1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）  

1.3.3 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和 (强基课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 探索并掌握等比数列的前n项和公式；理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．　　 CONTENTS 目录 1 2 3 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 课时跟踪检测 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 1．等比数列的前n项和公式 2．两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． 2．等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列． (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)． (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N＋)⇔数列{an}为等比数列． 微点助解 当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1，且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 基点训练 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 √ 3．数列{2n－1}的前99项和为(　 ) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 √ 4．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　 ) A．8 B．－2 C．4 D．2 解析：设公比为q，由题意知S偶＝qS奇，即2 024＝1 012q，∴q＝2. √ 5．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝________________. 解析：当x＝1时，Sn＝n； 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 题型(一)　等比数列前n项和的基本运算 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 求等比数列前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．　　 方法技巧 1．在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：法一　∵an＝96，q＝2， ∴a1·2n＝192.① 针对训练 ∴a1＝a1·2n－189＝192－189＝3. 代入①式得n＝6. 解得a1＝3. 又由an＝a1qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. [例2]　等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝(　 ) A．60 B．61 C．62 D．63 解析：法一　∵S2n≠2Sn，∴公比q≠1， 题型(二)　等比数列前n项和的性质及应用 √ 法二　∵{an}为等比数列，显然公比q≠－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 即(60－48)2＝48(S3n－60)，∴S3n＝63. [例3]　一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为____，项数为____． 解析：设数列为{an}，其公比为q，项数为2n， 则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列， 又a1＝1，a2＝q，q≠1， 2　 8 故得n＝4，故项数为8. [变式拓展] 在例2中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n. 解：设数列{an}的公比为q，首项为a1， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列， Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2. 结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键．　　 方法技巧 针对训练 √ 4．已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 √ [例4]　已知等差数列{an}满足a3＝7，a2＋a6＝20. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，b＝a6，bn＋1＞bn，求满足Sn≤2 024的正整数n的最大值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a3＝a1＋2d＝7，a2＋a6＝2a1＋6d＝20， 解得a1＝1，d＝3， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. 题型(三)　等比数列前n项和公式的应用 (2)设等比数列{bn}的公比为q. 令2n－1≤2 024，得2n≤2 025， 又210＜2 025＜211， 所以满足题意的正整数n的最大值为10. 解决等比数列前n项和有关问题时应注意 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题． (2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．　　 方法技巧 5．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由． 针对训练 解：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1. 于是，当n≥2时， 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)． 又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0， 所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列． 因此，an＝a1·3n－1(n∈N＋)． 要使{bn}为等比数列， 故a1＝－2. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝(　 ) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：由题意得，(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于(　 ) A．10 B．210 C．210－2 D．211－2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3an－2＝81，且前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．一个等比数列，它的前4项和为前2项和的2倍，则此数列的公比为________． 解析：当q＝1时，S4＝2S2满足题意； －1或1 ∴1＋q2＝2，∴q＝1(舍去)或q＝－1. 综上q＝－1或1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N＋)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________. 30 故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为_____________． 解析：当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a3，成立； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，试用q表示{an}的前n项和． 解：当q＝1时， ∵3a1＝1－q＝0， ∴a1＝0与{an}是等比数列矛盾， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋a. (1)求实数a的值； (2)若Sm＝127，求m. 解：(1)由Sn＝2n＋a，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－(2n－1＋a)＝2n－1， 又a1＝S1＝2＋a，因为数列{an}是等比数列， 所以a1满足an＝2n－1，∴2＋a＝1，即a＝－1. (2)由(1)，Sn＝2n－1，∴Sm＝2m－1， ∴127＝2m－1，解得m＝7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．[多选]已知正项等比数列{an}中a1＝2，a5－2a3＝a4，设其公比为q，前n项和为Sn，则(　 ) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 解析：因为a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，所以A正确； 数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n，所以B正确； √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由an＝2n，得an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋1<an＋2，所以D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·2n－1＋1，则实数t的值为________． －2 因为等比数列{an}的前n项和Sn＝－A·qn＋A，其中q为公比， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________. 解析：当q＝1时，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9，∴不成立； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴2q9－q6－q3＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以bn＝n(n∈N＋)． 解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an， 得an＝2n(n∈N＋)． 由题意知当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)由(1)知anbn＝n·2n， 因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1. 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋)． 首项、公比、项数 首项、末项、公比 微点助解 1．一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1)一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用； 知道首尾两项a1，an和q，可以用. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．S奇＝a1＋qS偶． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　 ) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　 ) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．(　 ) 解析：由S5＝＝44，得a1＝4. 解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1. 当x≠1时，Sn＝. [例1]　求下列等比数列前n项和： (1)，，，…，求S8； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5. 解：(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)法一　由题意知 解得从而S5＝＝. 法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 所以a1＝8，从而S5＝＝. 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， 法二　由公式Sn＝及已知，得189＝， 解：设{an}的公比为q，由题设得 解得或 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝　③， ③代入①得＝64，∴S3n＝＝64＝63. 法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 所以 ②÷①，得q＝2，所以＝85,4n＝256， 所以Sn＝＝2，得－＝2， 即＝－2，S4n＝＝＝－2×(1－16)＝30. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则S9等于(　 ) A． B．－ C． D． 解析：由已知得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，且S3＝8，S6－S3＝7－8＝－1，∴S9－S6＝(－1)×＝，∴S9＝S6＋＝7＋＝.故选C． 解析：法一　因为等比数列有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q，得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85，偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42，整体代入得q＝2，所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，解得n＝3.故选B． 法二　由S奇＝a1＋qS偶，得85＝1＋42q，所以q＝2，所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127，解得n＝3. 由(1)知b1＝a1＝1，b＝a6＝3×6－2＝16. 因为b＝(b1q2)2，所以q＝2或q＝－2， 又bn＋1＞bn，所以q＝2，所以Sn＝＝2n－1. 有 (2)存在．因为Sn＝＝a1·3n－a1， 所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 则1＋a1＝0， A级——综合提能 1．等比数列{an}中，首项a1＝12，公比q＝，那么它的前4项和S4的值为(　 ) A． B． C． D． 解析：由等比数列的前n项和公式，得S4＝＝＝18×＝. 解析：∵＝＝2，∴数列{an}是公比为2的等比数列，且a1＝2，∴S10＝＝211－2. 解析：设等比数列{an}的公比为q，依题意，a1＋an＝82，a3an－2＝a1an＝81，所以或若则Sn＝＝＝121，解得q＝3，所以an＝1×3n－1＝81＝34， n＝5.若则Sn＝＝＝121，解得q＝，所以an＝81×n－1＝34×31－n＝35－n＝1，n＝5.综上所述，n的值为5. 5．已知等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为(　 ) A．3n－1 B．3(3n－1) C．(9n－1) D．4(9n－1) 解析：由an＝2×3n－1，得a2k－1＝2×32k－2＝2×9k－1，k∈N＋，a1＝2，则＝＝9，因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2，公比为9的等比数列，所以新数列的前n项和为＝(9n－1)． 当q≠1时，＝， 解析：由题设可得an＝2n，故＝2(n≥2)， 故S4＝＝30. 1或－ 当q≠1时，S3＝，a3＝a1q2，又S3＝3a3， 所以＝3q2，化简得2q2－q－1＝0， 解得q＝－或q＝1(舍去)． 综上可知，公比q的值为1或－. ∴q≠1，即＝. 又∵等比数列的前n项和公式为Sn＝＝－·qn＋， ∴Sn＝－qn＋. B级——应用创新 11．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　 ) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 解析：法一　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n. 法二　设等比数列{an}的公比为q， 则　得＝q＝2. 将q＝2代入①，解得a3＝4， 所以a1＝＝1，下同法一． S10＝＝211－2＝2 046，所以C不正确； 解析：Sn＝t·2n－1＋1＝·2n＋1， 所以＋1＝0，所以t＝－2. － 当q≠1时，＋＝2×，得2－q3－q6＝2－2q9， 解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)， ∴q＝－. 15．已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N＋)． (1)求an与bn； (2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn. 当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝， $$