精品解析：甘肃省白银市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

白银市二中2023-2024学年度（一）期中考试试题 高二年级 数学 （命题人：缪成娟 满分：150分 时间：120分钟 ） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 等比数列中，，，则与的等比中项为（ ） A 4 B. －4 C. D. 4. 已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. 15 D. 30 5. 等比数列，是前项和，，则为（ ） A. 63 B. 108 C. 75 D. 83 6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4+a7=9，a2+a5+a8=18，则S9=（ ） A. 27 B. 36 C. 63 D. 72 7. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的得0分. 9. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 10. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 11. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为直线方程为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 直线x=1的斜率为0 12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 等差数列的前n项和为，若，，则______． 14. 已知数列中，，，则______. 15. 在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是______. 16. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________． 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 18. 求满足下列条件的直线方程． （1）经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； （2）过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 19. 数列中，，. （1）证明：等比数列； （2）求的通项公式. 20. 已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 21. 在数列中，，点在直线上 （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列的前n项和. 22. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白银市二中2023-2024学年度（一）期中考试试题 高二年级 数学 （命题人：缪成娟 满分：150分 时间：120分钟 ） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【详解】由，，设直线的倾斜角为，则，，. 故选：B. 2. 等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项以及等比数列的定义即可求解． 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以， 所以， 化为：，解得． 故选：D 3. 等比数列中，，，则与的等比中项为（ ） A. 4 B. －4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，由等比数列的通项求出与，再由等比中项的定义代入即可得出答案. 【详解】由题意得，， ∴与的等比中项为． 故选：C. 4. 已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. 15 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算. 【详解】，是方程的两根， 所以， 又是等差数列， 所以其前20项和为． 故选：D 5. 等比数列，是的前项和，，则为（ ） A. 63 B. 108 C. 75 D. 83 【答案】A 【解析】 【分析】由成等比数列即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知：成等比数列， 所以， 解得：， 故选：A 6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4+a7=9，a2+a5+a8=18，则S9=（ ） A. 27 B. 36 C. 63 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，则有a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，解可得q的值，进而可得a3+a6+a9的值，相加可得答案. 【详解】根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q， 若a1+a4+a7=9，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，则有q=2； 故a3+a6+a9=q（a2+a5+a8）=2×18=36， 故S9=（a1+a4+a7）+（a2+a5+a8）+（a3+a6+a9）=9+18+36=63； 故选：C. 7. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 8. 已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解. 【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为 把点代入求出，即直线方程为 （2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为， 把点代入求出，即直线方程为 综上，直线方程为或 故选：A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的得0分. 9. 下列数列是等比数列的是（ ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 【答案】AC 【解析】 【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误； C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确； D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】数列， 所以，A选项正确，C选项错误. ，B选项正确， ，D选项错误. 故选：AB 11. 下列说法错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为的直线方程为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据示意图，结合题意找到各层球数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误. 【详解】由题意知：，故， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，，显然，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 等差数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】方法一：设出公差，利用题干条件得到，进而求出公差，再求出首项，利用求和公式进行求解； 方法二：利用题干条件得到，再利用求和公式的性质进行求解. 【详解】方法一：设公差为d，由， ∴， 又，∴， ， ∴． 方法二：由已知得， ∴， 又， 所以． 故答案为：7 14. 已知数列中，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据递推式逐项求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为： 15. 在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 16. 已知数列满足，且，则数列通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，故可看出是公差为2的等差数列，然后求出对应的首项即可得到答案 【详解】由可得， 所以是公差为2的等差数列， 因为的首项为，所以， 故数列的通项公式为 故答案为： 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为． 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 18. 求满足下列条件的直线方程． （1）经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； （2）过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程， （2）设直线的方程为，则由题意可得，求出，从而可求得直线方程 【小问1详解】 直线可化为，斜率为， 所以所求直线的斜率为 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 设直线的方程为，，解得， 故所求直线方程为， 即或 19. 在数列中，，. （1）证明：为等比数列； （2）求的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，即可得解. 【小问1详解】 因，所以， 因为，所以， 则， 则是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得，即 20. 已知数列的前n项和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式； （2）由题可知，利用分组求和法即得. 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，， 因为也满足， 综上，； 【小问2详解】 由题可知， 所以. 21. 在数列中，，点在直线上 （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列的前n项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得到即可求解； （2）通过裂项相消法求和，即可求证； 【小问1详解】 点在直线上， ∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1） ，得证. 22. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）前项和 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． 故，解得，，则， ， 由题意，得，解得． ；． 【小问2详解】 由（1）知，．设其前项和为， ，① ，② ①②，得 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$