专题05 期中真题百练通关（7大解答压轴题型）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 期中真题百练通关（7大解答压轴题型） 题型1 规律性问题 题型5 完全平方公式的应用 题型2 列代数式的应用 题型6 平方差公式与乘法公式综合应用 题型3 整式加减的应用 题型7 因式分解应用 题型4 整式乘除的应用 题型一 规律性问题（共7小题） 1．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 2．（2024-2025学年七年级上上海市青浦区实验中学期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 3．（2024-—2025学年七年级上上海市松江区期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 4．（2023-2024学年七年级上上海市浦东新区川沙中学南校期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 5．（2024-2025学年七年级上上海市闵行区19校联考期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 6．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2．3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 7．（2024-2025学年七年级上上海市延安初级中学期中）我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 题型二 列代数式的应用（共6小题） 8．（2024-2025学年七年级上上海市闵行区19校联考期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含、的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 9．（2024-2025学年七年级上上海市龙茗中学期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 10．（2024-2025年七年级上上海市闵行区多校期中）小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为a米，为米． (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？需要铝合金多少米？（用a、b的代数式表示） (2)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了下表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 11．（2024-2025学年七年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形． 如图，是一个完美长方形，它恰能被分割成10 个大小不同的正方形．其中，标注（1）、（2）的正方形边长分别为x、y，请你计算： (1)用含x、y的代数式表示：第（4） 个正方形边长 ；第（7） 个正方形边长 ；第（10） 个正方形边长 (2)如果， 求出第（9） 个正方形的边长． 12．（2024-2025学年七年级上上海市建平实验中学期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 13．（2024-2025学年七年级上上海市市西初级中学11月期中）「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．    请根据上述信息回答下列问题，写出你的解题过程： (1)请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的［水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系； (2)将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个长方形，且其中四大类食物的区块都为长方形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16厘米，宽为10厘米，则是否可能同时为正整数？若可能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型三 整式加减的应用（共4小题） 14．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 15．（2024—2025学年七年级上上海市莘光学校期中）已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 16．（2024—2025学年七年级上上海市闵行区上宝中学期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个三阶幻方． (1)①若，，，，，，，，是三阶幻方中的9个数，且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值； ②如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出的值． (2)如图（3）是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请分别说明下面两个等式成立的理由： ①； ②． 17．（2024—2025学年七年级上上海市闵行区上宝中学期中）如图是某住房户型平面图（图中长度单位：米），现需要对地面铺装地板，已知房间i，，，，所铺地板的单价分别为，，，，（单位：元/平方米）． (1)若，，，，，的值分别为90，120，80，100，110，请直接用含a的式子写出： ①这所住宅的面积； ②所购地板的总费用． (2)工程设计过程中，设计师发现，当的值为t时，购买地板的费用与c的长度无关，请求出这个t的值． 题型四 整式乘除的应用（共13小题） 18．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区交大附中附属嘉定德富中学期中）如图，已知长方形的边长为a，边长为b，正方形的边长为c，点G在上，用a、b、c表示下列图形的面积． (1)求的面积； (2)以G为圆心，以c为半径画弧，求图中虚线所围图形的面积（结果保留） 19．（2024—2025学年七年级上上海市浦东新区期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 20．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 21．（2024-2025学年七年级上上海市彭浦初级中学期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 22．（2024—2025学年七年级上上海市宝山区淞谊中学期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例1：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即（m，n都是正整数），则，所以． 例2：“若，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘方公式，即（m，n都是正整数），则，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解过程逆用的幂的乘法公式是________； A．        B．        C． ②计算：． 23．（2024-2025学年七年级上上海市虹口区期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 24．（2024-2025学年 七年级上上海市实验学校西校　期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则_______； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______． 25．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 26．（2024-2025学年七年级上上海市黄浦区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 27．（2024-2025学年七年级上上海市 嘉定区五校联考期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 28．（2024-2025学年七年级上上海市实验学校附属东滩学校期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 29．（2024—2025学年七年级上上海市普陀区期中）已知正方形和正方形的边长分别为a、． (1)如图1，将正方形的边、分别与正方形的边、重合，点C在边上，延长交边于点M，连结，请用含a、b的代数式表示梯形的面积． (2)如图2，将正方形的边与正方形的边重合，点D在的延长线上，延长交边于点M． ①用含a、b的代数式表示三角形的面积． ②连结交于H，记三角形的面积为，三角形的面积为，用含a、b的代数式表示． 30（2024-2025学年七年级上上海市南洋模范学校期中）．阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 题型五 完全平方公式的应用（共19小题） 31．（2024-2025学年七年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 32．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 33．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 34．（2024-2025年七年级上上海市闵行区多校期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，A、D、E三点在一条直线上， (1)如图①，，，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求是多少？ (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是_________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 35．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 36．（2024—2025学年七年级上上海市莘光学校期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 37．（2024—2025学年七年级上上海市浦东新区期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：_______； (2)写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：_______； (3)已知实数满足，求的值． 38．（2024-2025学年七年级上上海市彭浦初级中学期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 39．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区11月期中）问题发现：若满足，求的值． 小明在解决该问题中，采用了以下解法： 解：设， 则， 所以 请根据小明的解法解决下列问题． (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)拓展延伸：如上图，正方形边长为，，，分别以、为边长作正方形和，四边形和是长方形，且长方形的面积是10，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体数值） 40．（2024-—2025学年七年级上上海市松江区期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 41．（2024-2025学年七年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 42．（2024-2025学年七年级上上海市淞谊中学期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 43．（2024-2025学年七年级上上海市地杰中学期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 44．（2024-2025学年七年级上上海市华东理工大学附属中学期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．    (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 45．（2024-2025学年七年级上上海市华东理工大学附属中学期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 46．（2024-2025学年七年级上上海市虹口区期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 47．（2024-2025学年七年级上上海市市西初级中学11月期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 48．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学期）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 49．（2024--2025学年七年级上上海市静安区期中）阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    题型七 平方差公式与乘法公式综合应用（共4小题） 50．（2024-2025学年七年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 51．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 52．（2024-2025学年七年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 53．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 题型七 因式分解的应用（共10小题） 54．（2024--2025学年七年级上上海市静安区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 55．（2024-2025学年七年级上上海市南洋模范学校期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 56．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 57．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 58．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区11月期中）阅读：分解因式 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 在有理数范围内分解因式：． 59．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 60．（2024-2025学年七年级上上海市黄浦区期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 61．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区部分学校 期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 62．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区交大附中附属嘉定德富中学期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 63．（2024—2025学年七年级上上海田家炳中学期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 1．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 2．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 3．阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 4．阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 5．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（7大解答压轴题型） 题型1 规律性问题 题型5 完全平方公式的应用 题型2 列代数式的应用 题型6 平方差公式与乘法公式综合应用 题型3 整式加减的应用 题型7 因式分解应用 题型4 整式乘除的应用 题型一 规律性问题（共7小题） 1．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ 2．（2024-2025学年七年级上上海市青浦区实验中学期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2024-—2025学年七年级上上海市松江区期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 4．（2023-2024学年七年级上上海市浦东新区川沙中学南校期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 【详解】（1）解：按顺序，每次增加5个正方形，小正方形个数图①，图②，图③； 按顺序，周长每次增加10；周长图①，图②，图③； 填表得： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 （2）解：由（1）第n（n为正整数）个图形中正方形的个数为，周长为． 故答案为：，． 5．（2024-2025学年七年级上上海市闵行区19校联考期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 6．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如表①，将1，2．3，4，5，6，7，8，9九个数填入到的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是______． 表① 【模型迁移】 （2）表②是显示部分式子的幻方，用含的式子表示． 表② （3）表③是显示部分式子的幻方，求的值． 表③ 【详解】解：（1）将九个数填入到的方格内， 若使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是15． 故答案为：15； 在图①中填入数字，如下图； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 （2）根据题意，可有， 整理可得； （3）根据题意，可有， 整理，可得， 又因为， 所以． 7．（2024-2025学年七年级上上海市延安初级中学期中）我们知道一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分?一个空间（三维）被个平面分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形表示）被条直线分割，（给出的图例如下） 直线条数 新直线被分成的份数 原平面被分成的份数 增加的平面份数 新平面被分成的份数 填空：________． 计算：，，，．．．．．，，这组差，再把这组差相加可得：_______．（用含的式子表示），进而得到的表达式． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是的二次多项式，三维的分割数是的三次多项式．我们解决一个平面（二维）被条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了新的办法． 令这个二维分割数为，代入，，得：________．（用含的式子表示） 【类比】一个空间（用球体表示）被个平面分割．（给出的图例如下） 请用以上两种方法分别得出三维分割数．（用含的式子表示） 方法一： 方法二： 【详解】解：由题意可知：平面内有条直线时，平面被分成个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 根据规律可知：当平面内有条直线时，将增加个平面，平面被分成个平面， 故答案为：； 根据规律可知：，，，，， 把这组差相加可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 把、、分别代入， 可得：， 解方程组得：， ， 故答案为：； 方法一、个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴， ∴； 方法二、设， 把、、、代入， 可得：， 解方程组可得：， ． 题型二 列代数式的应用（共6小题） 8．（2024-2025学年七年级上上海市闵行区19校联考期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含、的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【详解】解：（1）地面的总面积为： = . (2)依据题意，可得方程组：             解得：    所以，地面的总面积为：（平房米）. 当铺1平方米地砖的平均费用为100元，铺地砖的总费用为：（元）. 答：那么铺地砖的总费用为4500元. 9．（2024-2025学年七年级上上海市龙茗中学期中）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到；（3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 10．（2024-2025年七年级上上海市闵行区多校期中）小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为a米，为米． (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？需要铝合金多少米？（用a、b的代数式表示） (2)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了下表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 【详解】（1）解：一扇这样的窗户需要玻璃为： 平方米； 需要铝合金：米； （2）解：把，代入得，一扇这样的窗户需要玻璃为： （平方米）； 需要铝合金为： （米）； 买10扇这样的甲品牌窗户需要的费用为： （元）， 买10扇这样的甲品牌窗户需要的费用为： （元）， ∵， ∴小明家选择甲品牌购买窗户划算． 11．（2024-2025学年七年级上上海市七宝中学附属鑫都实验中学期中）数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形． 如图，是一个完美长方形，它恰能被分割成10 个大小不同的正方形．其中，标注（1）、（2）的正方形边长分别为x、y，请你计算： (1)用含x、y的代数式表示：第（4） 个正方形边长 ；第（7） 个正方形边长 ；第（10） 个正方形边长 (2)如果， 求出第（9） 个正方形的边长． 【详解】（1）解：标注（1）、（2）的正方形边长分别为x、y， 标注（3）的正方形边长为， 则第（4） 个正方形边长为， 第（5） 个正方形边长为， 第（6） 个正方形边长为， 第（7） 个正方形边长为， 第（10） 个正方形边长为， 故答案为：，，． （2）解：由题知， 第（8） 个正方形边长为， 第（9） 个正方形边长为． 当时，第（9） 个正方形边长为． 12．（2024-2025学年七年级上上海市建平实验中学期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 13．（2024-2025学年七年级上上海市市西初级中学11月期中）「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．    请根据上述信息回答下列问题，写出你的解题过程： (1)请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的［水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系； (2)将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个长方形，且其中四大类食物的区块都为长方形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16厘米，宽为10厘米，则是否可能同时为正整数？若可能，求出的值；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：因为蔬菜和水果合计占一半，所有蔬菜水果谷类蛋白质， 因为蔬菜谷类， 所以，水果蛋白质； 答：每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量相同； （2）解：存在同时为正整数，，理由如下， 由（1）可知，图3中水果和蔬菜两个矩形的宽的和为8厘米，蛋白质和谷类的长为8厘米， 水果的面积为，谷类的面积为，蔬菜的面积为，蛋白质的面积为， ，， ∴， ∵，， ∴同时为正整数，则． 题型三 整式加减的应用（共4小题） 14．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【详解】（1）解：根据题意，若一名顾客在该超市一次性购物标价x元， 当x低于500元但不低于200元时，他实际付款元； 当x大于或等于500元时，他实际付款元． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴当时，， 答：实际付款850元． 15．（2024—2025学年七年级上上海市莘光学校期中）已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； （2）解： ； 当时，原式． 16．（2024—2025学年七年级上上海市闵行区上宝中学期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个三阶幻方． (1)①若，，，，，，，，是三阶幻方中的9个数，且斜对角线上三个数的和为27，直接写出m的值； ②如图（2）是一个末完成的三阶幻方，直接写出的值． (2)如图（3）是一个四阶幻方，每行、每列以及两条斜对角线上的四个数字之和都相等，请分别说明下面两个等式成立的理由： ①； ②． 【详解】（1）解：①根据幻方规则，将，，，，，，，，填入幻方，如图所示： 斜对角线上三个数的和为27， ，解得； ②由幻方定义可知，解得； （2）解：①根据四阶幻方规则，设，， （i）， 同理令，， （ii）， （i）和（ii）作差变形可得：； ②由（1）知（i）， 同理可知：（ii）， （i）和（ii）相加得：， ． 17．（2024—2025学年七年级上上海市闵行区上宝中学期中）如图是某住房户型平面图（图中长度单位：米），现需要对地面铺装地板，已知房间i，，，，所铺地板的单价分别为，，，，（单位：元/平方米）． (1)若，，，，，的值分别为90，120，80，100，110，请直接用含a的式子写出： ①这所住宅的面积； ②所购地板的总费用． (2)工程设计过程中，设计师发现，当的值为t时，购买地板的费用与c的长度无关，请求出这个t的值． 【详解】（1）解：①根据题意可知i，，，，面积分别为：，，，， 这所住宅的面积为： ②根据i，，，，面积分别为：，，，，， ，，，，的值分别为90，120，80，100，110， 可得所购地板的总费用为： （2）解：依题意，总费用可表示为 上面式子的值与c无关                即              即： 题型四 整式乘除的应用（共13小题） 18．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区交大附中附属嘉定德富中学期中）如图，已知长方形的边长为a，边长为b，正方形的边长为c，点G在上，用a、b、c表示下列图形的面积． (1)求的面积； (2)以G为圆心，以c为半径画弧，求图中虚线所围图形的面积（结果保留） 【详解】（1）解： ， 所以的面积为； （2）解：虚线所围图形的面积 ， 所以影部分的面积为． 19．（2024—2025学年七年级上上海市浦东新区期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 20．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 21．（2024-2025学年七年级上上海市彭浦初级中学期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 22．（2024—2025学年七年级上上海市宝山区淞谊中学期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例1：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即（m，n都是正整数），则，所以． 例2：“若，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘方公式，即（m，n都是正整数），则，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解过程逆用的幂的乘法公式是________； A．        B．        C． ②计算：． 【详解】（1）解：逆向运用同底数幂的乘法公式和逆向运用同底数幂的乘方公式得，， ∵， ∴，得． （2）①由可得小贤的求解过程用到， 故选：C． ②． 23．（2024-2025学年七年级上上海市虹口区期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 24．（2024-2025学年 七年级上上海市实验学校西校　期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则_______； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______． 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积， ∴； 由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． （2）解：由（1）知：， ∴， ， 把代入得， ． 故答案为：155． （3）解：， 可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图：      ∴，，， ∴． 故答案为：9． 25．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 26．（2024-2025学年七年级上上海市黄浦区期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：如图所示， 根据图形可得： 27．（2024-2025学年七年级上上海市 嘉定区五校联考期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积． 如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． （1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示） （2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示） （3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小． 【详解】（1）长方形窗户的长为，高为， 长方形窗户ABCD的总面积为： （2）上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 窗户透光的面积为 （3） 如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为 上面窗户遮阳帘的面积为 下面窗户的遮阳帘的面积为 遮阳帘遮住的面积为 窗户的透光的面积为 b＞a＞0 窗户的透光的面积大于遮阳帘遮住的面积 28．（2024-2025学年七年级上上海市实验学校附属东滩学校期中）已知，如图，四边形是梯形，、相互平行，在上有两点E和F，此时四边形恰好是正方形，已知，，，（单位：米）其中，，现有甲乙两只蚂蚁，甲蚂蚁从A点出发，沿着的路线行走，乙蚂蚁从B点出发，沿着的路线行走，甲乙同时出发，各自走回A和B点时停止．甲的速度是a（米/秒），乙的速度是（米/秒）． (1)用含a、b的代数式表示： ①甲走到点C时，用时________秒； ②当甲走到点C时，乙走了________米； ③当甲走到点C时，此时乙在点M处，的面积是________平方米； ④当甲走到点C时，已经和乙相遇一次，它们从出发到这一次相遇，用时________秒． (2)它们还会有第二次相遇吗？如果有，请求出两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间．如果没有，简要说明理由． 【详解】（1）解：（1）①甲走到点C时，用时：（秒）； 故答案为：； ②（米） 则当甲走到点C时，乙走了米； 故答案为：； ③， ∴的面积＝（平方米）， 故答案为：； ④设这一次相遇，用时t秒， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：假设还有第二次相遇，设第二次x秒时相遇，则此时一定相遇在上， 根据题意得： ， 答：两只蚂蚁从出发到第二次相遇所用的时间是秒． 29．（2024—2025学年七年级上上海市普陀区期中）已知正方形和正方形的边长分别为a、． (1)如图1，将正方形的边、分别与正方形的边、重合，点C在边上，延长交边于点M，连结，请用含a、b的代数式表示梯形的面积． (2)如图2，将正方形的边与正方形的边重合，点D在的延长线上，延长交边于点M． ①用含a、b的代数式表示三角形的面积． ②连结交于H，记三角形的面积为，三角形的面积为，用含a、b的代数式表示． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 梯形的面积为：； （2）解：①根据题意得：， ， 三角形的面积为：； ②如图，连接， 则梯形的面积为： ； 由①知三角形的面积为：； 三角形的面积为： ； 三角形的面积为：， ， ． 30（2024-2025学年七年级上上海市南洋模范学校期中）．阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【详解】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 题型五 完全平方公式的应用（共19小题） 31．（2024-2025学年七年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）应用完全平方公式解决下列问题： (1)已知，，求和的值； (2)已知，求和的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 32．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【详解】（1）解：∵，则 ∴； （2）解：当点P是的中点时，， ∴； （3）解：当点P不是的中点时，得， ∴ ∵ ∴ ∴． 33．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 34．（2024-2025年七年级上上海市闵行区多校期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，A、D、E三点在一条直线上， (1)如图①，，，这两个正方形的面积之和是______．（用m、n的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求是多少？ (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是_________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【详解】（1）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，，根据题意得： ， 解得：， ∴这两个正方形的面积之和是： ． （2）解：∵大正方形和小正方形的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2， ∴根据解析（1）可得：， 解得：， ∴． （3）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据题意得： ， ∴， ∴阴影部分的面积之和为：． （4）解：∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 35．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，则， ， 所以 解决问题 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）． 【详解】（1）解：设，， 则 ，， ∴； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：根据题意可知，，， ∵长方形的面积是5， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵四边形和都是正方形， ∴阴影部分的面积为： ． 36．（2024—2025学年七年级上上海市莘光学校期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【详解】（1）解：（1）设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 37．（2024—2025学年七年级上上海市浦东新区期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：_______； (2)写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：_______； (3)已知实数满足，求的值． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，还可以看成是由1个边长为a的正方形， 1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形， 2个长为c，宽为b的长方形组成的， ∴； （2）解：图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积， ∴； （3）解：当 ． 38．（2024-2025学年七年级上上海市彭浦初级中学期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 39．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区11月期中）问题发现：若满足，求的值． 小明在解决该问题中，采用了以下解法： 解：设， 则， 所以 请根据小明的解法解决下列问题． (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)拓展延伸：如上图，正方形边长为，，，分别以、为边长作正方形和，四边形和是长方形，且长方形的面积是10，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体数值） 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：设， ∴，， ∴ ； （3）解：设，， 正方形的边长为，，， ，， ， 长方形的面积为10， ， ， 正方形的面积 ， 四边形（阴影部分）的面积为． 40．（2024-—2025学年七年级上上海市松江区期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 41．（2024-2025学年七年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为， 因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成， 由此可得：． 故答案为：； （2）①由可得：， 将，代入 得：， 解得：； ②令，，则，， 整体代入可得： ， ∴， 故这个长方形的面积为． 42．（2024-2025学年七年级上上海市淞谊中学期中）利用几个几何图形可拼接成许多优美的图形，运用面积法从这些图形中获得代数方面的重要公式，达到了“形与数”的结合． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用面积可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式_____ (2)实验操作： 数学学习小组的小嘉同学发现，连接每个长方形的一条对角线，能得到一个重要的几何图形．如图2，连接每个长方形的一条对角线，可得到“赵爽的勾股弦图”，她在草稿纸上画出了这个图形．如图3，由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．而同一个学习小组的小怡同学却说：“用四个大小相同的直角三角形我能用另一种拼法也拼接成一个大正方形，且中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）的图形． 请你在答题纸上画出小怡同学拼法． 画图： (3)知识迁移： 阅读下面一段关于“勾股定理”的证明材料． 阅读材料： 1．赵爽“弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为的正方形中有四个斜边为的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为，．你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 验证：大正方形可以看成边长为的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有六正方形，所以． 整理得． 请你在小怡同学拼法的图形中，仿照阅读材料的过程给出“勾股定理”的证明． 证明： (4)综合运用： 聪明的小郁同学观察了这两个“勾股定理”的证明图形，得出了一个结论“当分别知道了这两个大正方形面积时，可求得直角三角形的面积”，她的结论是否正确？如果正确，请你在两个大正方形面积分别为45和24的条件下，求出直角三角形的面积，如果不正确，说明你的理由． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）解：画图为 （3）证明：大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以整理得． （4）解：由（3）可知， 因为， 所以，， 利用完全平方公式，可得 所以直角三角形的面积为． 43．（2024-2025学年七年级上上海市地杰中学期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 44．（2024-2025学年七年级上上海市华东理工大学附属中学期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．    (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【详解】（1）依题意得：； 故答案为：． （2）依题意得：； 故答案为：． （3）由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； （4） ． 当，时， 原式． 45．（2024-2025学年七年级上上海市华东理工大学附属中学期中）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=155； 故答案为：155 （3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=2，y=2，z=5， ∴x+y+z=9； 故答案为：9 （4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5）解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 46．（2024-2025学年七年级上上海市虹口区期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 47．（2024-2025学年七年级上上海市市西初级中学11月期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 【详解】（1）解：由题意得大正方形的边长为，则面积为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （3）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （4）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以． 48．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学期）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算、完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题关键． 49．（2024--2025学年七年级上上海市静安区期中）阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，， 所以 解决问题 （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．    【详解】解：（1）设，， 则，， ∴ （2）设， 则，， ∴， 即 解得：，即； （3）正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2， ∴，， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5， ∴，， ∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=， 设，，则，， ∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH ∵，即， 解得：， ∴，即阴影部分的面积为21． 题型七 平方差公式与乘法公式综合应用（共4小题） 50．（2024-2025学年七年级上上海市崇明区九校联考（五四制）期中）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2-b2， 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b）， 所以有a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：①； （2）①， ， 又， ， 即 ； ②， ， ， 原式． 51．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ． (1)填空：_____；_____． (2)计算（需写出计算过程）： ； ． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：① ； ② ． 52．（2024-2025学年七年级上上海市曹杨第二中学附属学校期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 53．（2024-2025学年七年级上上海市西延安中学期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 题型七 因式分解的应用（共10小题） 54．（2024--2025学年七年级上上海市静安区期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 55．（2024-2025学年七年级上上海市南洋模范学校期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 56．（2024-2025学年七年级上上海市骏博外国语学校期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 57．（2024-2025学年七年级上上海市宝山区期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 58．（2024-2025学年七年级上上海市奉贤区11月期中）阅读：分解因式 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 在有理数范围内分解因式：． 【详解】解： = = = = = 59．（2024-2025学年七年级上上海市杨浦区期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【详解】（1）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （2）解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 60．（2024-2025学年七年级上上海市黄浦区期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【详解】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 61．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区部分学校 期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 62．（2024-2025学年七年级上上海市嘉定区交大附中附属嘉定德富中学期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 63．（2024—2025学年七年级上上海田家炳中学期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 1．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 2．“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为 (1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）； (2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解的应用，整式的除法； （1）根据当时，，得多项式必有一个因式，设，然后比较同类项的系数，进而可得出答案； （2）根据多项式既能被整除，又能被整除，得当或时，，将代入整理得①，将代入整理得②，再由①②解出，的值即可． 【详解】（1）解： 当时，， 多项式必有一个因式， 设， ， 比较同类项的系数得：，， 由，解得：， 由，解得：， ； （2）解：多项式既能被整除，又能被整除， 多项式必有因式和， 当或时，， 当时，， 整理得：①， 当时，， 整理得：②， ①②，得：， ， 将代入②，得：． ，． 3．阅读理解应用 待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，， 可以求出，，所以 (1)若x取任意值，等式恒成立，则 ； (2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键． （1）直接对比系数得出答案即可； （2）根据题意设，进一步展开对比系数得出答案即可． 【详解】（1）∵恒成立， ∴ ∴； （2）设， ∴， ∴， 多项式的另一因式是． 4．阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，理解题干给定的信息，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则，进行求解即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，求出的值，进而求出方程的两个根即可； （3）根据要求构造一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 由题意，可知：， ∴； 故答案为：； （2）， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）由题意，当或时，， ∵， ∴二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5的一元二次方程可以为：． 5．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【答案】(1) (2)；； (3) (4)22 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：①； ②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $