精品解析：重庆市渝北中学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

渝北中学教育集团 2025 － 2026 学年上期初三第一学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，总分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用 2B 铅笔规范填涂． 4．非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用 2B 铅笔完成． 一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 下列运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查嘉陵江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况 C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率 6. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ） A. 32 B. 29 C. 28 D. 26 8. 某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，E是正方形外一点，连接、，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，若，， 则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 10. 已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算______ 12. 已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 13. 已知是方程的一个根则 ______． 14. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______． 15. 如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为________． 16. 对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数为“胜利数”． 例如：，因为，，所以6325是个“胜利数”；又如，因为，所以6528不是一个“胜利数”． （1）则满足条件的最小“胜利数”是______． （2）已知一个四位正整数，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个新数为原数的“逆序数”，记为四位正整数与其“逆序数”之差，例如：，其“逆序数”为6785，．若一个“胜利数”的十位数字为，百位数字为，，若是9的倍数，则满足条件的的最大值是______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题个小题，每小题分，共分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 19. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 23. 缙云山是国家级旅游景区，也是重庆“四大名山”之一．小初和小高相约去缙云山，两人同时从点A出发前往景区大门点D，点D在点A北偏东方向，由于小初中途去买水果，所以他们沿不同路线前往．小初从点A向正东方向步行500米到水果店点B，购买水果后向东北方向步行1000米到C，再往正北方向步行到达景区大门点D；小高从点A出发向北偏西方向步行至点E，再沿步行到达景区大门点D，景区大门点D在点E北偏东方向．(参考数据: （1）求点C到景区大门D的距离(结果保留根号); （2）小初步行速度是每分钟50米，小高步行速度是每分钟60米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达景点大门点D?请通过计算说明． 24. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，． （1）如图 1，若，，求的面积； （2）如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团 2025 － 2026 学年上期初三第一学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，总分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚． 2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 3．选择题部分请按题号用 2B 铅笔规范填涂． 4．非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色签字笔书写． 5．作图（包括作辅助线）请一律用 2B 铅笔完成． 一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、有理数的比较大小，先求出各数的绝对值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的是； 故选：A． 2. 下列运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：C 5. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查嘉陵江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况 C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全面调查，根据全面调查的意义以及适合用来全面调查的条件对每个选项进行分析即可解决问题． 【详解】解：A、由于嘉陵江流域面积大，水量大，故A选项不适合全面调查； B、调查对象多，范围广，故B选项不适合全面调查； C、调查对象集中，数量不大，适合全面调查，故C最合适； D、调查难度大，不容易操作，故D选项不适合全面调查． 故选：C． 6. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 7. 下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的个数是（ ） A. 32 B. 29 C. 28 D. 26 【答案】B 【解析】 【详解】根据给出的几个图形我们可以得到黑色正方形的个数的一般规律为：2+3（n－1）=3n－1，则当n=10时，原式=30－1=29， 故选B. 8. 某超市2005年一月份的营业额为200万元，三月份营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据题意得出方程，解出即可． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：， ， ，舍去， 所以，平均每月的增长率为． 故选：D． 9. 如图，E是正方形外一点，连接、，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，若，， 则的长是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，构造等边三角形，利用全等三角形的性质得到是解答的关键．先证明是等边三角形得到，再利用勾股定理求得；作等边三角形，过C作延长于N，连接，则，，证明得到，然后利用勾股定理，结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴ 作等边三角形，过C作延长于N，连接， 则，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式的系数规律问题，理解题意，根据递减条件、相邻系数差以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析解答即可． 【详解】解：①由题意，当时，，，，超出范围， 则n的最大值为4，故①正确； ②当时，，可取2，1，0，有3种情况； 当时，，可取1，0，有2种情况； 当，可取0，有1种情况； 当时，可取18，19，20，有3种情况，但当时，超出范围， ∴若，则满足条件的整式有个，故②错误； ②由题意，，则， ∴，又，超出范围， ∴，，， 当时，可取9、10、11、12、13、14、15，有7种情况； 当时，可取10、11、12、13、14、15，有6种情况； 当时，可取11、12、13、14、15，有5种情况； 当时，可取12、13、14、15，有4种情况； 当时，可取13、14、15，有3种情况； 当时，可取14、15，有2种情况； 当时，可取15，有1种情况； 当时，有0种情况， 故满足条件的整式有个，故③正确； 正确的个数有2个， 故选：C． 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负指数幂的运算法则． 利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此； 所以原式． 故答案为． 12. 已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 13. 已知是方程的一个根则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 14. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【详解】解：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0， ∴x1=5，x2=8， ∵3+4=7＜8，不能组成三角形， ∴x=5. ∴周长为3+4+5=12. 故答案为12. 15. 如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．解直角三角形求得，，由旋转的性质求得，过点A作于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H， 则，在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数为“胜利数”． 例如：，因为，，所以6325是个“胜利数”；又如，因为，所以6528不是一个“胜利数”． （1）则满足条件的最小“胜利数”是______． （2）已知一个四位正整数，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个新数为原数的“逆序数”，记为四位正整数与其“逆序数”之差，例如：，其“逆序数”为6785，．若一个“胜利数”的十位数字为，百位数字为，，若是9的倍数，则满足条件的的最大值是______． 【答案】（1）3012 （2）9234 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题、整式的四则混合运算等知识点，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“胜利数”是3012； （2）一个“胜利数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为，则 得到 ，只需是9的倍数即可． 【小问1详解】 解：根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“胜利数”是3012． 【小问2详解】 解：一个“胜利数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为， ， 得到，只需是9的倍数即可， 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为3618； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为6426； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为9234； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 所以M的最大值是9234． 故答案为：3012，9234． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】2，3，4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，再确定解集中的整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的所有整数解为：2，3，4． 18. 学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路完成以下作图和填空： （1）如图，在四边形中，点是对角线的交点，过点的直线分别交边，于，，用尺规过点作的垂线，与边，分别相交于，，连接，，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , , ， 同理可得 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【答案】（1）如下图所示，即为所求， （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了过直线上一点作已知直线的垂线、平行四边形的性质、菱形的判定． 由平行四边形的性质可知点是线段的中点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线，即为所求； 根据平行四边形的性质可知，，根据平行线的性质可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，同理可证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又由作图可知，从而可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如下图所示， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，过两点作直线， 直线即为所求， 连接，，，即可； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， , ,， ， 同理可得， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，． 四、解答题：（本大题个小题，每小题分，共分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置． 19. 进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好， 理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好； （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值； （）根据平均数、众数、中位数判断即可； （）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可. 【小问1详解】 解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名， 又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85， ∴中位数， ∵九年级组成绩学生数有名， ∴九年级组成绩的人数占比为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名． 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，算术平方根和负整数指数等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简，再把化简后的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 22. （列方程解应用题）重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． （1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ （2）重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 【答案】（1）“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； （2）原计划每天种植株． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株，根据“花费48万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设原计划每天种植株，则实际每天种植株，根据“提前15天完成种植任务”列出分式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株， 根据题意得 ， 解得， 则“月季花”和“杜鹃花”一共购买株， 答：“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； 【小问2详解】 解：设原计划每天种植株，则实际每天种植株， 根据题意得 ， 解得， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天种植株． 23. 缙云山是国家级旅游景区，也是重庆“四大名山”之一．小初和小高相约去缙云山，两人同时从点A出发前往景区大门点D，点D在点A北偏东方向，由于小初中途去买水果，所以他们沿不同路线前往．小初从点A向正东方向步行500米到水果店点B，购买水果后向东北方向步行1000米到C，再往正北方向步行到达景区大门点D；小高从点A出发向北偏西方向步行至点E，再沿步行到达景区大门点D，景区大门点D在点E北偏东方向．(参考数据: （1）求点C到景区大门D的距离(结果保留根号); （2）小初步行速度是每分钟50米，小高步行速度是每分钟60米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达景点大门点D?请通过计算说明． 【答案】（1）米 （2） 解：如图，由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴小高花的时间为：（分钟）； ∵，， ∴， ∴小初花的时间为： （分钟）； ∴小初先到. 【解析】 【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的实际应用； （1）如图，延长，交于点，则，由题意可得：，，，，进一步求解，，从而可得答案； （2）如图，由题意可得：，，求解，，，可得，而，再进一步计算时间即可. 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点，则， 由题意可得：，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 略 24. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得出结论； （2）作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在轴的左侧，设，过作，再由等面积法求，当点M在轴的右侧时，根据对称性即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，故点， 作点E关于x轴的对称点N，则，连接， 如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， ∵解析式为， 将，代入得， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为, ； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴直线， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在轴右侧时， ， ， ， ， 设，过作， 则为等腰直角三角形，， ， 解得， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去），故此时； 当点M在轴左侧时，设此时对应点为， 则， 即与关于轴对称，故， 综上，存在或． 25. 在中，． （1）如图 1，若，，求的面积； （2）如图 2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）2 （2） 解：，证明如下： 如图，延长至点使得，交于点，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交延长线于点，则，，再利用含30度角的直角三角形性质可得，最后利用三角形面积公式即可求解； （2）延长至点使得，交于点，连接，根据三角形中位线定理得到，，则有，利用平行线的性质以及角的和差得到，得到，利用等腰三角形和三角形外角的性质得到，，进而推出，再利用角度的等量代换得到，得到，最后利用线段的和差即可得出结论； （3）取的中点，连接、、，利用等腰直角三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，得到，，通过证明得到，再利用两点之间线段最短性质求出的最小值，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：如图，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的面积为2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分，， ∴，，， ∵将绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，也取得最小值； ∵将关于对称得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质、旋转的性质、二次根式的应用，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造等腰三角形和相似三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $