1.3.3 第3课时 数列求和-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

第3课时　数列求和 学习目标 数列求和问题是学习的重点与难点，也是高考考查的热点，解答此类问题的基本原则是转化为等差数列或等比数列的前n项和问题.本节课在熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式的基础上，进一步掌握分组转化法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等方法. 应用一　分组转化法求和 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得 所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5. (2)当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2. 分组转化法求和的常见类型 对点练1.设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋. (1)求通项公式an； (2)求数列{｜an－n－2｜}的前n项和. 解：(1)由题意得又当n≥2时，an＝2Sn－1＋1， 故an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，且＝3， 所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)设bn＝｜3n－1－n－2｜，n∈N＋，b1＝2，b2＝1. 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3. 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，且n＝2时符合上式， 所以Tn＝ 应用二　裂项相消法求和 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. (1)求数列{an}的通项； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn. 解：(1)设公差为d，d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列， 则＝，解得d＝1或d＝0(舍去)， an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，故{an}的通项为an＝n. (2)因为an＝n，则Sn＝＝ 所以＝＝＝2(－)， 所以Tn＝2(1－＋－＋…＋－) ＝2(1－)＝2(－)＝2()＝. 裂项相消法求和常见的裂项技巧 1.＝－)； 2.＝－)； 3.＝－)； 4.＝＝－. 对点练2.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn. 解：(1)因为4Sn＝(an＋1)2， 所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②， ①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＞0，所以an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 所以{an}是以a1＝1为首项，以d＝2为公差的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1； 综上所述，an＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝.综上所述，Tn＝. 学生用书⬇第33页 应用三　错位相减法求和 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…). (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：因为(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn，即an＋1＝·Sn， 因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝·Sn，可得Sn＋1＝·Sn，所以＝2·， 又a1＝1，可得＝1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可得＝2n－1，所以Sn＝(2n－1)·2n－1， 则Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，① 2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，② ①－②得，－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2×－(2n－1)·2n ＝(3－2n)·2n－3， 所以Tn＝(2n－3)·2n＋3. 错位相减法求解数列的前n项和 1.适用条件：若数列{an}为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前n项和Sn. 2.注意事项 (1)在写出Sn和qSn的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn； (2)作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； (3)作差后，作差部分应为n－1项的等比数列求和. 对点练3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足4Sn＝＋2an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列满足b1＝a1－1，3bn＋1＝bn，且cn＝anbn，求数列的前n项和Mn. 解：(1)当n＝1时，4a1＝＋2a1，因为a1＞0，所以a1＝2， 由4Sn＝＋2an①，可得4Sn＋1＝＋2an＋1，② ②－①得，4an＋1＝－＋2an＋1－2an，整理得－－2an＋1－2an＝0， 所以(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an＞0，所以an＋1－＝2， 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，所以an＝2n. (2)因为b1＝a1－1＝2－1＝1，＝， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以bn＝()n－1， 于是cn＝anbn＝2n×()n－1，Mn＝2×1＋4×＋6×()2＋…＋2n×()n－1，③ Mn＝2×＋4×()2＋6×()3＋…＋2n×()n，④ ③－④得，Mn＝2＋2×＋2×()2＋2×()3＋…＋2×()n－1－2n×()n ＝2×－2n×()n ＝2×－2n×()n， 所以Mn＝－(＋n)×()n－1. 1.Sn＝＋＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由Sn＝＋＋＋…＋， 得Sn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n×()n＋1， 两式相减得Sn＝＋()2＋()3＋()4＋…＋()n－n×()n＋1 ＝－n()n＋1＝1－－n()n＋1＝， 所以Sn＝.故选B. 2.已知等差数列{an}中，a5＝5，a8＝8，则数列的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为a5＝5，a8＝8，所以所以an＝n， 则＝＝－，所以数列的前n项和为－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选B. 3.2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1－(－1)n，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有　　　　　. 答案：255 解析：由于an＋2－an＝1－(－1)n，当n为偶数时，an＋2－an＝0，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于a2＝2，共有15项，和为15×2＝30； 当n为奇数时，an＋2－an＝2，又a1＝1，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为15×1＋×2＝225. 故30天的总人数为30＋225＝255. 4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋). (1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{bn}前n项和为Tn，证明：＋＋…＋＜. 证明：(1)由an＋1＝2an＋1可得 an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{bn}是以首项a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以bn＝an＋1＝2n. (2)易得Tn＝＝2(2n－1)， 于是＝＝－＝， 所以＋＋…＋＝ ＝， 因为＞0，所以 ＋＋…＋＜. 课时测评13　数列求和 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.已知等差数列{an}满足a5－2a1＝7，a3＝5，则数列的前10项的和为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为⇒所以an＝2n－1. 所以＝＝－)，数列的前10项的和等于×［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝×(1－)＝.故选D. 2.已知an＝(n∈N＋)，则a1＋a2＋a3＋…＋a80＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：B 解析：因为an＝＝－(n∈N＋)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝－1＋－＋…＋－＝9－1＝8，故选B. 3.已知{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 019的值为(　　) A.1 008 B.1 009 C.1 010 D.1 011 答案：C 解析：由题意，当n≥2时，可得Sn－1＝Sn－an， 因为an＋2Sn－1＝n，所以an＋2(Sn－an)＝n， 即2Sn＝an＋n， 当n≥2时，2Sn－1＝an－1＋n－1，两式相减，可得2an＝an－an－1＋1，即an＋an－1＝1， 所以a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，a6＋a7＝1，…， 所以S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝1＋×1＝1 010.故选C. 4.已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N＋)，则数列{an}的前10项的和为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意得，2n＋1an＋1＝2nan＋1，所以{2nan}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以2nan＝1＋(n－1)＝n，得an＝.记数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋， 作差得Sn＝＋＋＋…＋－， 得Sn＝－，即Sn＝2－， 所以S10＝2－＝2－＝2－＝.故选C. 5.(多选)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8是一个等比数列中的相邻三项，记bn＝an·，则{bn}的前n项和可以是(　　) A.n B.2n C.2n＋1－2 D.(n－1)2n＋1＋2 答案：BD 解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2，a4，a8是一个等比数列中的相邻三项， 得＝a2a8，即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，整理得d2－d＝0，即d＝0或d＝1. 所以an＝1或an＝1＋1×(n－1)＝n. 当an＝1时，bn＝an·＝2. 当an＝n时，bn＝an·＝n·2n.若bn＝2，则{bn}的前n项和为2n； 若bn＝n·2n，设{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 所以2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 所以－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1， 则Sn＝(n－1)2n＋1＋2.故选BD. 6.计算：＋＋＋…＋＝　　　　　. 答案： 解析：＋＋＋…＋ ＝×(1－)＋×(－)＋…＋×(－) ＝×(1－)＝. 7.在数列{an}中，若a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝2，记Sn是数列{an}的前n项和，则S100＝　　　　　. 答案：2 550 解析：因为a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝2， 所以当n为奇数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为公差为2的等差数列，当n为偶数时，an＋2＋an＝2. 所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×1＋×2＝2 500， (a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋…＋(a98＋a100)＝2×25＝50， 所以S100＝2 500＋50＝2 550. 8.设等差数列{an}的公差为非零常数d，且a1＝1，若a1，a2，a4成等比数列，则公差d＝　　　　　；数列的前100项和S100＝　　　　　. 答案：1　 解析：因为a1，a2，a4成等比数列，所以＝a1a4，即(1＋d)2＝1×(1＋3d)， 又d≠0，解得d＝1.所以an＝n，＝＝－， 所以S100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝. 9.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0，a1＝1，a2是a1与a6的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)由已知得＝a1·a6，所以(a1＋d)2＝a1·(a1＋5d)， 化简得d2＝3d，因为d≠0，所以d＝3， 所以an＝3n－2. (2)由(1)知bn＝＝－)， 所以Sn＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝. 10.(10分)在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32. (1)求an； (2)设bn＝3log2an，cn＝bn·an，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知a2＝4，a5＝32，可得所以an＝a1qn－1＝2n. (2)由(1)知bn＝3log2an＝3log22n＝3n，cn＝3n·2n， 所以Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3n·2n，① 2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3n·2n＋1，② ①－②得，－Tn＝3×21＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－3n·2n＋1 ＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1 ＝3×－3n·2n＋1 ＝3×(2n＋1－21)－3n·2n＋1 ＝3(1－n)·2n＋1－6， 所以Tn＝3(n－1)·2n＋1＋6. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－2，数列{an}满足bn＝log2an，则下列选项正确的为(　　) A.数列{an}是等差数列 B.an＝2n C.数列{}的前n项和为 D.数列的前n项和为Tn，则Tn＜1 答案：BD 解析：当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2， 两式相减得，an＝2an－1，又a2＝2a1，所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以an＝2n，＝4n，数列{}的前n项和为S'n＝＝， 则bn＝log2an＝log22n＝n，所以＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＜1，故选BD. 12.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由题意可得＝，则：Sn＝2n2， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2， 且a1＝4×1－2＝2，据此可得an＝4n－2， 故bn＝＝2n－1，＝ ＝－)， 则＋＋…＋＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝×＝，故选D. 13.在递减等差数列{an}中，a1a3＝－4，若a1＝13，则数列的前n项和的最大值为　　　　　. 答案： 解析：由题意知数列{an}为等差递减数列，则公差d＜0， 因为a1a3＝－4，所以a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2－4，即＋2a1d＝＋2a1d＋d2－4， 解得d＝－2或d＝2(舍去)，故数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×(－2)＝15－2n， 所以＝＝×(－)，设的前n项和为Sn， 则Sn＝×(－＋－＋…＋－)＝×(－＋)， 当n≤6时，Sn＞0且单调递增，当n≥7时Sn＜0， 所以n＝6时，Sn取得最大值，即S6＝×(－＋1)＝. 14.(13分)已知数列{an}，其前n项和为Sn满足：a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＞0，且＝2Sn＋an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，不等式Tn＞loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)对任意的n∈N＋都有an＞0，a1＝1且＝2Sn＋an＋1. 当n＝1时，可得＝2＋a2，整理得－a2－2＝0， 因为a2＞0，解得a2＝2； 当n≥2时，由＝2Sn＋an＋1可得＝2Sn－1＋an， 上述两个等式相减得－＝an＋1＋an， 即(an＋1＋an)·(an＋1－an)＝an＋1＋an， 显然an＋1＋an＞0，所以an＋1－an＝1且a2－a1＝1， 所以，数列{an}为等差数列，且首项为1，公差也为1，因此，an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)因为an＝n，则＝ ＝－)， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋ ＝(1－)＋－)＋－)＋…＋－)＋－) ＝(1＋－－)＝－＋)， 因为Tn＋1－Tn＝＞0， 所以数列{Tn}单调递增，则(Tn)min＝T1＝. 要使不等式Tn＞loga(1－a)对任意正整数n恒成立，只要＞loga(1－a). 由题意可得解得0＜a＜1，由loga(1－a)＜可得loga(1－a)＜1， 所以1－a＞a，解得a＜.综上所述，实数a的取值范围是(0，). 15.(5分)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝ ，5＝ ，…，则按照以上规律，若(n＋1)＝具有“穿墙术”，Tn为数列的前n项和，则T9的值为　　　　　. 答案： 解析：因为2＝2＝＝， 3＝3＝＝， 4＝4＝＝ ， 5＝5＝＝ ， 以此类推，由(n＋1)＝可知an＝(n＋1)2－1， 事实上 (n＋1) ＝(n＋1) ＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以＝＝＝－)， 因此，T9＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝. 16.(17分)已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记an＝3f(n)，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn； (3)在(2)的条件下，判断数列{Tn}的单调性，并给出证明. 解：(1)由题意得 所以f(x)＝log3(2x－1)，an＝＝2n－1，n∈N＋； (2)由(1)得bn＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋　①， Tn＝＋＋…＋＋＋　②， ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋＋－ ＝＋(＋＋＋…＋＋)－ ＝－－， 所以Tn＝3－－＝3－. (3)数列{Tn}为递增数列，因为Tn＝3－，令f(n)＝，n∈N＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝－＝＜0， 即f(n＋1)＜f(n). 所以f(n)＝，n∈N＋随n的增大而减小，则数列{Tn}为递增数列. 学生用书⬇第34页 学科网（北京）股份有限公司 $