精品解析：湖北省部分学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

2026届九年级开学考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程．将一元二次方程整理成一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项系数是． 故选：B． 2. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，解一元一次不等式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0且二次项系数不为0，求出a的范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解不等式得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 4. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 5. 某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1＋x）2＝3390 B. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝3390 C. 1000（1＋2x）＝3390 D. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋2x）＝3390 【答案】B 【解析】 【分析】月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A. 7 B. 7或6 C. 6或﹣7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∴方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6； 当m=n时，﹣6+k+2=0 ∵，，， ∴， 解得：， 综上所述，k的值等于6或7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 7. 已知一元二次方程的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．利用因式分解法解方程得到，，然后分类讨论，根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的另一条对角线，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 当菱形的一边长为2，一条对角线长为3，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积； 当菱形的一边长为3，一条对角线长为2，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积， 综上所述，菱形的面积为或． 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把整理为，得，根据x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根利用一元二次方程根与系数的关系可得结论. 【详解】解：， ， ， ， ， 设，是方程（a，b，c为实数，）的两个根， ∴， ， ， 故选：A. 【点睛】考查了根与系数的关系，掌握“若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-，x1•x2=”的含义是解题的难点． 9. 如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（ ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 10. 定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化成一元二次方程的一般形式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， 去括号、移项，得． 故答案为：． 12. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 13. 在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，；乙同学看错了，解得方程的根为，，则方程中的________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．根据题意可知，由两根之积等于常数项可求得q值，由两根之和等于一次项系数的相反数可求得p的值． 【详解】解：∵解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，， ∴， ∵乙同学看错了，解得方程的根为，， ∴，即， 故答案为：；． 14. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有_____家公司出席了这次交易会？ 【答案】13． 【解析】 【分析】设有x家公司参加，则每个公司要签（x−1）份合同，签订合同共有x（x−1）份，由此列出方程解答即可． 【详解】设有x家公司出席了这次交易会， 依题意，得：x（x﹣1）＝78， 整理得：x2﹣x﹣156＝0， 解得：x1＝13，x2＝﹣12（舍去）， 即共有13家公司出席了这次交易会． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解． 15. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可． 【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合实际）， “衰分比”是， 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再把进行因式分解，最后化成一元一次方程即可求解； （2）运用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原方程移项，得， 因式分解，得， 于是得或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 17. 若，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，异分母分式加法以及完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，异分母分式加法以及完全平方公式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据异分母分式加法以及完全平方公式的变形解答即可； （2）根据完全平方公式的变形解答即可； （3）根据完全平方公式的变形解答即可． 【小问1详解】 解：，是一元二次方程的两根， ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：，． 18. 嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． （1）嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程． （1）根据解一元二次方程的解法判断即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉：当时，不满足等式的性质，故嘉嘉得解法不正确； 淇淇：提取公因式时，的符号错误，应该是，故淇淇的解法不正确； 故答案为：不正确；不正确； 【小问2详解】 解： 或 ． 19. 已知方程． （1）当时，求方程的根． （2）若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； 【小问2详解】 解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 20. 在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． （1）若所构菱形面积为，则应如何截取？ （2）所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 【答案】（1）截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； （2） 不能构成面积为的菱形， 理由：由（1）可得：， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴不能构成面积为的菱形． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，菱形的面积，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意列出一元二次方程，求解即可； （2）由（1）可得，，即，因为，方程无解，即可判断． 【小问1详解】 解：将一根长为的小棒截成两段，设其中一段的长为，则另一段的长为，依题意得： ， ∴， 解得：，， 当时，，当时，， ∴将一根长为的小棒截成长度分别为和两段，所构菱形面积为； 【小问2详解】 略 21. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1） （2） ①证明：∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②； ③ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 【小问2详解】 ①略 ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6．1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280件，7月份的销售量为2000件；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100件． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售 量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1，每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是21和19元；任务2，该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务3，该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元时，该款奶茶应该降价4元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是和元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务3，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是和元， 由题意得，解得， 答：每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价分别是21和19元； 任务2，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务3，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元时，． 23. 已知点P为正方形边上一动点，将沿翻折，得，已知正方形的边长满足方程． （1）求正方形的边长； （2）如图1，若点P为中点，延长交于点F． ①求的长； ②连并延长交于点G，求的长； （3）点M在边上且，点N为中点．若点P在射线上从B点向下运动，到取得最大值时，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】（1）6 （2）①2；② （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据因式分解法解一元二次方程可得答案； 对于（2）①，先连接，证明，可得，再设，可表示，根据勾股定理列出方程，求出解即可；②，先说明是的垂直平分线，可得，进而证明，可知，最后根据勾股定理求出答案； 对于（3），根据翻折可知，再根据中点的定义可得，然后根据，当三点共线时最大，再画出图形，根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 ， 解得（舍）， 所以正方形的边长为6； 【小问2详解】 ①，连接， 根据翻折可知，． ∵点P是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则 ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以； ②，∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得； 【小问3详解】 根据翻折可知， ∵点N是的中点， ∴． 由，如图，当点M，C，N三点共线时最大． 根据题意可知，， ∴， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 所以点P运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，根据三角形两边之和大于第三边确定最大值是解题的关键． 24. 如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点， （1）求直线的表达式． （2）如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上． ①请直接写出下列线段的长度：______，______． ②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值． （3）如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______． 【答案】（1）直线的表达式为； （2）①2，；②m的值为或； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知，求得B、C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）①利用中位线的性质可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得； ②首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与重叠部分为三角形时才满足条件，分和两种情况，利用三角形的面积公式，列出方程解得m； （3）设，则，求得，，，利用勾股定理可得n，即可求解． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的表达式为． ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①∵D是的中点， ∴， 又∵E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：2，； ②设矩形移动的距离为m， 当时，如图， ∴． ∴， 依题意得， ∴(负值已舍)； 当时，如图， 此时G、D重合， ∴， ∴，此情况不存在； ∴当重叠部分为多边形时，都不存在； 当时，如图， ∴． ∴， 依题意得， ∴(舍)或； 综上，m的值为或； 【小问3详解】 解：当点F在边上时， 在中，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解之得（负值已舍）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级开学考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1＋x）2＝3390 B. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋x）2＝3390 C. 1000（1＋2x）＝3390 D. 1000＋1000（1＋x）＋1000（1＋2x）＝3390 6. 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A. 7 B. 7或6 C. 6或﹣7 D. 6 7. 已知一元二次方程的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 或 8. 关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（ ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化成一元二次方程的一般形式为 _____． 12. 若，则_______． 13. 在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为，；乙同学看错了，解得方程的根为，，则方程中的________，________． 14. 在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有_____家公司出席了这次交易会？ 15. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 三、解答题：本题共6小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 17. 若，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 18. 嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． （1）嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 19. 已知方程． （1）当时，求方程的根． （2）若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 20. 在课外活动中，小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究．他将一根长为的小棒截成两段，并将之放置在互相垂直平分的位置上，将端点用橡皮筋连接，即构造出了菱形． （1）若所构菱形面积为，则应如何截取？ （2）所构菱形面积可以为吗？试说明理由． 21. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 22. 根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 a元/杯 芝士杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 b元/杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6．1儿童节”，购买了这两款爆款奶茶： 1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元； 2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280件，7月份的销售量为2000件；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100件． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售 量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 23. 已知点P为正方形边上一动点，将沿翻折，得，已知正方形的边长满足方程． （1）求正方形的边长； （2）如图1，若点P为中点，延长交于点F． ①求的长； ②连并延长交于点G，求的长； （3）点M在边上且，点N为中点．若点P在射线上从B点向下运动，到取得最大值时，请直接写出点P的运动路径长． 24. 如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点， （1）求直线的表达式． （2）如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上． ①请直接写出下列线段的长度：______，______． ②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值． （3）如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $