两直线的位置关系、对称问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

两直线的位置关系、对称问题 基础性 1.“a=一1”是“直线ax+3y十3=0和直线x十(a-2)y+1=0平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若三条直线2x十3y+8=0,x一y-1=0,x十y=0交于一点，则k=() A.-2B.2 C.-12D.12 3.若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为5，则实数a的值为() A.4B.5-6 C.4或-16D.8或-16 4.己知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为1，直线12：y=-2x+1,3:y=-1x-1n 若1∥32,2⊥k,则m十n=() A.-10B.-2 C.0D.8 5.已知△ABC的顶点B(2,1),C(一6,3)，其垂心为H(一3,2)，则其顶点A的坐标 为() A.(-19,-62)B.(19,-62) C.(-19,62)D.(19,62) 6.已知过A(m,2),B(一m,m一1)两点的直线的倾斜角是45°，则A,B两点间的距 离为 7.己知点A(1,4),B(3,一2)，则经过线段AB的中点，且与直线x-2y十9=0平行的 直线的方程为 8.若两条直线1：x十2y-6=0与12：x十y-5=0平行，则直线1与2间的距离是 综合性 9.已知直线x十2y-3=0与直线x十4y十b=0关于点A(1,0)对称，则实数b=() A.2B.6 C.-2D.-6 10.如果直线y=ax十2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么() A.a=13,b=6B.a=13,b=-6 C.a=3,b=-2D.a=3,b=6 11.在平面直角坐标系中，己知点A(0,一2)，B(1,0),P为直线2x一4y十3=0上一动 点，则PA十PB的最小值是() A.5B.4 C.5D.6 12.如图，平面上两点P0,1),Q(3,6,在直线y=x上取两点M,N,使得MN=2, 当PM+MM+NQ的值最小时，点N的坐标为 Q3,6) P(0,1 创新性 13.(2024·四川成都月考)设m∈R,过定点A的动直线x十y=0和过定点B的动直 线-y-m+3=0交于点Px,y),则PA+PB的取值范围是 14.定义：在平面直角坐标系中，设点Px,),Q2,y2),则dP,Q)=:一十| h一2叫做P,Q两点的“垂直距离”，己知点Mxo,yo)是直线a十by十c=0外一定点，点 N是直线十by十c=0上一动点，则M,N两点的“垂直距离”的最小值为() A.ax0+by0+cmax(al,b)B.ax0+by0+cr(a2+b2) C.lax0+by0+cllal+b D.axo+byo+c 两直线的位置关系、对称问题 基础性 1．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　由题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1，故选C. 2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0交于一点，则k＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析：C　由得即三条直线的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得－1－2k＝0，解得k＝－.故选C. 3．若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a的值为(　　) A．4 B．－6 C．4或－16 D．8或－16 解析：C　将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0， 则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离 d＝＝，根据题意可得＝， 即|a＋6|＝10，解得a＝4或a＝－16， 所以实数a的值为4或－16.故选C. 4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n＝(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 解析：A　因为l1∥l2， 所以kAB＝＝－2，解得m＝－8. 又l2⊥l3，所以(－)×(－2)＝－1， 解得n＝－2.所以m＋n＝－10.故选A. 5．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为(　　) A．(－19，－62) B．(19，－62) C．(－19，62) D．(19，62) 解析：A　因为H为△ABC的垂心， 所以AH⊥BC，BH⊥AC. 又kBC＝＝－，kBH＝＝－， 所以直线AH，AC斜率存在且kAH＝4，kAC＝5. 设A(x，y)， 则解得 所以A(－19，－62)，故选A. 6．已知过A(m，2)，B(－m，m－1)两点的直线的倾斜角是45°，则A，B两点间的距离为________. 解析：2　由题知，＝tan 45°＝1，解得m＝1， 故A(1，2)，B(－1，0)， 则A，B两点间的距离为＝2. 7．已知点A(1，4)，B(3，－2)，则经过线段AB的中点，且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程为________________． 解析：x－2y＝0　由点A(1，4)，B(3，－2)，得线段AB中点的坐标为(2，1). 故过点(2，1)且与直线x－2y＋9＝0平行的直线的方程可设为x－2y＋b＝0， 将点(2，1)代入，可得b＝0，故所求直线方程为x－2y＝0. 8．若两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：x＋ay－5＝0平行，则直线l1与l2间的距离是________． 解析：　因为两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：x＋ay－5＝0平行，所以a－2×1＝0，解得a＝2.经检验a＝2时，l2：x＋2y－5＝0，两直线不重合，所以a＝2. 则直线l1与l2间的距离为＝. 综合性 9．已知直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则实数b＝(　　) A．2 B．6 C．－2 D．－6 解析：A　由于直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称， 所以两直线平行，故2a＝4，则a＝2. 由于点(3，0)在直线x＋2y－3＝0上，点(3，0)关于点A(1，0)的对称点为(－1，0)， 故(－1，0)在ax＋4y＋b＝0上，代入可得－a＋b＝0，故b＝a＝2，故选A. 10．如果直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称，那么(　　) A．a＝，b＝6 B．a＝，b＝－6 C．a＝3，b＝－2 D．a＝3，b＝6 解析：A　在y＝ax＋2上取一点(0，2)，则由题意可得其关于直线y＝x的对称点(2，0)在y＝3x－b上， 所以0＝6－b，得b＝6. 在y＝3x－6上取一点(0，－6)， 则其关于直线y＝x的对称点(－6，0)在y＝ax＋2上， 所以0＝－6a＋2，得a＝. 综上，a＝，b＝6，故选A. 11．在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　) A． B．4 C．5 D．6 解析：B　设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)， 则 解得所以A′(－，)， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝＝4，如图， 当且仅当点P为线段A′B与直线2x－4y＋3＝0的交点时等号成立， 所以|PA|＋|PB|的最小值是4，故选B. 12．如图，平面上两点P(0，1)，Q(3，6)，在直线y＝x上取两点M，N，使得|MN|＝，当|PM|＋|MN|＋|NQ|的值最小时，点N的坐标为________． 解析：(，)　点P关于直线y＝x的对称点为点P′(1，0)，则有|PM|＋|MN|＋|NQ|＝|P′M|＋|MN|＋|NQ|. 过Q(3，6)作平行于y＝x的直线为y＝x＋b，由6＝3＋b得b＝3，即此时直线为y＝x＋3. 过M作MQ′∥NQ，则|MQ′|＝|NQ|，|QQ′|＝|MN|＝，则|P′M|＋|MN|＋|NQ|＝|P′M|＋|MN|＋|MQ′|. 由于|MN|是常数，要使|PM|＋|MN|＋|NQ|的值最小，则|P′M|＋|MQ′|的值最小，即P′，M，Q′三点共线时最小． 设Q′(a，a＋3)(a<3)，由|QQ′|＝|MN|＝得＝， 即2(a－3)2＝2，解得a＝2(a＝4舍去)，即Q′(2，5). 设M(x，x)，则＝＝5， 解得x＝，即M(，). 设N(b，b)，b>，由|MN|＝得＝，得2(b－)2＝2，解得b＝或b＝(舍去)， 故N(，). 创新性 13．(2024·四川成都月考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是________________． 解析：[，2]　由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A(0，0). 动直线mx－y－m＋3＝0，即m(x－1)－y＋3＝0，经过定点B(1，3). 因为动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直， 又点P是两条直线的交点，所以PA⊥PB， 所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10. 设∠ABP＝θ，则|PA|＝sin θ，|PB|＝cos θ， 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]， 所以|PA|＋|PB|＝(sin θ＋cos θ)＝2sin (θ＋). 因为θ∈[0，]，所以θ＋∈[，]， 所以sin (θ＋)∈[，1]， 所以2sin (θ＋)∈[，2]. 14．定义：在平面直角坐标系中，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|叫做P，Q两点的“垂直距离”，已知点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点，则M，N两点的“垂直距离”的最小值为(　　) A． B． C． D．|ax0＋by0＋c| 解析：A　因为点M(x0，y0)是直线ax＋by＋c＝0外一定点，点N是直线ax＋by＋c＝0上一动点， 所以设N(－，－)， 故M，N两点的“垂直距离”d(P，Q)＝|－－x0|＋|－－y0|＝＋≥. 所以M，N两点的“垂直距离”的最小值为.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $