椭圆专项训练-2026届高三数学一轮复习

椭　　圆 基础性 1．设平面上两个定点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝10，则动点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．无图形 解析：C　因为|PF1|＋|PF2|＝10＝|F1F2|， 所以P点的轨迹是以F1，F2为端点的线段． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>2)的焦距为2，则椭圆C的长轴长为(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：B　根据题意得c＝1，a2＝c2＋8＝9，所以a＝3，所以长轴长为2a＝6.故选B. 3．已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＞2或m＜－1} B．{m|m＞－2} C．{m|－1＜m＜2} D．{m|m＞2或－2＜m＜－1} 解析：D　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m2＞2＋m， 即m2－2－m＞0，解得m＞2或m＜－1. 又因为2＋m＞0，所以m＞－2， 所以实数m的取值范围为m＞2或－2＜m＜－1，故选D. 4．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，且满足OP＝OF，PF＝4，则椭圆C的标准方程为________________． 解析：＋＝1　设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F1，连接PF1，如图所示． 由已知，得c＝2. 又OP＝OF＝OF1，所以∠FPF1＝90°. 在Rt△FPF1中，PF1＝＝＝8. 由椭圆的定义，可知2a＝PF＋PF1＝4＋8＝12，所以a＝6，所以b2＝a2－c2＝62－(2)2＝16， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 5．已知点M在椭圆＋＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为____________． 解析：2＋1　设圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)， 则|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1. 设M(x0，y0)，则＋＝1，即x＝18－2y， 所以|MC|＝ ＝ ＝ ＝ ＝≤2， 当且仅当y0＝－1时取得最大值， 所以|MN|≤|MC|＋1≤2＋1. 6．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为_______________． 解析：＋＝1(x≠－2)　由圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，得M(－1，0)，半径r1＝1，N(1，0)，半径r2＝3.设动圆P的半径为R，因为圆M在圆N内，所以动圆只能在N内与圆N内切，即R<3. 因为动圆P与圆M外切，所以|PM|＝1＋R. 因为动圆P与圆N内切，所以|PN|＝3－R， 所以|PM|＋|PN|＝4，即点P到M和点P到N的距离之和为定值． 所以点P是以M，N为焦点的椭圆，且a＝2，c＝1，所以b＝＝， 所以动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 又圆N过点(－2，0)，椭圆＋＝1也过点(－2，0)，而点P显然不在圆N上，所以所求轨迹方程为＋＝1(x≠－2). 7．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足＝. (1)求椭圆的离心率e. (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程． 解析：(1)因为＝＝＝， 所以4a2＝3(b2＋a2)，即a2＝3b2， 所以离心率为e＝＝＝. (2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2. 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m， 联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0， 由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0， 得3m2＝a2(1＋3k2)，① xM＝－，yM＝kxM＋m＝. 由|OM|＝|ON|可得 m2＝.② 由S△OMN＝可得|m|·＝.③ 联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 综合性 8．(多选)(2024·贵州毕节模拟)加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＋＝1相切，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10 C．若G为正方形，则G的边长为2 D．长方形G的面积的最大值为18 解析：ABC　由椭圆方程知a＝，b＝2，则c＝＝，离心率为e＝＝，A正确； 当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2和4，其对角线长为＝2，因此蒙日圆半径为，圆方程为x2＋y2＝10，B正确； 设矩形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为2，C正确，D错误．故选ABC. 9．(2025·四川绵阳模拟预测)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|. (1)求椭圆E的离心率； (2)平面上点B满足＝＋，过F1与AB平行的直线交E于M，N两点，若|MN|＝3，求椭圆E的方程． 解析：(1)由题设AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设A(c，y0)(y0>0). 所以＋＝1，即＋＝1， 解得y0＝或y0＝－(舍去)， 从而A(c，). 直线AF1的方程为y＝(x＋c)， 整理得b2x－2acy＋b2c＝0， 原点O到直线AF1的距离为＝， 将c2＝a2－b2代入整理得a2＝2b2， 即a＝b＝c，所以离心率e＝. (2)如图，由(1)可设椭圆方程为＋＝1， 则A(c，). 因为＝＋， 所以AF2BF1为平行四边形， 所以直线AB过O点，则直线AB的斜率为， 则设直线MN的方程为y＝(x＋c). 联立椭圆方程得2x2＋2cx－c2＝0，显然Δ>0， 则xM＋xN＝－c，xMxN＝－， 则|MN|＝|xM－xN|＝·＝3，解得c＝2(负值舍去)， 所以b＝2，a＝2， 所以椭圆E的方程为＋＝1. 10．(2025·广东番禺阶段练习)把半个椭圆与圆的一段圆弧拼凑于一起，我们把这种曲线称为“扁圆”．现有半椭圆C1：＋＝1(x≥0，a>b>0)与圆弧C2：(x－1)2＋y2＝a2(x<0)组成扁圆，其中F为C1的右焦点，A1，A2分别为“扁圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别为“扁圆”与y轴的上、下交点．已知∠B1FB2＝120°，过F的直线与“扁圆”交于P，Q两点． (1)求出C1与C2的方程． (2)当A1B1∥PQ时，求S△OPQ. 解析：(1)如图1所示，根据椭圆的几何性质，可得|B2F|＝a， 又在圆C2：(x－1)2＋y2＝a2(x<0)上可知|OB2|＝， 所以|OF|＝＝1， 即F为圆C2：(x－1)2＋y2＝a2的圆心， 所以F(1，0)，即c＝1. 又因为∠B1FB2＝120°，可得∠OFB2＝60°， 所以a＝|B2F|＝2|OF|＝2，则b＝＝， 所以椭圆C1的方程为＋＝1(x≥0)， 圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝4(x<0). (2)由(1)知，椭圆C1：＋＝1(x≥0)， 圆C2：(x－1)2＋y2＝4(x<0)， 可得A1(－1，0)，B1(0，)，F(1，0)，B2(0，－)， 则kA1B1＝. 又A1B1∥PQ，直线PQ的方程为y＝(x－1)， 联立方程 整理得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，如图2所示， 所以△OPQ的面积为S△OPQ＝|OB2|·|x2－x1|＝××＝. 创新性 11．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2. (1)求椭圆E的方程． (2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求斜率k的值． 解析：(1)由题意得 所以b＝1，c＝，a＝2， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)设过点P(－2，1)的直线为y－1＝k(x＋2)，B(x1，y1)，C(x2，y2). 联立方程 整理得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0. 因为直线与椭圆相交，所以Δ＝(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)·(16k2＋16k)>0，所以k<0. 由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为kAB＝，所以直线AB的方程为y＝x＋1， 令y＝0，则x＝，所以M(，0). 同理N(，0)， 所以|MN|＝|－| ＝|－| ＝|(－)| ＝|·| ＝|·| ＝|·| ＝2， 所以|·|＝2， 所以||＝，所以k＝－4. 学科网（北京）股份有限公司 $椭 圆 基础性 1. 设平面上两个定点F(-5,0),F2(5,O),动点P满足PF1+PF=10,则动点P 的轨迹为() A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.无图形 2.已知椭圆C:x2a2十y28=1(a>22)的焦距为2，则椭圆C的长轴长为() A.3B.6 C.2D.42 3.己知方程x2m2+y2m十2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() A.{mlm>2或m<-1} B.{mlm>-2} C.{m-1<m<2} D.{mlm>2或-2<m<-1} 4.如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O,F(一25,0)为C的左焦点，P为C上一点， 且满足OP=OF,PF=4,则椭圆C的标准方程为 5.已知点M在椭圆x218十y29=1上运动，点N在圆x2+(y-1)2=1上运动，则MW的 最大值为 6.己知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x一1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为 7.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且满足 BFAB=3)2. (1)求椭圆的离心率e (2)直线1与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于NN异于).记O为坐标原点，若1 OM=|OW,且△OMN的面积为3，求椭圆的标准方程. 综合性 8.(多选)2024·贵州毕节模拟)加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家.如图，他在研 究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆 的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆：x26十y24=1相切，则 下列说法正确的是() A.椭圆M的离心率为3)3 B.椭圆M的蒙日圆方程为2+y2=10 C.若G为正方形，则G的边长为25 D.长方形G的面积的最大值为18 9.(2025·四川绵阳模拟预测)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,A是椭圆上的一点，AF2⊥FF2,原点O到直线AF1的距离为13OF1 (1)求椭圆E的离心率； (②)平面上点B满足=一+，过F与AB平行的直线交E于M,N两点，若N=32 ,求椭圆E的方程. 10.(2025·广东番禺阶段练习)把半个椭圆与圆的一段圆弧拼凑于一起，我们把这种曲 线称为“扁圆”.现有半椭圆C1:x2a2十y2b2=1(x≥0，a>b>0)与圆弧C2:(x一1)2+y2=a2 x<O)组成扁圆，其中F为C的右焦点，A1,A2分别为“扁圆”与x轴的左、右交点，B1, B2分别为“扁圆”与y轴的上、下交点.已知∠BFB2=120°，过F的直线与“扁圆”交 于P,Q两点 (1)求出C与C2的方程. (2)当A1B1∥PQ时，求S△ore 创新性 11.己知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为23. (1)求椭圆E的方程， (②)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分 别与x轴交于点M,N当MW=2时，求斜率k的值.