1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及其应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

第2课时　等差数列前n项和的性质及其应用 学习目标 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n 项和的最值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题，提升数学建模的核心素养. 应用一　等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A.2　　　　 B.0　　　　 C.3　　　　 D.4 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　) A.1 B. C. D. (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案：(1)A　(2)A　(3)C 解析：(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，即2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)， 解得Sn＝2.故选A. (2)根据Sn＝，得－＝＝＝100，则d＝1. (3)由题知S偶－S奇＝5d， 所以d＝＝3. 等差数列的前n项和的常用性质 1.等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列. 2.数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列{}为等差数列. 3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d. (1)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； (2)当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 对点练1.一个等差数列共211项，则它的奇数项和与偶数项和之比为　　　　. 答案：106∶105 解析：设该数列为{an}，则等差数列{an}中共有106个奇数项，105个偶数项， 所以S奇＝，S偶＝. 又a1＋a211＝a2＋a210， 所以S奇∶S偶＝106∶105. 对点练2.一个等差数列前20项的和为75，其中奇数项的和与偶数项的和之比为1∶2，则公差d的值为　　　　. 答案： 解析：依题意，前20项中，奇数项的和S奇＝×75＝25， 偶数项的和S偶＝×75＝50， 又S偶－S奇＝10d，所以d＝＝. 对点练3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝　　　　. 答案：114 解析：因为{an}是等差数列， 所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6， 即2(S6＋12)＝－12＋45－S6，解得S6＝3. 又2(S9－S6)＝S6－S3＋S12－S9， 即2×(45－3)＝3＋12＋S12－45，解得S12＝114. 应用二　等差数列前n项和最值问题 在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值. 解：法一：由S9＝S17得9a1＋d ＝17a1＋d， 又a1＝25，所以d＝－2. 则Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169， 故当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169. 法二：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，所以d＝－2， 则an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27. 令an＞0，则－2n＋27＞0，解得n＜13.5， 即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数， 故数列{an}的前13项和最大，最大值为 S13＝13×25＋×(－2)＝169. 学生用书⬇第18页 等差数列前n项和的最值的求法 1.若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定. 2.配方法 Sn＝n2＋(a1－)n ＝－· ＝－·， 由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N＋，知当n取最接近－的正整数时，Sn取得最大值或最小值.最接近－的正整数有时有一个，有时有两个. 对点练4.已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为(　　) A.17 B.18 C.19 D.20 答案：B 解析：因为an＝2n－37，当n≥19时，an＞0，当n≤18时，an＜0，故Sn的最小值为S18，故选B. 对点练5.已知数列{an}中，前n项和Sn＝n2－15n，则使Sn为最小值的n是(　　) A.7 B.8 C.7或8 D.9 答案：C 解析：Sn＝n2－15n＝－， 所以数列{Sn}的图象是分布在抛物线y＝(x－)2－上的横坐标为正整数的离散的点. 又抛物线开口向上，以x＝为对称轴，且＝， 所以当n＝7，8时，Sn有最小值. 故选C. 对点练6.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　) A.21 B.20 C.19 D.18 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，得： 解得：所以an＝41－2n，由an＝41－2n≥0，得：n≤20， 所以当1≤n≤20时，an＞0，当n≥21时，an＜0， 故当n＝20时，Sn达到最大值. 故选B. 应用三　等差数列前n项和的实际应用 某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元.并加付欠款利息，月利率为1％，若交付150万元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？ 解：因为购买设备时已付150万元， 所以欠款为1 000万元. 依据题意，知其后应分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1 000×1％＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1％＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1％＝59，……，an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1％＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)， 所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列， 所以a10＝60－9×0.5＝55.5， S20＝＝1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元. 应用等差数列解决实际问题的一般思路 1.根据题设条件，建立数学模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型. 2.利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解. 3.把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解. 对点练7.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A.9 B.16 C.18 D.20 答案：B 解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程.故选B. 对点练8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为　　　　m. 答案：2 000 解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(m). 学生用书⬇第19页 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A.63　　　　 B.45　　　　 C.36　　　　 D.27 答案：B 解析：数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 因为S3＝9，S6－S3＝27，所以S9－S6＝45， 即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45. 2.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问半月织几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有(　　) A.195尺 B.133尺 C.130尺 D.135尺 答案：B 解析：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项a1＝5，记公差为d. 由S30＝5×30＋d＝390，得d＝， 则S15＝15×5＋×＝75＋≈133.故选B. 3.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　　，项数是　　　　. 答案：11　7 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝ ＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项. 4.已知等差数列{an}满足S3＝18，a2＋a4＝10，则数列{an}的通项公式为　　　　，Sn的最大值为　　　. 答案：an＝8－n　28 解析：由题意可知， 所以an＝8－n，即数列{an}的通项公式为an＝8－n， 因为Sn＝＝＝－n2＋n ＝－(n－)2＋， 所以当n＝7或8时，Sn取最大值28. 课时测评7　等差数列前n项和的性质及其应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：D 解析：因为＝＝＝，所以＝， 可得＝＝＝.故选D. 2.已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝(　　) A. B. C.1 D.2 答案：A 解析：因为Sn＝，Tn＝， 所以＝＝， 又因为＝，所以＝，即＝. 3.等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn、Tn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为数列{an}和是等差数列，所以＝＝， 又S13＝×13＝13a7，T13＝×13＝13b7，所以＝＝， 在＝中，令n＝13有＝＝， 所以＝＝＝.故选D. 4.设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A.S10＝S11 B.S10＞S11 C.S9＝S10 D.S9＜S10 答案：C 解析：因为a2＝－8，a15＝5，设公差为d，则d＝＝1， 所以an＝n－10，因此S9＝S10是前n项和Sn的最小值. 故选C. 5.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是(　　) A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 答案：AB 解析：因为S6＞S7，所以a7＜0， 因为S7＞S5，所以a6＋a7＞0， 所以a6＞0，所以d＜0，A正确. 又S11＝(a1＋a11)＝11a6＞0，B正确. S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，C不正确. {Sn}中最大项为S6，D不正确. 6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，则S28＝　　　　. 答案：1 092 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d， 则由已知条件得 整理得 所以Sn＝－15n＋×4＝2n2－17n， 所以S28＝1 092. 法二：由题意，设Sn＝an2＋bn. 由S12＝84，S20＝460，得 解得所以Sn＝2n2－17n， 所以S28＝2×282－17×28＝1 092. 法三：设等差数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d， 所以＝a1＋(n－1)，易知{}是等差数列. 又12，20，28成等差数列，所以，，成等差数列， 所以2×＝＋，即2×＝＋， 解得S28＝1 092. 7.设{an}为等差数列，a1＞0，a6＋a7＞0，a6·a7＜0，则使其前n项和Sn＞0成立的最大自然数是　　　　. 答案：12 解析：因为a6＋a7＞0， 故S12＝＝6(a6＋a7)＞0， 又a1＞0，a6·a7＜0，所以可知S13＜0，即使Sn＞0成立的自然数n最大取12. 8.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞｜a10｜，Sn为其前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为　　　　. 答案：20 解析：因为a10＜0，a11＞0，a11＞｜a10｜，所以a10＋a11＞0， 因此S19＝＝19a10＜0， S20＝＝10(a10＋a11)＞0， S21＝＝21a11＞0， 因此n的最小值为20. 9.在数列{an}中，＋an＝2n－44(n∈N＋)，a1＝－23.则数列{an}的通项公式为　　　　　　. 答案：an＝ 解析：由an＋1＋an＝2n－44(n∈N＋)， 得an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44， 所以an＋2－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42， 所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由an＋2－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列.所以an＝ 10.(13分)某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×(－)＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480. 因为500＞480，所以在24小时内能构筑成第二道防线. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则数列{an}的前2 020项和S2 020＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为an＋1＝， 所以＝2(2n＋1)＋，即－＝4n＋2， 所以数列是首项为6，公差为4的等差数列. 设数列的前n项和为Tn，则Tn－1＝－＋－＋…＋－＝－＝－(n≥2). 根据等差数列的前n项和公式得 Tn－1＝＝2n2－2(n≥2)， 所以－＝2n2－2(n≥2)，则＝2n2－， 即＝(2n＋1)(2n－1)，所以an＝＝－(n≥2)， 又a1＝满足上式，故an＝－，则S2 020＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 12.(多选)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.S5＝60 C.－＜d＜－3 D.S1，S2，…，S12中最大的是S6 答案：BCD 解析：依题意，有S12＝12a1＋d＞0，S13＝13a1＋d＜0，化简得2a1＋11d＞0　①，a1＋6d＜0　②，即a6＋a7＞0，a7＜0，所以a6＞0.由a3＝12，得a1＝12－2d　③，联立①②③，解得－＜d＜－3，故可知等差数列{an}是递减数列，当Sn最大时，结合－＜d＜－3，可得n＝6，所以S1，S2，…，S12中最大的是S6.S5＝＝5a3＝60. 13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a4＝1，S5＝－5，则d＝　　　　，Sn的最小值为　　　　. 答案：2　－9 解析：由a4＝1，S5＝－5，可得解得a1＝－5，d＝2， 又Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn有最小值－9. 14.(15分)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{｜an｜}的前n项和Sn. 解：(1)由已知得， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜， 所以当n≤17，n∈N＋时，an＞0； 当n≥18，n∈N＋时，an＜0， 所以数列{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N＋时， ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N＋时， ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜ ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2×(－×172＋×17)－(－n2＋n) ＝n2－n＋884. 所以Sn＝ 15.(5分)等差数列{an}中，若am＝n，an＝m，则am＋n＝　　　　；若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝　　　　. 答案：0　－(m＋n) 解析：由an＝a1＋(n－1)d得am＝a1＋(m－1)d＝n，an＝a1＋(n－1)d＝m， 两式作差得(m－n)d＝n－m，即d＝－1，am＋n＝am＋d＝n－n＝0； 设Sn＝An2＋Bn， 则Sm＝Am2＋Bm＝n，Sn＝An2＋Bn＝m， 两式作差得1＋A(n＋m)＋B＝0， Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n) ＝(m＋n)＝－(m＋n). 16.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”. (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N＋)，证明：{an}是“H数列”； (2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0.若{an}是“H数列”，求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N＋)成立. 解：(1)证明：由已知得，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n. 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”. (2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d. 因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am， 即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1. 因为d＜0，所以m－2＜0，故m＝1，从而d＝－1. 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N＋. 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”. 因此d的值为－1. (3)证明：设等差数列{an}的公差为d'，则an＝a1＋(n－1)d'＝na1＋(n－1)(d'－a1)(n∈N＋). 令bn＝na1，cn＝(n－1)(d'－a1)，则an＝bn＋cn(n∈N＋). 下面证{bn}是“H数列”. 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a1(n∈N＋). 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”. 同理可证{cn}也是“H数列”. 所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N＋)成立. 学科网（北京）股份有限公司 $