专题03 平面解析几何几何初步（直线与圆的方程）（考题猜想，易错必刷85题20种题型）高二数学上学期湘教版2019

专题03 平面解析几何几何初步 （易错必刷85题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 直线的倾斜角（5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 2、 直线的斜率（4小题） 5．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 7．（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 9．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）已知函数.则的大小关系为（   ） A．B．C．D． 3、 直线与线段相交问题（5小题） 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4、 求直线的方程（6小题） 15．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5、 直线过定点问题（3小题） 19．（22-23高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．直线过定点 D．若，则 20．（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6、 两直线的位置关系（5小题） 22．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 23．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线过两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 26．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7、 直线的交点问题（5小题） 27．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 30．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 8、 点到直线的距离（5小题） 32．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 33．（2024上·北京房山·高二统考期末）两条直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·全国·高二专题练习）两直线与平行，则它们之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 35．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线过定点 B．原点到直线距离的最大值为 C．若点，到直线的距离相等，则 D．若直线经过一、二、三象限，则 36．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 9、 对称问题（5小题） 37．（2024·江苏·高二假期作业）点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 38．（2024·江苏·高二专题练习）已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（    ） A．5 B． C． D． 39．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 40．（2024·全国·高二专题练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 41．（2024上·全国·高二期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 10、 二元二次方程表示圆的条件（2小题） 42．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 11、 求圆的方程（4小题） 44.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 45．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 46．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 47．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 12、 直线与圆的位置关系的判断（6小题） 48．（2024·全国·高二假期作业）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 49．（2024上·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校考期末）已知圆，直线过点，则 (　  ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 50．（2024上·全国·高二专题练习）已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（2024上·四川凉山·高二统考期末）若直线与圆相切，则m的值为（    ） A．21或 B．或1 C．5或 D．或15 52．（2024·全国·高二假期作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13、 切线问题（4小题） 54.（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 55.（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 55.（2024上·广东广州·高二统考期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 56.（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 14、 弦长及中点弦问题（4小题） 57．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 58．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知直线被圆截得的弦长为4，则（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 59．（2024上·四川南充·高二统考期末）直线与圆交于两点，则的最小值是（    ）． A．3 B．6 C． D． 60．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 15、 最值问题（4小题） 61．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 62．（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 63．（多选）（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．线段长的最大值为6 C．线段长的最小值为4 D．面积的最大值为 64．（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l被圆C截得的最长弦长为10 C．当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D．当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 16、 圆与圆的位置关系（3小题） 65．（2024上·江苏南通·高二统考期末）圆和圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 66．（2024上·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 67．（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17、 公共弦问题（4小题） 68．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 69．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 70．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 71．（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 18、 公切线问题（5小题） 72．（24-25高二上·全国·课后作业）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 73．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 75．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 76．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 19、 轨迹问题（4小题） 77．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 78.（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 79．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 80．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 20、 综合问题（5小题） 81．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 82．（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 83．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 84．（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 85．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. $$专题03 平面解析几何几何初步 （易错必刷85题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 直线的倾斜角（5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求出，再根据斜率与倾斜角的关系判断即可. 【详解】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 2、 直线的斜率（4小题） 5．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 6．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 7．（23-24高二上·河南·阶段练习）若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】A 【分析】由题意可知CD与x轴不垂直，即.分类讨论，当AB与x轴垂直和AB与x轴不垂直时，根据两直线的位置关系求出对应的m值即可. 【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行. ∵，则CD与x轴不垂直，∴，即. 当AB与x轴垂直时，，解得， 此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意； 当AB与x轴不垂直时，，， ∵，∴，即，解得. 综上，m的值为或， 故选：A. 9．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）已知函数.则的大小关系为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，结合图形，利用两点表示直线斜率公式即可求解. 【详解】将函数图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，如图，    由图可知，函数在上单调递增， 点分别与原点的连线的斜率随着x的增大而减小， 即， 所以. 故选：C 3、 直线与线段相交问题（5小题） 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 12．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 13．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 14．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）设，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的斜率、直线与直线的位置关系分析运算即可得解. 【详解】解：    如上图，直线过定点，斜率为，且与线段相交， 即过定点，斜率为的直线绕点从逆时针旋转到， 中间经过轴，则或， ∵，， ∴则或，即的取值范围是. 故选：D. 4、 求直线的方程（6小题） 15．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 16．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 18．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线垂直的斜率关系确定垂线斜率，从而得直线方程. 【详解】直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为， 又直线过原点，故其方程为. 故选：C. 5、 直线过定点问题（3小题） 19．（22-23高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．直线过定点 D．若，则 【答案】D 【分析】根据直线过定点判断A、C，根据两直线垂直求出参数，即可判断B，根据两直线平行求出，即可判断D. 【详解】对于A：直线，当时，无论取何值，恒成立， 所以直线恒过定点，故A正确． 对于B：若，则，，故B正确； 对于C：直线，当时，无论取何值，恒成立， 所以此时直线恒过定点，故C正确； 对于D：若，则，， 或，经检验此时两直线平行，故D错误； 故选：D 20．（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 21．（22-23高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标． 【详解】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B 6、 两直线的位置关系（5小题） 22．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 23．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知直线过两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用两点间的斜率公式求斜率，再用直线垂直的斜率结论可解. 【详解】直线的斜率，则,则直线的斜率为. 故选：D. 24．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 25．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 26．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 7、 直线的交点问题（5小题） 27．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 28．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 29．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 30．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 31．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 8、 点到直线的距离（5小题） 32．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线， 即，由解得， 所以直线过定点， 所以的最大值为. 故选：B 33．（2024上·北京房山·高二统考期末）两条直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果. 【详解】由两平行线之间的距离公式可得. 故选：C 34．（2024·全国·高二专题练习）两直线与平行，则它们之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线平行首先求出参数，再由两平行直线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为两直线平行，所以，解得，将化为， 由两条平行线间的距离公式得. 故选：D． 35．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线过定点 B．原点到直线距离的最大值为 C．若点，到直线的距离相等，则 D．若直线经过一、二、三象限，则 【答案】ABD 【分析】求出直线定点可判选项A；当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值，可判选项B；根据两点间的距离公式可判选项C；根据条件列出不等式组求解可判选项D 【详解】将化为， 令，即得，即直线过定点，故A对； 当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值， 即原点到直线距离的最大值为，故B对； 点，到直线的距离相等， 即， 即，解得，或，故C错； 若直线经过一、二、三象限，则直线在x轴的截距为负、y轴的截距为正， 令，则；令，则，则， 即，且或，所以，故D对； 故选：ABD 36．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 9、 对称问题（5小题） 37．（2024·江苏·高二假期作业）点关于直线的对称点Q的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点和斜率来求得点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得． 所以点Q的坐标为. 故选：A 38．（2024·江苏·高二专题练习）已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线是线段的垂直平分线，利用点斜式方程可求直线，即可求在轴上的截距. 【详解】解：由题可知，直线为线段的垂直平分线， 所以，，则，中点为，则的方程为， 当时，，则在轴上的截距为. 故选：B. 39．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题． 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线． 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1）， 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：= 即 y=x- 故选B． 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 40．（2024·全国·高二专题练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距． 【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为. 因为，所以反射光线所在直线的方程为. 令，得反射光线所在直线在轴上的截距为. 故选：C． 41．（2024上·全国·高二期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 10、 二元二次方程表示圆的条件（2小题） 42．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 43．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：． 11、 求圆的方程（4小题） 44.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 45．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意得圆的半径为， 则圆的方程为. 故选：A. 46．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 47．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可确定圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 【详解】由已知圆心坐标为，半径为1， 所以圆的方程为. 故选：. 12、 直线与圆的位置关系的判断（6小题） 48．（2024·全国·高二假期作业）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离判断即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 故圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 故选：A 49．（2024上·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校考期末）已知圆，直线过点，则 (　  ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系即可判断. 【详解】由圆，可得， ∴圆C的圆心坐标为，半径，又， ∴，∴点在圆的内部， ∴直线 l 与 C 相交． 故选：A. 50．（2024上·全国·高二专题练习）已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，圆心到直线的距离， 解得， 故的取值范围是. 故选：A 51．（2024上·四川凉山·高二统考期末）若直线与圆相切，则m的值为（    ） A．21或 B．或1 C．5或 D．或15 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆的圆心为圆，半径为2， 由题意可得：，解得或. 故选：D. 52．（2024·全国·高二假期作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解. 【详解】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 53．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程得：圆心，半径， 圆心到直线，即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：C. 13、 切线问题（4小题） 54.（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设出切线斜率，分类讨论推出斜率一定存在，在利用圆心到直线的距离和半径相等列出方程求解参数，最后得到方程即可. 【详解】设斜率为，圆心到直线的距离为， 当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除， 即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 由题意得，可得，解得或， 即切线方程为或，显然D正确. 故选：D 55.（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 55.（2024上·广东广州·高二统考期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据点在直线设为，结合题中条件可求得，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可. 【详解】因为点在直线上， 可设， 又是圆的两条切线，且， 所以,,, 所以, 即， 化为， 解得或， 所以点坐标为， 故选：B. 56.（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】数形结合，利用，即可解题. 【详解】   由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 14、 弦长及中点弦问题（4小题） 57．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，由弦长公式代入求解即可. 【详解】由圆的方程，可知其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：D. 58．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知直线被圆截得的弦长为4，则（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，根据直线截圆所得弦长求出弦心距，结合点到直线距离得到方程，，即可解得 【详解】根据化为，圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，又因为直线截圆的弦长为， 所以有，即，解得； 又圆心到直线的距离为：， 所以，即，解得或. 故选：A 59．（2024上·四川南充·高二统考期末）直线与圆交于两点，则的最小值是（    ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出直线所过定点，再求出圆心到直线的距离的最大值，最后利用弦长公式即可得到答案. 【详解】当，，则直线过定点，代入圆的方程得，则该定点在圆内， 即，则圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 的最大值为该定点到圆心的距离，即， ，因为， 所以， 故选：D. 60．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值. 【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离， 所以， 要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为， 所以面积的最大值是. 故选：A 15、 最值问题（4小题） 61．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 62．（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆的位置关系，即可判断C，设此时满足，则从而求出最小值，即可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A错误； 设，以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即， 由，解得，因此直线过定点，故B正确； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是转化思想的应用，C选项转化为判断两圆的位置关系，D选项主要是利用阿圆的思想确定，使得. 63．（多选）（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．线段长的最大值为6 C．线段长的最小值为4 D．面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】由直线系方程求得直线恒过定点判断A，当直线过圆圆心时，线段最长，判断B，当直线AB与过原点和点的直线垂直时，弦长AB最短，判断C，的面积取得最大值时，判断D. 【详解】直线即直线， 联立，解得，，所以直线过定点，故A正确； 当直线过圆圆心时，线段最长，为圆的直径，等于6，故B正确； 当直线AB与过原点和点的直线垂直时，弦长AB最短， 因为原点C到点的距离为， 此时，故C正确； 因为，所以的面积取得最大值时， 此时，故D错误. 故选：ABC.    64．（多选）（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．直线l被圆C截得的最长弦长为10 C．当时，直线l被圆C截得的弦长最短 D．当时，圆C上恰有3个点到直线l的距离等于4 【答案】AB 【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；当直线过圆心时，弦长最长，即可判断B；当时，弦长最短，即可判断C；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得， 所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 当直线过圆心时，弦长最长为，故B正确； 对于C，当时，弦长最短， 此时，解得，故C错误； 对于D，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离， 而， 所以当时，圆C上有4个点到直线l的距离等于4，故D错误. 故选：AB. 16、 圆与圆的位置关系（3小题） 65．（2024上·江苏南通·高二统考期末）圆和圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可. 【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切. 故选：C 66．（2024上·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两圆得圆心的坐标及半径，再根据两圆相交可得，即可得解. 【详解】圆化为标准方程得， 则其圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则其圆心，半径， 因为两圆相交，所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 67．（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，根据两圆心的距离确定两圆的位置关系，进而可得公切线的条数. 【详解】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 17、 公共弦问题（4小题） 68．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 69．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得. 【详解】两圆方程相减得直线的方程为， 圆化为标准方程， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 弦长， 所以. 故选：D 70．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可. 【详解】两个圆的方程相减，得， 故选：C 71．（23-24高二上·山东枣庄·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差，消去、项，可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差可得，即. 因此，圆和圆的公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 18、 公切线问题（5小题） 72．（24-25高二上·全国·课后作业）圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 73．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 74．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 75．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 76．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 19、 轨迹问题（4小题） 77．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是所求轨迹上的任意一点，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设是所求轨迹上的任意一点， 因为，且，可得， 整理得，即所求轨迹方程为. 故选：B. 78.（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 79．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，由题意计算即可得. 【详解】设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为：. 80．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设则代入圆:化简即可得到点的轨迹方程. 【详解】设则代入圆: 可得即 点的轨迹方程为 故答案为： 20、 综合问题（5小题） 81．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，可得，又，则，即可求得BC所在直线的方程； （2）由BC的直线方程，可得，则得圆心，又，即可求得圆M的方程； （3）由已知，可得是该圆的半径，因为动圆N与圆M内切，可得，则点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程. 【详解】（1）因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． （2）因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． （3）因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为． 82．（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为上顶点且为与圆：的切点，得出，再根据得出，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）分两种情况讨论，当斜率存在时，设：，由点到直线距离公式求得原点到直线的距离，再根据勾股定理得出，进而得出范围；当斜率不存在时，，即可求解． 【详解】（1）设：（）， 因为为上顶点且为与圆：的切点，所以， 令，因为，所以， 所以，即：． （2）因为，所以， 1°当斜率存在时，设：， 所以到的距离， 则， 所以， 2°当斜率不存在时，，， 综上，的取值范围为． 83．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的直线方程，再求圆心到直线的距离，在根据勾股定理计算弦长； （2）先考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，计算出点坐标，再计算出的中垂线方程，把点代入中垂线方程即可求解. 【详解】（1）因为，，所以直线的方程为， 圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知：； （2）设的中点为， 当直线的斜率不存在时，由（1）可知，的坐标为， 则的中点的坐标为，，所以与不垂直，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 故，， 则 ， 所以的坐标为， 的中点的坐标为， 所以的中垂线方程为， 由于的中垂线经过点， 把代入的中垂线方程，得， 整理得：， 把代入联立后的一元二次方程得：， 此时，所以复合题意， 所以直线的方程为，即. 84．（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【分析】（1）设，根据得到方程，化简即可得到轨迹； （2）设，根据化简得到轨迹，；利用在圆的内部，得到不等式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 85．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出图形，得出，进一步由三角形三边关系得出的最值，由此即可顺利得解. （2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. $$