专题04 圆锥曲线（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题04 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆的方程 考点02 双曲线和抛物线方程 考点03 离心率问题 考点04 圆锥曲线的综合 考点05 直线和圆锥曲线 考点06 圆锥曲线的其他问题 地 城 考点01 椭圆的方程 1．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)椭圆的长轴长为（    ） A．4 B．6 C．16 D．8 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 地 城 考点02 双曲线和抛物线方程 1．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知双曲线，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知双曲线的离心率为，则的值为（    ） A．18 B． C．27 D． 3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 离心率问题 1．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)若椭圆C：上存在一点D，使得函数图象上任意一点关于点D的对称点仍在的图象上，且椭圆C的长轴长大于4，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为 A． B． C． D． 6．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知椭圆的离心率为，则的值为 . 7．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 地 城 考点04 圆锥曲线综合 1．(24-25高二上·甘肃武威市凉州区·期中)（多选题）已知双曲线，则（    ） A．双曲线C的实半轴长为2 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为 2．(24-25高二上·甘肃武威市凉州区武威第七中学·期中)（多选题）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 3．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)（多选题）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 地 城 考点05 直线与圆锥曲线综合 1．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)已知直线同时过椭圆C的右焦点和上顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在椭圆C上，且，求的外接圆的方程． 2．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 4．(24-25高二上·甘肃酒泉实验中学·期中)已知椭圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 5．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 6．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求△的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 7．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知双曲线的一个焦点为，实轴长为2，经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点． （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程． 8．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 地 城 考点5 圆锥曲线的其他问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：. 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，，离心率为，（为坐标原点）的面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线交椭圆于，两点（点，不在轴上），直线，分别交轴于点，，若，，且，求直线的方程． 3．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 4．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”. （1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由； （2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程； （3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于. 5．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形APBQ的面积的最大值； ②求证：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线 6大高频考点概览 考点01 椭圆的方程 考点02 双曲线和抛物线方程 考点03 离心率问题 考点04 圆锥曲线的综合 考点05 直线和圆锥曲线 考点06 圆锥曲线的其他问题 地 城 考点01 椭圆的方程 1．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)椭圆的长轴长为（    ） A．4 B．6 C．16 D．8 【答案】D 【详解】化椭圆方程为一般形式：， 所以，即，即椭圆长轴长为. 故选：D. 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 4．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 地 城 考点02 双曲线和抛物线方程 1．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知双曲线，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为双曲线，所以， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 2．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知双曲线的离心率为，则的值为（    ） A．18 B． C．27 D． 【答案】A 【详解】由题可得实半轴长，所以半焦距， 所以． 故选：A． 3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且， . 抛物线的焦点坐标是. 故选：B. 4．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 地 城 考点03 离心率问题 1．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得. 故选：D 2．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆方程为，点，则点，显然，    由与，相减得， 整理得，而，于是， 因为，当且仅当取等号，因此，即， 椭圆的离心率为. 故选：D 3．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点倾斜角为的直线方程为：，即， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得：， 整理可得： 则：. 本题选择B选项. 3．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)若椭圆C：上存在一点D，使得函数图象上任意一点关于点D的对称点仍在的图象上，且椭圆C的长轴长大于4，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，即的对称中心为， 要使图象上任意一点关于点D的对称点仍在的图象上， 则点即为的对称中心，故椭圆过，则， 又，故，即， 而，故，又， 所以. 故选：D 5．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： 因为. 所以双曲线的渐近线为，即 . 因为 、、、. 所以 . 所以. 故选B. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率,属于基础题.解决本题的关键在于正确画出其图像，找到图像中的关于等式. 6．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】或 【详解】当焦点在轴上时，，则， 所以，，解得； 当焦点在y轴上时，，则， 所以，，解得. 综上，的值为或. 故答案为：或 7．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 地 城 考点04 圆锥曲线综合 1．(24-25高二上·甘肃武威市凉州区·期中)（多选题）已知双曲线，则（    ） A．双曲线C的实半轴长为2 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距， 双曲线C的实半轴长为1，A不正确； 双曲线C的虚轴长为，B正确； 双曲线C的离心率，C正确； 双曲线C的渐近线方程为，D正确. 故选：BCD 2．(24-25高二上·甘肃武威市凉州区武威第七中学·期中)（多选题）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 【答案】ABD 【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确； 双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴， 故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确； 焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线， 根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误； 椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确. 故选：ABD 3．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)（多选题）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AC 【详解】由，，得. , 由，得. 在中，由余弦定理得， 得或，所以或. 故选：AC    地 城 考点05 直线与圆锥曲线综合 1．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)已知直线同时过椭圆C的右焦点和上顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在椭圆C上，且，求的外接圆的方程． 【详解】（1）解：因为直线过点和， 可得且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）解：若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得， 因为，可得， 又因为，可得，则，即是直角三角形， 所以的外接圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 2．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. (1)求椭圆的标准方程； (2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 【详解】（1）设焦距为，由，得， 又椭圆过，∴， 得， ∴椭圆的标准方程为； （2）动直线l过与椭圆交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的周长为20.    3．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 【详解】（1）由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． （2）设，， 由消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 4．(24-25高二上·甘肃酒泉实验中学·期中)已知椭圆：（）经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【详解】（1）由题意可得所以， 所以椭圆方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为.    5．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 6．(24-25高二上·甘肃武威凉州区武威第七中学·期中)已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求△的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 【详解】（1）∵曲线E： ∴，则 ∴ ∴，， 故△的周长为. （2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：， 设 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得： 因为, 所以  则， 从而有, 消去，得，即 所以直线AB的方程为，即.    7．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知双曲线的一个焦点为，实轴长为2，经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点． （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程． 【详解】（1）由已知得， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）设点，由题意可知直线的斜率存在， 则可设直线的方程为，即. 把代入双曲线的方程， 得，① 由题意可知， 所以，解得． 当时，方程①可化为. 此时，方程①有两个不等的实数解． 所以直线的方程为 8．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【详解】（1）椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. （3）设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 地 城 考点5 圆锥曲线的其他问题 1．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：. 【详解】（1）∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、， ∴，即，     ∵，∴，故可设椭圆的方程为：，   ∵点在椭圆上， ∴将其代入椭圆得， ∴椭圆的方程为. （2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：， 即，   设与椭圆的两个交点为，， 将代入方程化简得，，    ∴恒成立，∴，，   ∴ ，    又由， 解得，，即点的坐标为， ∴，    ∴，原命题得证. 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，，离心率为，（为坐标原点）的面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线交椭圆于，两点（点，不在轴上），直线，分别交轴于点，，若，，且，求直线的方程． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以即，可得， 因为椭圆的左顶点、上顶点分别为，，得，，所以的面积，所以， 又，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，则直线：， 联立，无解 当直线的斜率存在，可设直线， 设，， 因为点，不在轴上，所以，且． 联立消去得， 所以， 化简可得解得， 且，    直线的方程是， 令，解得，所以，同理可得． 所以，， 又，，， 所以，， 所以 ， 解得， 经检验，满足， 所以直线的方程为，即． 3．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 【详解】（1）依题意，可得，解得， 故椭圆C的标准方程为：； （2） 如图，当直线l的斜率时，可得，显然满足； 当时，不妨设直线，由消去，整理得，， 显然，设，则由韦达定理，故， 因,则， 则， 此式的分子为：， 故得，即，得证. 4．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”. （1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由； （2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程； （3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为， 由，可知，为重心， 设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为， 由，解得：，显然， 故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和； （2）设、、， 由，两式相减，得，所以，所以， 由题意可知，，所以，则， 由，所以，所以，线段的中点， 因此，直线的方程为，整理得. 因此，直线的方程； （3）由（2）可知，则，① 由，， 平方可得，当且仅当时取等号，显然， 所以，即， 将①代入可得，解得， 所以点的横坐标小于. 【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 5．(24-25高二上·甘肃武威第一中学·期中)已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形APBQ的面积的最大值； ②求证：. 【详解】（1）由题意设椭圆的方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，则， 由 ，   ∴椭圆C的方程为.   （2）①当时，解得， ， 设，直线AB的方程为， ， ， 由，解得，   由韦达定理得. ， 由此可得：四边形APBQ的面积， ∴当时，.    ②， ， ， 即  ， . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $