第二章 重点题型强化（五） 圆锥曲线中的“定”问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

重点题型强化(五) 圆锥曲线中的“定”问题 　 第二章 平面解析几何 知识目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用．　 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题． 素养目标 借助于圆锥曲线的“定”问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　定值问题 1 课时测评 4 题型二　定点问题 2 内容索引 题型三　定直线问题 3 题型一　定值问题 返回 例1 (2)若A，B为椭圆的左右顶点，直线x＝t交椭圆于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值． 解：证明：由椭圆方程可知，A(－2，0)，B(2，0)， 方法技巧 定值问题的解题策略 选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值，这种方法可简记为：一选(选好参变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值)．　　 对点练1．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点在x轴上，且抛物线上的点M(4，m)到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； 解：因为抛物线焦点在x轴上，且过点M(4，m)， 所以设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5， 即点M到准线的距离等于5， 则4＋ ＝5，所以p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x. 解：证明：显然直线l的斜率不为0，又由于直线过点(2，0)，所以可设直线l的方程为x＝ty＋2, 返回 题型二　定点问题 返回 所以设双曲线的方程为x2－y2＝a2， 故双曲线的方程为x2－y2＝6. 例2 例2 (2)过定点C(3，0)的直线l与双曲线交于A，B两点，在x轴上是否存在定点N，使得∠ANC＝∠BNC，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由直线l过定点C(3，0)，当斜率为0时，符合条件， 则当斜率不为0时，设直线l为：x＝my＋3， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l代入双曲线得 由kAN＋kBN＝0，则2my1y2＋(3－t)(y1＋y2)＝0，即6m(t－2)＝0， 要对任意的m都成立，则t＝2. 所以在x轴上存在点N(2，0)，使得∠ANC＝∠BNC. 方法技巧 定点问题的两种解法 1．特殊到一般法：从特殊入手，求出定点，再进行一般性的 证明． 2．引进参数法：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 解：由题知c＝1，A(－a，0)，B(a，0)，P(0，b)， (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q(2，0)，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点． 由题知kMQ＋kNQ＝0， 即2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0⇒2k(2m2－2)－4km(m－2k)－4m(2k2＋1)＝0， 解得k＝－m， 所以直线l的方程为y＝k(x－1)，故直线l恒过定点(1，0). 返回 题型三　定直线问题 返回 　　 已知抛物线C：y2＝2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两个不同的点． (1)求证：直线y1y＝x1＋x与C相切； 例3 证明：由(1)知，设P(x0，y0)，切线PA的方程为y1y＝x1＋x，切线PB的方程为y2y＝x2＋x， 解得y1y2＝－2，所以x0＝－1. 故点P在定直线x＝－1上． 方法技巧 证明圆锥曲线中的动点在定直线上的方法 1．参数法：即先利用题设条件探求出动点的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点在定直线上． 2．相关点法：即先设出动点T的坐标，根据条件得到已知曲线上的动点R的坐标，用T点坐标表示R的坐标，代入已知曲线方程中求得动点T在定直线上． 解：如图所示，因为点P坐标为(0，4)，且过点P的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，所以可设直线l的方程为x＝t(y－4)(t≠0)， 点M，N，H的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)(y2<y0<y1<4)， 所以(4t2－5)y2－32t2y＋64t2－20＝0， 所以4y0－4y2－y1y0＋y1y2＝4y1－4y0－y1y2＋y2y0， 返回 ＝－1， 所以点H恒在直线y＝－1上． 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．以抛物线y2＝4x上任意一点P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆过定点________． 根据抛物线的定义可知，P到直线x＝－1的距离等于P到抛物线焦点F的距离，即F到圆心的距离总等于半径，所以F在以P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆上，由抛物线方程y2＝4x可知F(1，0)． (1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知双曲线 －y2＝1的渐近线倾斜角分别为30°和150°，F为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点． (1)求双曲线方程； 所以a2＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q，R，求证：|PQ|·|PR|为 定值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p>0)上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线的方程； 解：由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则Δ＝16m2＋16t>0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t<0，即t>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)过抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴上的定点M(m，0)(m>0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，设这三条直线AN，MN，BN的斜率依次为k1，k2，k3，则下列关系式正确 的是 A．k2＝k1＋k3 B．2k2＝k1＋k3 C．k ＝k1k3 D．k2＝k1k3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设F1(－c，0)，F2(c，0)，(c>0)， 则(c＋1)2＝4，解得c＝1(c＝－3舍去)， 则a2－b2＝1，① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：依题意，M(－2，0)，N(2，0)， Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(1＋m2) >0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以2my1y2＋3(y1＋y2)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得xD＝－4， 故点D在直线x＝－4上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故点D在直线x＝－4上． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 (2)若过点(2，0)的直线l与该抛物线交于A，B两点，求证：·为定值． 　　 (2024·湖南长沙重点校高二联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，且双曲线过点(4，－). (1)求双曲线的标准方程； 假设在x轴上存在点N(t，0)，所以kAN＝＝，同理kBN＝， 对点练2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)若O为坐标原点，·＝－1，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 对点练3．已知双曲线E：－＝1的中心为原点O，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为. (1)求实数a的值； (2)若点P坐标为(0，4)，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足＝.证明：点H恒在一条定直线上． 1．已知O为坐标原点，双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且FP＝OA，直线AP与双曲线的左支交于点B，则∠PFB的大小为 A．30° B．45° C．60° D．75° 易知FP＝b，于是a＝b，故离心率e＝，不妨设a＝b＝，设P(x1，－x)，则＝，解得x＝－1，则P(－1，1)，F(－2，0)，A(，0)，直线AP：y＝(x－)与x2－y2＝2联立得xB＝－2，于是BF⊥x轴，所以∠PFB＝45°.故选B. 2．已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴上的两个端点，M是椭圆上一点，直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，若椭圆的离心率为，则k1·k2＝ A．－ B．－ C．－ D. 依题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设M(x0，y0)(x0≠±a)，所以k1＝，k2＝，＋＝1，因为椭圆的离心率为，所以e＝＝＝，所以＝，所以k1·k2＝·＝＝＝－＝－.故选C. 3．已知双曲线C：－＝1(b>0)的离心率为2，则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为 A． B． C．2 D．3 因为双曲线的离心率是2，所以e2＝＝4，解得b＝6，故双曲线方程为－＝1，即3y2－x2＝6，渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则C上任意一点P(x，y)到两条渐近线的距离之积为×＝＝＝. 故选B. 4．已知抛物线y2＝4x上两点A，B满足·＝5(O为坐标原点)，且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点 A．(5，0) B．(1，0) C．(3，0) D．(2，0) 5．(2024·山东淄博高二质量检测)双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|＝2|BF2|，且cos∠F1BF2＝，则直线A1B与A2B的斜率之积为 A． B． C． D． 8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，A1，A2分别为C的上、下顶点，点P为C上异于A1和A2的一点，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝，则C的渐近线方程为__________________． y＝±x 9．P，Q是椭圆＋＝1(a>b>0)上两点，且∠POQ＝，则＋＝________． ＋ 11．(5分)(多选)(2024·河南南阳高二联考)已知曲线C：＋＝1(mn≠0)，则下列结论正确的是 A．若m＝n>0，则C是圆，半径为 B．若m<0，n>0，且m＝－2n，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x C．若m>0，n>0，且m＝2n，则C是椭圆，若A1，A2是曲线C的左、右顶点，P是曲线C上除A1，A2以外的任意一点，则kPA1·kPA2＝－ D．若m>0，n<0，则C是双曲线，若P是曲线C上的任意点，则P到两条渐近线的距离之积为 12．(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线x2－＝1有相同的渐近线，P是双曲线C右支上任一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若的最小值是，则当 取最小值时，△OMP的面积是________． 由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，PM⊥OM，PN⊥ON，得∠MPN＝.设P(x0，y0)，则3x－y＝3a2，由点到直线的距离公式得·＝·＝＝.在△PMN中， ＝ ＝ ≥＝a＝，所以a＝，当且仅当＝＝时取等号，此时P(，0)，在Rt△OMP中，OM＝＝＝，所以△OMP的面积为·＝××＝. 因为抛物线的准线方程为x＝－，点P的横坐标为4，所以4＋＝5，解得p＝2， (2)若直线l：x＝my＋t交抛物线于A，B两点(位于对称轴异侧)，且·＝，求证：直线l必过定点． 15．(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且＝，直线l过点F1且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知＝，＝，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 设直线l：x＝my－1，联立整理得(3m2＋4)y2－6my－9 ＝0， 方法二：故＝＝＝＝＝， $