专题03 圆的方程（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆的方程 ☆7大高频考点概览 考点01圆的方程定义 考点02直线和圆的位置关系 考点03圆与圆的位置关系 考点04与圆有关的最值和范围问题 考点05求圆的方程综合 考点06直线和圆的位置关系综合 考点07轨迹方程和探索性问题 目目 考点01 圆的方程定义 1.(24-25高二上甘肃天水第一中学期中)以(0，一2)为圆心，4为半径的圆的标准方程为() A.x2+(y-2)2=16 B.x2+(y+2)2=16 C.x2+(y+2)2=4 D.x2+(y-2)2=4 2.(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学期中)若x2+y2+4x一2y-m=0表示圆的方程，则m的取 值范围是() A.（5,+∞)B.(-∞，5) C.(-∞-5) D.(-5,+∞) 3.(24-25高二上甘肃兰州第一中学期中)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交， 则实数m的取值范围为() A.（-m,+∞)B.(-0,0 C.(0,+∞ D.(-o,0)U(0,+∞】 4.(24-25高二上·甘肃庆阳华池县华池县第一中学期中)（多选题)设有一组圆Ck: (x-k)+(y-k)=4(k∈R),下列命题正确的是() A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 5.(24-25高二上，甘肃酒泉敦煌中学.期中（多选题）已知圆C:x2+y2-4x一14y+45=0及点 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q(-2,3),则下列说法正确的是() A.圆心C的坐标为(2,7) B.若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为 C.点Q在圆C外 D.若M是圆C上任一点，则1MQ的取值范围为[22,62] 6.(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)以点（一1,1）为圆心，且经过点A(3,4)的圆的方程 是 目目 考点02 直线和圆的位置关系 1.(24-25高二上甘肃多校期中)已知圆x2-4x+y2-2y=5关于直线2ax+y+b-3=0(a,b为大 于0的数)对称，则+的最小值为() A.号 B.吉 C.1 D.2 2.(24-25高二上甘肃天水第一中学期中)已知直线y=kx+2与圆C:(x-3)2+(y-1)2=9相交于A,B两 点，且AB=42,则k=() A.-8 B.0或- c D.-5或0 3.(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学期中)若圆C:x2+y2+16x+m=0被直线3x+4y+4=0截得的弦 长为6，则m等于() A.26 B.31 C.39 D.89 4.(2425高二上甘肃酒泉敦煌中学期中)直线1：3x-y=0被圆C:(x一1)2+y2=1所截得的弦长为 () A.1 B.2 c.5 D.2 5.(2425高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学.期中)己知点P是圆C:x2+y2-4x+6y+12=0上的动 点，则点P到直线4x-3y-2=0距离的最小值是() A.4 B.3 C.2 D.1 6.(24-25高二上甘肃多校期中（多选题）过点P(2,0)作直线与圆C:(x-3)2+(y+3)2=16相交 于A,B两点，则() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,弦AB的长度的最小值为V6 B.当弦AB最短时弦所在的直线方程为x十3y-2=0 C.弦AB的长度的最小值为2W D.当弦AB最短时弦所在的直线方程为x-3y-2=0 7.(24-25高二上甘肃天水秦安县第二中学期中)（多选题）己知直线1：kx-y+2k+1=0和圆 0:x2+y2=8,则() A.存在k使得直线1与直线l0:x-2y=0垂直 B.直线1恒过定点(2,1) C.直线1与圆0相切 D.直线！被圆0截得的最短弦长为2√3 8.(425高二上甘肃武威凉州区期)（多选题）下列方程不是圆M:x-)2+y+V同2=1的切线方 程的是() A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=1-5 9.(24-25高二上甘肃酒泉肃州中学期中)（多选题）已知圆C:(x-1)+(y-2)2=25,直线 1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则下列命题正确的有() A.直线1恒过定点(3,1) B.圆C被y轴截得的弦长为2W C.直线1与圆C恒相交 D.直线1被圆C截得弦长最短时，直线1的方程为2x-y-5=0 10.(24-25高二上甘肃天水第一中学期中)过点(3,4)且与圆C:(x-2)2+y2=1相切的直线方程 为一 11.(24-25高二上甘肃武威凉州区期中)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线1：y=-x+1被圆C截得 的弦长为一 12.(24-25高二上甘肃嘉峪关第一中学期中)已知圆M:(x-xo)2+(y-y)2=4,从点N(4,3)向圆 M作两条切线NP、NQ,切点分别为P、Q,若∠PNQ=,则点M到直线4x+3y+25=0的最小距离 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 目目 考点03 圆与圆的位置关系 1.(24-25高二上甘肃白银会宁县第四中学期中)圆x-2)+y-2)2=1与圆(x+1)2+(y+2)2=25的 位置关系是() A.相切 B.相交 C.内含 D.外离 2.(24-25高二上甘肃金昌永昌县第一高级中学期中)已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=16与圆C2: x2+(y-2)2=10相交于A,B两点，则直线AB的方程为() A.4x-10y-3=0 B.4x+10y+3=0 C.4x-10y-9=0 D.4x+10y+9=0 3.(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学期中)（多选题）己知圆01：x2+y2-2x=0和圆 02:2+y2+2x-4y=0,则下列结论中正确的是() A.圆01与圆02相交 B.圆O1与圆O2的公共弦AB所在的直线方程为x-y=0 C.圆O1与圆02的公共弦AB的垂直平分线方程为x+y-1=0 D.若AB为圆O1与圆O2的公共弦，P为圆O1上的一个动点，则△PAB面积的最大值为1+√2 4.(24-25高二上甘肃白银靖远县第四中学等校期中)（多选题）已知圆C1:(x+a)2+(（y-2)2=4与 圆C2:(x-2)2+(y-a)2=4,则下列结论正确的是() A.若圆C1与圆C2外切，则a=2或-2 B.当a=1时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=3x C.若圆C1与圆C2关于点(-1,3)对称，则a=一4 D.当a=0时，对任意的7∈R,曲线W:(1+)x2+(1+)y2-4x-4y=0恒过圆C1与圆 C的交点 5.(24-25高二上甘肃酒泉肃州中学期中（多选题）已知圆C1:(x-3)2+y2=1, C2:x2+y2=a2(a>0),则下列结论正确的有() A.若圆C1和圆C2相交，则2<a<4 B.若圆C1和圆C2外切，则a=2 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.当a=时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=3时， 圆C,和图C,相交弦长为 6.(24-25高二上甘肃白银会宁县第四中学期中)圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为_ 目 考点04 与圆有关的最值和范围问题 1.(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学期中)已知AB是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB|=2V2 ,点M(xoy)是线段AB的中点，则xo+y。-4纠的最大值为() A.12 B.6N2 C.6 D.3V2 2.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)直线1：kx-y+2k+1=0与l2:X+ky-k+2=0分别与圆 O:2+y2=10交于A、C和B、D,则四边形ABCD面积的最大值为() A.3V5 B.4v5 C.10 D.15 目目 考点05 求圆的方程综合 1.(24-25高二上甘肃白银会宁县第四中学期中)已知圆C的方程为：x2+y2-2x-4y+m=0 (1)求实数m的取值范围； (2)若直线x-2y-1=0与圆C相切，求实数m的值 2.(24-25高二上甘肃武威凉州区·期中)已知直线：y=2,圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与1和y轴均 相切 (1)求圆C的方程； (2)若直线x+by-1=0与圆C交于A,B两点，且|AB|=2W3,求b的值 3.(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学等校期中已知圆W经过A(7,3,B(4,一4)，C(-3,3三点。 (I)求圆W的标准方程； (2)判断圆P:x2+y2+6x+8y+9=0与圆W的位置关系. 4.(24-25高二上甘肃张掖高台县第一中学期中)已知圆C:x2+y2-4x-4y-m-10=0,点 P(1,0). (1)若m=一17，过P的直线1与C相切，求1的方程； (2)若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)已知圆心为C的圆经过点A(1,2)和B(5,一2)，且圆心C在直线 2x+y=0上. (1)求圆C的方程： (2)圆C与直线4x+3y-3=0相交于M,N两点，求MN的值 当直线与圆相交时， 由弦长公式A=2W2-d2,得M=2W42-12=2W15 目目 考点06 直线与圆的方程综合 1.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)已知圆C:x2+y2+2x-7=0内一点P(-1,2),直线1过点P 且与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为V3,求弦AB的长. 2.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学期中)已知圆M过0(0,0)，A8,0),B(0,6)三点，直线1过点P(2,2) (1)求圆M的标准方程； (2)直线1被圆M截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长 3.(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学期中已知圆O方程为x2+y2=4,点A坐标为(3,0)，以A为圆 心的圆A与圆O交于B、C两点. (1)若圆A的半径为2，过点P(4,3)的直线1与圆A所交的弦长为23，求直线1的方程； (2)求AB.A乙的最小值. 4.(24-25高二上甘肃多校期中)已知圆C1:(x+3)+(y-2)2-8与圆C2关于直线4x-2y+1=0对称 (1)求圆C2的标准方程： (2)直线3x+4y+m-5=0与圆C2相交于M,N两点，且△MC2N的外接圆的圆心在△MC2N内部，求 m的取值范围 5.(24-25高三上.甘肃庆阳华池县华池县第一中学期中)已知圆M:x2+y2+2x-8y-3=0与圆C的公共 弦所在的直线是1：x-y一1=0，且圆C的圆心在x轴上. (1)求圆C的方程： (2)若直线m与圆C相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线m的方程。 6.(24-25高二上·甘肃天水第一中学期中已知某圆的圆心在直线y=x上，且该圆过点（一2,2），半径为 2y2,直线1的方程为(m+1)x+(2m-1)y-3m=0. (1)求此圆的标准方程； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若直线1过定点A,点B,C在此圆上，且AB⊥AC,求BC的取值范围 7.(24-25高二上甘肃天水秦安县第二中学期中)已知圆C经过点A(-1,1),B(2,2),且圆心在直线 x+y+1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线2x+y-6=0与圆C的交点为M,N,求MN. 8.(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学期中)已知直线1经过点P(-1,0),圆C:x2+y2-2x=0. (1)若直线1与圆C相切，求直线1的方程； (2)若该直线1与圆C相交于AB两点，且△ABC的面积为宁，求直线1的方程. 目目 考点07 轨迹方程和探索性问题 1.(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学.期中)已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点， P,Q为圆上的动点。 (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程， 2.(24-25高二上甘肃天水秦安县第二中学期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,点P(5,1),点 Q(-1,-2). (1)过点P作圆C的切线1，求出1的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程. 3.(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知圆C过M(-1,3),N(1,1)两点，且圆心C在 直线2x+y-5=0上 (1)求圆C的方程： (2)设直线y=kx+3与圆C交于A,B两点，在直线y=3上是否存在定点D,使得直线AD,BD的倾斜角 互补？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由 4.(24-25高二上甘肃庆阳华池县华池县第一中学期中)已知直线：x=my-1,，圆C:x2+y2+4x=0. (1)证明：直线1与圆C相交； (2)设1与C的两个交点分别为A、B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程； (3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,1与l2的交点为Q.试探究：当m 变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由 专题03 圆的方程 7大高频考点概览 考点01 圆的方程定义 考点02 直线和圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 与圆有关的最值和范围问题 考点05 求圆的方程综合 考点06 直线和圆的位置关系综合 考点07 轨迹方程和探索性问题 地 城 考点01 圆的方程定义 1．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 2．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期中)若直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆的标准方程为，圆心，半径， ∵直线与圆相交，∴，解得或， 故选：D. 4．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县华池县第一中学·期中)（多选题）设有一组圆： ，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【答案】ABD 【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确； B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确； C选项，将代入得：，其中， 故经过点的圆有两个，故C错误； D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)（多选题）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)以点为圆心，且经过点的圆的方程是 ． 【详解】由题意，知所求圆的圆心是，半径为， 故所求圆的方程为， 故答案为：． 地 城 考点02 直线和圆的位置关系 1．(24-25高二上·甘肃多校·期中)已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为圆的圆心为，且圆关于直线（，为大于0的常数）对称， 所以直线过圆心，所以，又，， 所以 ．（当且仅当，时，取“=”）． 故选:A． 2．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（    ） A． B．0或 C． D．或0 【答案】B 【详解】∵的圆心，半径，， ∴圆心到直线的距离为， 因此有，即，解得或． 故选：B． 3．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)若圆被直线截得的弦长为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知圆，即（）， 圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长，所以， 解得. 故选：C. 4．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)直线被圆所截得的弦长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：A 5．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知点是圆上的动点，则点到直线距离的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为圆可化为， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线距离的最小值是. 故选：C. 6．(24-25高二上·甘肃多校·期中)（多选题）过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则（    ） A．弦AB的长度的最小值为 B．当弦AB最短时弦所在的直线方程为 C．弦AB的长度的最小值为 D．当弦AB最短时弦所在的直线方程为 【答案】CD 【详解】圆的圆心为，半径为， ，所以在圆内，， 当AB⊥PC时，弦AB最短， 最短弦长，A选项错误，C选项正确. ，所以当最短时，， 此时直线的方程为，B选项错误，D选项正确. 故选：CD 7．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)（多选题）已知直线和圆，则（   ） A．存在使得直线与直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆相切 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AD 【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对A：因为直线：的斜率为， 当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确； 对B：由可得，， 令，解得，所以直线恒过定点，故B错误； 对C：因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C错误； 对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确； 故选：AD 8．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)（多选题）下列方程不是圆的切线方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由圆的标准方程， 可知圆心为，半径为， 再根据圆心到直线距离公式与半径比较即可判断， 对于A，根据圆心到直线距离公式，所以不相切，故A正确； 对于B，根据圆心到直线距离公式，所以不相切，故B正确； 对于C，根据圆心到直线距离公式，所以相切，故C错误； 对于D，根据圆心到直线距离公式，所以相切，故D错误； 故选：AB 9．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)（多选题）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)过点且与圆C：相切的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】依题意，圆表示以为圆心，半径的圆，    当切线的斜率不存在时，过的直线与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，则， 解得，此时切线方程为， 所以所求切线方程为或. 故答案为：或 11．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知圆，直线被圆C截得的弦长为 . 【答案】 【详解】解：由题意可得，圆心为，半径， 弦心距， 故直线被C截得的弦长为， 故答案为： 12．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则点到直线的最小距离为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为，连接、，    则，，又因为，且， 所以，四边形为正方形，则， 即，即， 所以，点的轨迹方程为， 即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 因此，点到直线的最小距离为. 故答案为：. 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 1．(24-25高二上·甘肃白银会宁县第四中学·期中)圆与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 于是， 所以两圆相交. 故选：B 2．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 3．(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学·期中)（多选题）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与圆相交 B．圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为 C．圆与圆的公共弦AB的垂直平分线方程为 D．若AB为圆与圆的公共弦，P为圆上的一个动点，则△PAB面积的最大值为 【答案】ABC 【详解】由题设，则，半径， ，则，半径， 所以，两圆相交，A对； 两圆方程相减，得公共弦所在直线为，B对； 公共弦AB的垂直平分线方程为，即，C对； 如下图，若与重合，而到的距离，且， 要使△PAB面积最大，只需到的距离最远为， 所以最大面积为，D错. 故选：ABC 4．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学等校·期中)（多选题）已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（   ） A．若圆与圆外切，则或 B．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C．若圆与圆关于点对称，则 D．当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 【答案】ABD 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确． 当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确． 若圆与圆关于点对称，则解得，C错误． 当时，圆：，圆：， 则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确． 故选：ABD. 5．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)（多选题）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 6．(24-25高二上·甘肃白银会宁县第四中学·期中)圆与圆的公共弦长为 【答案】 【详解】由已知圆的圆心为，半径 圆即的圆心为，半径， 联立两圆得，即， 所以公共弦方程为， 所以点到直线的距离， 所以弦长为， 故答案为：. 地 城 考点04 与圆有关的最值和范围问题 1．(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学·期中)已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C．10 D．15 【答案】D 【详解】显然，且两直线同时过定点，点在圆内， 设点到弦、的距离分别为、，则， ， 四边形面积 故选：D. 地 城 考点05 求圆的方程综合 1．(24-25高二上·甘肃白银会宁县第四中学·期中)已知圆的方程为：. （1）求实数的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【详解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5. (2)圆心(1,2)，半径， 因为圆和直线相切，所以有，所以. 2．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·期中)已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【详解】（1）设圆心为，半径为, 则由题意得，故该圆的方程为. （2）圆心到直线的距离为， 由垂径定理得：，解得. 3．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学等校·期中)已知圆经过，，三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断圆与圆的位置关系． 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为， 标准方程为； （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为4， 设两圆圆心之间的距离为，则， 因为，所以圆与圆相交． 4．(24-25高二上·甘肃张掖高台县第一中学·期中)已知圆C：，点． (1)若，过P的直线l与C相切，求l的方程； (2)若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 【详解】（1）因为，所以圆C的方程为 ①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意； ②当l的斜率存在时，设l的方程为，即， 圆心C到l的距离，解得， 则l的方程为，即， 综上可得，l的方程为或． （2）由题意可得圆C：，圆心，半径， 则圆心C到的距离， 要使C上存在到P的距离为1的点， 则，即， 解得， 所以m的取值范围为． 5．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与直线相交于两点，求的值. 【详解】（1）设圆的方程为， 由已知可得方程组，解之得：， ∴圆的方程为． （2）由（1）可知，圆的圆心为，由点到直线距离公式可知： 圆心到直线的距离为：， 当直线与圆相交时，由弦长公式，得. 地 城 考点06 直线与圆的方程综合 1．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【详解】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 2．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 3．(24-25高二上·甘肃嘉峪关第一中学·期中)已知圆O方程为，点A坐标为，以A为圆心的圆A与圆O交于B、C两点． (1)若圆A的半径为2，过点的直线l与圆A所交的弦长为，求直线l的方程； (2)求的最小值． 【详解】（1）依题意得：圆A的方程为， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，代入，得，此时直线与圆A所交的弦长为，符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，即，则圆心A到直线l的距离，又，∴，即，解得，故直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或． （2）由圆的对称性，设，，则， 所以，因为，所以当时，取得最小值为． 4．(24-25高二上·甘肃多校·期中)已知圆与圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围. 【详解】（1）设，则， 解得 所以圆的标准方程为； （2）因为的外接圆的圆心在内部， 所以是锐角三角形， 又是以为腰的等腰三角形， ， 令到的距离为，则， ， 解得：.    5．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县华池县第一中学·期中)已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【详解】（1）由已知可设圆的方程为：，…① 圆： …② ①②可得：，即为的方程， 所以有，，， 所以圆的方程为. （2）因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为， 因为直线与圆相切，所以有， 所以直线的方程为. 又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0， 所以又可设直线的方程为，所以有， 所以直线的方程为. 综上直线m的方程为或 6．(24-25高二上·甘肃天水第一中学·期中)已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为． (1)求此圆的标准方程； (2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可设此圆的方程为， 把点坐标代入得，则， 所以圆的标准方程为． （2） 直线l方程为，即， 则有，可得定点， 取线段BC中点为，则，令原点为O，， 即，化简可得， 即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆， A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为， 所以的取值范围为． 7．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆的交点为，求． 【详解】（1）（法一）设圆的标准方程为，则圆心为． 由题意可得解得, 圆的标准方程为． （法二）由题意可得中点为， 线段的垂直平分线为，即， 圆心在直线上，联立解得 即圆心为， 圆的半径 圆的标准方程为． （法三）设圆的一般方程为， 则圆心为． 由题意可得解得, 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． （法四）设圆心， 整理，得圆心． 圆的标准方程为． （2）由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径． 8．(24-25高二上·甘肃酒泉肃州中学·期中)已知直线l经过点，圆． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若该直线l与圆C相交于两点，且的面积为，求直线l的方程． 【详解】（1）由题意可知，圆的圆心为，半径1， 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为,此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，设直线l的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为.即或. （2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，设直线l的方程为， 记圆心到直线l的距离为d，则， 所以，解得． 所以，解得， 所以直线l的方程为．即或 地 城 考点07 轨迹方程和探索性问题 1．(24-25高二上·甘肃酒泉敦煌中学·期中)已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点． (1)求线段中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程． 【详解】（1）设线段的中点的坐标为，的坐标为， ∵，∴， 又在圆上， ∴，化简得， 故线段中点的轨迹方程为； （2）设的中点为， 在中，， 设O为坐标原点，连接，则⊥， ∴， ∴， 化简得 故线段PQ中点的轨迹方程为 2．(24-25高二上·甘肃天水秦安县第二中学·期中)已知圆C：，点，点． (1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【详解】（1）由C：， 则圆心，半径， 当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即， 所以，解得， 此时切线l的方程为，即. 综上所述，切线l的方程为或. （2）设，， 因为，，G为三角形APQ的重心， 所以，即， 由A为圆C上的动点，得， 则，整理得， 即动点G的轨迹方程为． 3．(24-25高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期中)已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于A，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由题意得的中点的坐标为，直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即， 解方程组得，故， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. （2）由消去整理得， 可得， 设，，则，.（*） 设，则，（，分别为直线，的斜率）. 因为直线，的倾斜角互补， 所以，即，即， 即，将（*）式代入得， 整理得对任意实数恒成立，故，解得， 故点的坐标为. 所以在直线上存在定点满足条件.   .   4．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县华池县第一中学·期中)已知直线，圆. (1)证明：直线l与圆C相交； (2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【详解】（1）证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交； （2）圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为： （3）设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $