精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题．（每题3分，共24分） 1. 如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 2. 如图，已知，点B和点E是对应顶点，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（       ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 7. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①②④⑤ 8. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 10. 如图，点，，．则点的坐标为___________． 11. 如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 12. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 三、解答题．（共6小题，共64分） 13. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，．求C点的坐标． 15. 小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． （1）如图1，当点F落在线段上时，求的度数． （2）如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． （3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 16. 求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 要求： （1）如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程． 17. 知识回顾 设的面积为1．如图1，分别将，边2等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形， （1）则的面积　　，　　； （2）求出四边形的面积． 【拓展探究】 （3）如图2，分别将，边3等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 如图3，分别将，边4等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积　　． 【知识运用】 （4）①如图4，中，，，，，，求四边形的面积． ②如图4，中，，，如果，，直接写出四边形的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，以为一直角边在第四象限内画等腰直角，其中． （1）点的坐标为____________ （2）试判断线段、的关系，并说明理由； （3）设的中点为，直线交轴于点．问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学第一次月考试卷 考试分数：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题．（每题3分，共24分） 1. 如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，解答本题的关键是掌握相关知识． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性． 故选：C． 2. 如图，已知，点B和点E是对应顶点，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，故可得出，据此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 3. 如图，在中，的外角和内角的平分线交于点D．，相交于点O，下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，证明，即可判断①，根据得到，即可判断②，根据得到，即可判断③，假设，推出，即可判断④． 【详解】解：∵的外角和内角的平分线交于点D． ∴ ∵，， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∴ ∴； 故②正确； 若，则， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 但根据已知条件无法证明， 故④不正确， 综上可知，①②③正确， 故选：C 【点睛】此题考查三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 4. 如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高等相关知识， 根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行一一判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴平分． ∴是的角平分线，故①正确； ②F为的中点，但F不是的边对边的顶点， ∴不是的边上的中线；故②错误； ③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确， 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 5. 如图，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质、三角形外角性质等知识，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键． 由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案， 【详解】解：， ， 在中，是的一个外角，则， ∵， ， 故选：C． 6. 如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（       ） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又、是的角平分线， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是． 7. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤． 【详解】在正方形中，，， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在正方形对角线上， 到，的距离相等， ， ， ，故③正确； 设正方形的边长为， ， 当是的中点时，． 由勾股定理得： ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当是的中点时，，故④正确， 当时，， ，， ， ， ， 中边上的高与中边上的高相等，， ， 设，则，， ， ， 当时，， ， ， ， ，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：C． 8. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示： 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题．（每题3分，共12分） 9. 如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，先构造直角三角形，再利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，由题意知：垂直于． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，点，，．则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质、二元一次方程组的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作轴的平行线，分别交过点作轴的平行线于点，设点的坐标为，则，再证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别交过点作轴的平行线于点， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在▱中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 12. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，综合程度较大，能够处理好各个角度之间的关系是解题关键． 设与的交点为点，先证得为的垂直平分线，再通过角度的换算和线段的等量关系换算可得到是等边三角形，故③正确；得到，又，可得到，故②错误；在上取P点，使得，证得，再通过线段的等量关系可知①正确；，，可得到，进而，从而故④正确． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图，在上取P点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴故④正确， 故答案为： ①③④． 三、解答题．（共6小题，共64分） 13. 如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，．求C点的坐标． 【答案】C点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质等知识，过点作轴于点，则，由，，得到，再证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点． 15. 小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． （1）如图1，当点F落在线段上时，求的度数． （2）如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． （3）思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）30或40或50 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． （1）延长交直线于点，由平行线的性质得，再根据三角形外角性质可得结论； （2）①延长交于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； ②延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （3）分、和三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可． 【小问1详解】 解：延长交直线于点，如图， ， ∵，且， ∴， 又， ∴， 【小问2详解】 解：①延长交于点G，如图， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点，如图， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①当时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：； ③当时，作直线分别交于点，如图， ， 则， ∴， 又， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上，的值为30或40或50． 16. 求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 要求： （1）如图，在中，用尺规作出边上的中线，边上的中线，且与交于点G（不写做法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程． 【答案】（1） 如图所示，     （2） 已知：在中，、分别是、边上的中线，且与交于点G．求证：，． 证明：连接，    、分别是边、的中点， ，， ， ， ， ，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形的中线的性质及尺规作图． （1）根据三角形的中线的定义作出图形即可； （2）根据三角形中线的性质，证明，由三角形相似的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 知识回顾 设的面积为1．如图1，分别将，边2等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形， （1）则的面积　　，　　； （2）求出四边形的面积． 【拓展探究】 （3）如图2，分别将，边3等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 如图3，分别将，边4等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积　　； 按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积　　． 【知识运用】 （4）①如图4，中，，，，，，求四边形的面积． ②如图4，中，，，如果，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）四边形的面积为；（3），，；（4）①四边形的面积为；②． 【解析】 【分析】（1）将边2等分，得的面积，即可求解；根据中位线性质可知，，得，即可求解； （2）如图所示，连接，由相似三角形的性质可知，根据同底等高得，，即可求解； （3）连接，，图1中，，是两边的三等分点，得，，得，且，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得，根据同高的两三角形面积比等于底边之比，可得，，即可求解；同理得：图3中；以此类推，将 ，边等分，得到四边形，， （4）①，利用上面的结论，可得四边形的面积． ②由上问可知． 【详解】解：（1）将边2等分， 的面积， 连接， ，分别将，边2等分， ，， ， ， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 图1中，，是两边的中点， ，， ，且， ， 是的中点， ， ， ， ； （3）连接，， 图1中，，是两边的三等分点， ，， ，且， ， 是的三等分点， ， ， ， ； 同理得：图3中； 以此类推，将，边等分，得到四边形， ， 故答案为：，，； （4）①， ， 四边形的面积． ②由上问可知． 【点睛】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的解题原理归纳结论，考查图形的变化问题及三角形面积的计算，三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，以为一直角边在第四象限内画等腰直角，其中． （1）点的坐标为____________ （2）试判断线段、的关系，并说明理由； （3）设的中点为，直线交轴于点．问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：．理由如下： 由正方形，可得，， 由等腰直角三角形，可得，， ， 即， ， ． （3） 解：点的位置不会发生变化．理由如下： 如图，过点作，分别交直线，于点，， ， ， ， 又， ， ，， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ，即， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ，即点的位置不会发生变化． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得出答案； （2）由正方形，可得，，由等腰直角三角形，可得，，再根据，即可得到，进而得出； （3）过点作，分别交直线，于点，，判定，可得，，判定，可得，依据，可得，依据，可得，进而得到是等腰直角三角形，进而得到，即点的位置不会发生变化． 【小问1详解】 解：，以为一边在第四象限内画正方形， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、坐标与几何图形的关系、正方形的性质等知识点，解题的难点在于作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $