第1章 习题课1 等差数列性质的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

习题课1　等差数列性质的应用 学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，能运用等差数列的性质简化计算，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题，提升数学建模的核心素养. 应用一　由等差数列构造新等差数列 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A.15　　　　 B.16　　　　 C.17　　　　 D.18 答案：B 解析：易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N＋，所以n的最大值为16. 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数. 对点练1.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝　　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　　　. 答案：12n－1　25 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25. 应用二　等差数列中任意两项之间的关系 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解：法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，解得d＝4， 所以a75＝a60＋d＝24. 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 1.an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)； 2.an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)； 3.d＝(m，n∈N＋，且m≠n). 对点练2.已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝　　　　. 答案：8 解析：法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d， 则d＝＝＝2， 所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. 所以b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 应用三　等差数列中对称设项法的应用 已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这4个数. 解：设此四个数分别为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题意可得：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝20，＝24. 解得a＝5，d＝±1. 所以这四个数为2，4，6，8或8，6，4，2. 常见设元技巧 1.某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d； 2.三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d； 3.四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 学生用书⬇第14页 对点练3.已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的公差为d，则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 解得 因为数列为递增数列，所以 所以等差数列的通项公式为an＝4n－1. 应用四　等差数列的实际应用 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息回答问题. (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. 解：由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝an·bn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 所以得a2＝1＋0.2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10，得 所以得b2＝30－4＝26. 所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只. (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30， 所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 1.等差数列的应用主要体现在数学文化方面和生活实际问题方面. 2.解答数列实际应用问题的基本步骤 对点练4.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，－an＝－20(n∈N*)， 所以每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. 所以由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 1.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　) A.3　　　　 B.－6　　　　 C.4　　　　 D.－3 答案：B 解析：由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d， 所以d＝＝－6. 2.在等差数列中，a3＋a5＝18，则a4＝(　　) A.9 B.6 C.3 D.1 答案：A 解析：由a3＋a5＝18＝2a4得a4＝9. 故选A. 3.在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有(　　) A.a5＝4 B.a6＝4 C.a5＝2 D.a6＝2 答案：C 解析：因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2. 4.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则a＋b＋c＝　　　　. 答案：9 解析：法一：设这些数组成的等差数列为{an}，由已知得a1＝－1，a5＝7，则7＝－1＋(5－1)d，解得d＝2，故所求数列为－1，1，3，5，7.所以a＋b＋c＝9. 法二：在等差数列－1，a，b，c，7中，由等差中项的概念，得a＋c＝2b＝－1＋7＝6，所以b＝3，所以a＋b＋c＝9. 课时测评5　等差数列性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列是等差数列，若a3＝5，＋＝，则a1·a5＝(　　) A. 　　　 B.9　　 　 C.10　 　　 D.20 答案：B 解析：因为数列是等差数列，a3＝5，所以a1＋a5＝2a3＝10， 因为＋＝＝，所以a1·a5＝9. 故选B. 2.已知等差数列中，a2、a8是2x2－16x－1＝0的两根，则－a5＝(　　) A.248 B.60 C.12 D.4 答案：B 解析：对于方程2x2－16x－1＝0，Δ＝＋8＞0， 由韦达定理可得a2＋a8＝＝8，故2a5＝a3＋a7＝a2＋a8＝8，则a5＝4， 所以－a5＝－a5＝82－4＝60. 故选B. 3.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.1或2 答案：D 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c， 所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. 所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2. 4.在等差数列{an}中，a1＋2a2＋3a3＋4a4＝100，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A.100 B.75 C.50 D.25 答案：C 解析：由{an}是等差数列，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＝a1＋2(a1＋d)＋3(a1＋2d)＋4(a1＋3d)＝10a1＋20d＝100， 即a1＋2d＝a3＝10， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝50.故选C. 5.若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于(　　) A.13 B.3－ C.3－ D.5－ 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝5，am＝3， 所以d＝＝. 所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－. 6.(多选)已知数列、都是公差不为0的等差数列，设cn＝an＋bn，dn＝anbn，则关于数列和，下列说法中正确的是(　　) A.数列一定是等差数列 B.数列一定不是等差数列 C.给定c1，c2可求出数列的通项公式 D.给定d1，d2可求出数列的通项公式 答案：ABC 解析：数列都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为m1，m2，且均不为0， cn＋1－cn＝an＋1－an＋bn＋1－bn＝m1＋m2， 所以数列一定是等差数列，给定c1，c2可求出数列的通项公式，A，C选项正确； 设an＝m1n＋t1，bn＝m2n＋t2，m1m2≠0， dn＝＝m1m2n2＋n＋t1t2一定是一个关于n的二次函数，所以数列一定不是等差数列，所以B选项正确； 根据二次函数性质，仅仅给定d1，d2不能求出数列的通项公式，所以D选项错误. 故选ABC. 7.在等差数列{an}中，若＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝　　　　. 答案：4 解析：因为在等差数列{an}中，＋2a2a8＋a6a10＝16， 所以＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， 所以(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，所以2a4·2a6＝16，所以a4a6＝4. 8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝　　　　. 答案：35 解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an＋bn}也构成等差数列， 所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 所以2×21＝7＋a5＋b5， 所以a5＋b5＝35. 9.(10分)在等差数列{an}中. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a1＋a3＋a4＋a6＝34，a3·a4＝16，求公差d. 解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，所以a13＝12. (2)由a1＋a3＋a4＋a6＝34， 得2(a3＋a4)＝34，即a3＋a4＝17， 由 所以d＝＝＝15或d＝＝＝－15. 10.(10分)三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，求这三个数. 解：依题意：设三个数为a，b，c，则有a＋b＋c＝15，b为等差中项，故a＋c＝2b， b＝5，a2＋b2＋c2＝83，所以a2＋c2＝58， 联立方程 故这三个数分别为3，5，7或7，5，3. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案：C 解析：设公差为d， 因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， 所以5a8＝120，a8＝24， 所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16. 12.若a＞0，b＞0，a，b的等差中项是1，则的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：利用等差中项性质，得a＋b＝2×1， 由均值不等式得ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)， 所以ab≤1，≥1， 所以最小值为1. 故选A. 13.在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是　　　　. 答案：－ 解析：设新的等差数列的公差为d.由a1＝8，a5＝2. 得a3＝＝＝5，a2＝＝＝， 所以d＝＝＝－. 14.(13分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20＝30，求公差d； (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围. 解：(1)a10＝1＋9＝10，a20＝10＋10d＝30，所以d＝2. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 即a30＝10[(d＋)2＋]， 当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[，＋∞). 15.(5分)已知和是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常数，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝　　　　. 答案：128 解析：由于是常数，所以＝，即＝，所以b5＝64. 因为是等差数列，所以b3＝＝128. 16.(17分)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N＋).将集合{x｜x＝an，n∈N＋}∪{x｜x＝bn，n∈N＋}中的元素从小到大依次排列，构成新数列c1，c2，c3，…，cn，…. (1)求c1，c2，c3，c4的值； (2)证明：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； (3)求数列{cn}的通项公式. 解：(1)c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13. (2)证明：①任意n∈N＋，设a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝bk＝2k＋7，则k＝3n－2，即a2n－1＝b3n－2； ②假设a2n＝6n＋6＝bk＝2k＋7⇔k＝3n－∉N＋，矛盾， 所以a2n∉{bn}，所以在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…. (3)先确定数列{an}和{bn}的公共项dk与dk＋1，再寻找dk与dk＋1之间元素存在的规律. 因为b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3＝a2k－1， 所以设b3k－2＝a2k－1＝dk，则dk＋1＝b3k＋1＝a2k＋1＝6k＋9， 因为b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7， 所以dk＜b3k－1＜a2k＜b3k＜dk＋1. 所以当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4，…， 所以cn＝其中n∈N＋. 学生用书⬇第15页 学科网（北京）股份有限公司 $