】因为是定义在R上的奇函数，故可得， 又为偶函数，所以有：， 所以有，即， 所以，故以8为周期， 故， 因为当时，，所以． 故答案为：1． 14. 如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】设向量，的夹角为，根据数量积的定义可得，说明能取，由此证明结论. 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 四、解答题（共80分） 15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数； （2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率. 【答案】（1），分位数为26.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，利用百分位数的求解方法得到分位数； （2）求出两组人数比值为，则在，中分别抽取2人，4人，利用列举法求解古典概型的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得. 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以样本数据的分位数在内，设为x， 则，解得， 故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的分位数为26.5. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知BMI值在内的频数为， 在内的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层随机抽样的方法抽取6人，则在，中分别抽取2人，4人， 记这组2人的编号分别为，，这组4人的编号分别为，，，， 从这6人中随机抽取2人， 故样本空间， 共15个样本点， 设事件“抽取到的2人的BMI值不在同一组”， 则，共8个样本点， 故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为. 16. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量平行的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 【小问1详解】 由得, 所以，解得； 【小问2详解】 因为，且， 所以，化简得， 解之得. 17. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 【答案】（1），；（2）；（3）0.65. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案； （2）由，进而结合基本不等式求出的最小值，此时取得最大值，从而可求出答案； （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，可知在上恒成立，利用参变分离，可得，求出的最大值，即可得出的值. 【详解】（1）由题意， 即； （2） 因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立， 所以 故政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为万元. （3）对任意的（万元），公司都不产生亏损，则在上恒成立 不等式整理得， 令，则，则 令 任取，且 则 ， 即函数在上单调递增 可得 所以，即 所以当复工率达到0.65时，对任意的（万元），公司都不产生亏损. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （3）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由（2）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 【答案】（1）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （2）及的定义域均为, 根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, 对于函数而言,, 所以, ,, 即,故,只有,所以函数的“平衡”数对为, 综上可得函数与的“平衡”数对相同. （3） 【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可. (2)根据题意可知,对于任意实数,,再列式利用恒成立问题求解即可. (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ,所以, ,所以, 由于,所以,故,, , 由于,所以时,, ,所以. 【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月高二上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的实部为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 6. 已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是 A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（ ） A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同 10. 下列说法中正确的是（    ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体被抽到的概率是 B. 从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C. 数据的第70百分位数是23.5 D. 若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为9 11. 已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是（ ） A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心 B. 若，垂足为，则为的垂心 C. 若，则为的外心 D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 13. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则______． 14. 如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为___________. 四、解答题（共80分） 15. 近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，中国成人的BMI数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该社区居民BMI值的样本数据的分位数； （2）现从样本中利用分层随机抽样的方法从，这两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率. 16. 已知向量. （1）若，分别求与的值； （2）若，且与垂直，求. 17. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元). （1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数；(政府补贴x万元计入公司收入) （2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （1）设分别为的中点，求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对. （1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同； （3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $